(整理)复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容:

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.

二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.

2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.

3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.

5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.

三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.

四、学习建议:

1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和

辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).

既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.

代数形式r=三角形式

Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)

复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.

例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:

(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)(2) Z2=cosθ-isinθ(3) Z3=-sinθ+icosθ

(4) Z4=-sinθ-icosθ(5) Z5=cos60°+isin30°

分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.

解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)

复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]

（2）由“加号连”知，不是三角形式

复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式

“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.

∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)

考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.

（3）由“余弦前”知，不是三角形式

复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式

“+θ”将θ变换到第二象限.

∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)

同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)

（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)

小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.

例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.

分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i.sin cos=2cos(cos+isin) (1)

∵π<θ<2π∴<<π,∴cos<0

∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]

∴r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)

∵<<π∴π<π+<2π，∴argZ=π+.

小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ=

错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.

例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.

分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

解:====cos2θ+isin2θ

∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,

∴π<2θ-4π<2π，∴argZ=2θ-4π

小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.

2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围

内的辐角称辐角主值，记为argZ.

要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.

例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.

解:法一，数形结合

由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），

|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.

显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,

另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)

则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,

∴|Z|=≤=,

∵(x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,

∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.

小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.

例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小

值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|