11-3函数的幂级数展开,逼近定理
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开幂级数具有良好性质。
如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。
Taylor 级数由Taylor 公式，若函数f 在0x 的某个邻域上具有1+n 阶导数，那么在该邻域上成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ， 其中1000)1()()!1())(()(++-+-+=n n n x x n x x x f x r θ（10<<θ）为Lagrange 余项。
因此可以用多项式n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+ 来近似)(x f 。
自然会想到，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精确度。
基于这种思想，若函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上任意阶可导，就可以构造幂级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f ， 这一幂级数称为f 在0x 点的Taylor 级数，记为~)(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 。
称!)(0)(k x f a k k = （ ,2,1,0=k ） 为f 在0x 点的Taylor 系数。
特别地，当00=x 时，常称∑∞=0)(!)0(n n n x n f 为f 的Maclaurin 级数。
假设函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上可表示成幂级数∑∞=-=00)()(n n n x x a x f ， ),(0r x O x ∈，即∑∞=-00)(n n n x x a 在该邻域上的和函数为f (x )。
根据幂级数的逐项可导性，f 必定在),(0r x O 上任意阶可导，且对一切∈k N +，成立∑∞=--+--=k n k n n k x x a k n n n x f )()1()1()(0)( 。
函数的幂级数的展开与技巧
1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。
如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。
下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002， 显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ， 由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
幂级数展开
f (z) ln z,
f '(z) 1 , z
f
''(z)
1! z2
,
f (1) ln 1 n2i,
f '(1) 1, f ''(1) 1,
可象单值函数那样在各单值 分支上作泰勒展开。
f
(3) (z)
2! z3 ,
f (3) (1) 2!,
y
f
(4)
(z)
3! z4
,
f (4) (1) 3!,
|
z
z0
|
|
z
z0 R
|
,
引入记号 R lim ak
a k k 1
若 | z z0 | 1 R
| z z0 | R
(3.2.3) (3.2.4)
则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
12
故当 z z0 R ，绝对收敛
解 f (z) (1 z)m ,
f (0) 1m ,
f '(z) m(1 z)m1,
f '(0) m1m ,
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2 ,
f ''(0) m(m 1)1m ,
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3, f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m ,
级数收敛，
S
lim
n
Sn
S称为级数和；若极限不存在，
则称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径高考数学知识点精讲：幂级数的展开与收敛半径在高考数学中，幂级数是一个重要的知识点，其中幂级数的展开与收敛半径更是理解和解决相关问题的关键。
让我们一起来深入探讨这个知识点，帮助同学们在高考中轻松应对相关题型。
首先，我们来了解一下什么是幂级数。
简单来说，幂级数就是形如∑（n=0 到∞） aₙ xⁿ ＝ a₀＋ a₁ x ＋ a₂ x²＋ a₃ x³＋的无穷级数。
其中，aₙ 被称为幂级数的系数，x 是变量。
那么，为什么要研究幂级数的展开呢？这是因为通过将一些复杂的函数展开成幂级数的形式，我们能够更方便地对其进行分析、计算和研究。
接下来，我们看看幂级数的展开方法。
常见的有直接展开法和间接展开法。
直接展开法是根据幂级数的定义，利用泰勒公式将函数在某一点展开成幂级数。
泰勒公式为：f(x) ＝ f(x₀) ＋ f'（x₀)（x x₀) ＋ f'＇（x₀)（x x₀)²／ 2! ＋ f'＇＇（x₀)（x x₀)³／ 3! ＋。
例如，对于函数 f(x) ＝eˣ，我们想在 x ＝ 0 处将其展开成幂级数。
首先求导可得 f'（x) ＝eˣ，f'＇（x) ＝eˣ，f'＇＇（x) ＝eˣ，，所以f(0) ＝ 1，f'（0) ＝ 1，f'＇（0) ＝ 1，，则eˣ ＝ 1 ＋ x ＋ x²／ 2! ＋ x³／ 3! ＋。
间接展开法则是利用已知的幂级数展开式，通过一些运算（如四则运算、变量代换等）得到新的幂级数展开式。
比如，已知 1 ／（1 x) ＝ 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋（｜x| ＜ 1），那么通过将 x 替换为 x²，可以得到 1 ／（1 ＋ x²) ＝ 1 x²＋ x⁴ x⁶＋（｜x| ＜ 1）。
讲完了幂级数的展开，我们再来重点探讨一下收敛半径。
两类幂函数的三角级数展开公式
两类幂函数的三角级数展开公式幂函数是一类常见的数学函数，涉及到幂指数的运算。
幂函数的三角级数展开是一种通过三角函数的级数来近似表示幂函数的方法。
一、幂函数的三角级数展开公式：对于任意幂函数，我们可以将其展开为三角级数的形式，具体可以分为两类：正弦级数和余弦级数。
1.正弦级数展开：对于具有周期为2π的函数f(x)，若f(x)在周期内可表示为如下形式：f(x) = a₀ + a₁sin(x) + a₂sin(2x) + a₃sin(3x) + ...其中a₀，a₁，a₂，a₃等为待求系数。
这是正弦级数展开的一般形式。
对于幂函数x^n(n为正整数)，其在区间[-π,π]上的正弦级数展开形式为：x^n = 2/π * (sin(x) + 1/2^2 * sin(2x) + 1/3^2 * sin(3x)+ ... + 1/n^2 * sin(nx) + ...)2.余弦级数展开：类似地，我们也可以将幂函数展开为余弦级数的形式。
同样地，对于具有周期为2π的函数f(x)，我们可以表示为：f(x) = a₀ + a₁cos(x) + a₂cos(2x) + a₃cos(3x) + ...幂函数x^n的余弦级数展开形式为：x^n = 1 + 2/π * (cos(x) + 1/2^2 * cos(2x) + 1/3^2 * cos(3x) + ... + 1/n^2 * cos(nx) + ...)在这两类级数展开中，我们可以通过不断迭代计算级数的部分和来近似表示幂函数。
当级数的项数越多时，近似效果越好。
二、幂函数三角级数展开的应用：幂函数的三角级数展开在数学和工程领域有广泛的应用。
1.函数逼近：幂函数的三角级数展开可以将任意函数近似为级数形式，通过保留足够多的项数来实现对函数的逼近。
这对于一些复杂函数的计算和分析提供了方便。
2.信号处理：三角级数展开可用于处理周期信号。
通过将信号展开为三角级数形式，可以方便地对信号进行分析和处理，如去除噪声、提取频率成分等。
函数的幂级数展开-逼近定理汇总
2
傅里叶级数由正弦函数和余弦函数构成，可以表 示为无穷级数的和，其中每一项都是正弦函数或 余弦函数的线性组合。
3
傅里叶级数的定义基于三角函数的正交性，即在 一个周期内，任何两个不同的三角函数都不会有 相同的积分。
傅里叶级数展开的几何意义
01
傅里叶级数展开的几何意义是将一个周期函数表示为一系列正 弦函数和余弦函数的叠加。
收敛性的判定主要依赖于幂级数的系数和项数， 以及自变量 (x) 的取值范围。
02 泰勒级数展开
泰勒级数定义
泰勒级数定义
对于在某点的可微函数，可以表 示为在该点的n阶导数与n阶倒数 的无穷乘积，即f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-
收敛性的判定通常基于三角函数的性质和函数的周期性，不同的函数可能 有不同的收敛条件和收敛速度。
04 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法定义
拉格朗日插值法是一种通过已知的离 散数据点来构造一个多项式，并利用 该多项式对未知数据进行逼近的方法 。
该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗 日于18世纪提出，是数值逼近理论中 的重要工具之一。
牛顿插值法的收敛性
牛顿插值法的收敛性是指当插值节点增加时，插值多项式的逼近效果会越来越好。具体来说，如果函 数在插值节点上取值的极限存在，则当插值节点趋于无穷时，插值多项式的极限就是该函数的极限。
然而，如果函数在插值节点上取值的极限不存在，则插值多项式的极限也不存在，此时插值多项式无 法逼近该函数。因此，在使用牛顿插值法时需要注意函数的性质和取值情况。
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函数的幂级数展开及一致收敛问题
一、函数的幂级数展开1、若f(x)能展开成幂级数，则展开的形式只能是：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=2、f(x)展开成幂级数要求f(x)在x0点附近任意阶可导3、f(x)在x0处任意阶可导，所得到的幂级数未必就是f(x)，如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(2/1x x e x f x4、若f(x)在x0附近具有n+1阶导数，则有n 阶Tailor 公式：10)1(000)()()!1()( ,)(!)()(++=-+=+-=∑n n n n nni i x x n fR R x x n x fx f ξ注：（1）推导上述公式（2）上述公式当n=0时，就是拉格朗日中值定理（3）公式表明：可导的函数f(x)可以用一个多项式来近似表示，其误差为|Rn| （4）若f(x)任意阶可导，Tailor 公式还可以一直写下去，得到的级数称为泰劳级数（总有Rn ）5、泰劳定理：任意阶可导的函数nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=的充要条件是0→n R证明：（充分性）由泰劳定理，有n n R x S x f +=)()(令n →∞，有0)(!)(lim )(lim )(000)(+-=+=∑∞=∞→∞→nn n n n n n x x n x fR x S x f(必要性) 由n n R x S x f +=)()(，即)()(x S x f R n n -=若)(lim )(!)()(000)(x S x x n x fx f n n nn n ∞→∞==-=∑，则nn n n n n n x x n x fx S x f R )(!)()(lim )(lim 000)(-=-=∑∞=∞→∞→注：（1）本定理表明给出了f(x)能展成幂级数的充要条件有两个： (i)可导 (ii)余项无穷小（2）当x0=0时，所得的级数称为马克劳林级数（更常用） （3）本定理也给出了将f(x)展开幂级数的方法： (i) 求f (n)(x) （若某个不存在，则终止） (ii) 写出幂级数(iii) 求出幂级数的收敛区间 (iv) 在收敛区间内，验证Rn →0(v) 写出完整的等式（在收敛区间内成立！！） 举例: （1）e x （P219图）（2）sin x（3）(1+x )a （余项为0不好验证！！）另一验证方法：(i) 求出绝对收敛域f(x)=“二项式级数” （-1，1）(ii) 求f ’(x)(iii) 两端同乘(1+x)，并整理次序（因绝对收敛），其中，利用!)1()1(!)()1()!1()1()1(n n m m m n n m m n n m m +--=--+-+--(iv) 令g(x)=f(x)/(1+x)m ，验证g(0)=1，g ’(x)=0 (v) 进而证明f(x)=(1+x)m展成幂级数的间接展开法：举例：1、变量代换法2、恒等式（函数关系法）3、导数、积分关系法展成一般幂级数的方法：举例：1、将sinx 展成(x-π/4)的幂级数 2、将1/x 展成(x-1)的幂级数二、幂级数展开的应用1、近似计算： P224例1~52、Euler 公式：（1）nn zzn e∑∞==!1（2）yi y y n i y n iy n en n n n n n nn iysin cos )!12()1()!2()1()(!1120200+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+∞=∞=∞=∑∑∑（3）2sin ,2cosixixixixe ex e e x ---=+=（4）)sin (cos y i x e e e e x iy x iy x +==+4、将e xcos x 展成x 的幂级数： 解：因为nnn xi xi xx i n e ex e⎪⎭⎫⎝⎛+===∑∞=++)4sin4(cos2!1ReRe Re cos 0)4sin4(cos2)1(ππππ()!4c o s24s i n 4c o s 2!Re!)1(Re2/0n xn n i n n xxn i nn n nnn n πππππ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=三、函数的一致收敛性例1 级数⎩⎨⎧=∈=+-++-+-+=-1,1)1,0[,0)()()()(1232x x xxx xx xx x f n n。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式首先，我们来了解一下函数展成幂级数的定义。
给定一个函数 f(x)，我们希望能够找到一系列常数 a0、a1、a2...an 和幂级数∑(n=0 to∞)an(x-c)^n，使得对于给定的 x 的一些范围内，f(x)可以用幂级数进行近似表示。
这个幂级数的展开点 c 表示了幂级数的发散点或收敛点。
接下来，我们介绍一些常见的函数展成幂级数的公式。
1.泰勒级数：泰勒级数是展开函数的一种特殊情况，它是函数f(x)在一些点c处的幂级数表示。
泰勒级数的公式为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+f'''(c)(x-c)^3/3!+... 2.麦克劳林级数：麦克劳林级数是中心点c为0的泰勒级数，它是函数在原点附近的幂级数表示。
麦克劳林级数的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...3.求和公式：对于一些特定的函数，我们可以使用求和公式来展开函数为幂级数表示。
例如：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这些公式是函数展成幂级数的基础，可以通过逐阶求导和求和运算得到。
其中，泰勒级数和麦克劳林级数是最常见的展开形式，适用于大多数函数的近似表示。
求和公式则适用于一些特定的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。
此外，函数展成幂级数还有一些重要的性质和定理，如幂级数的收敛域、幂级数的计算方法（如微积分运算）、幂级数的和函数和导数等。
幂级数及其收敛性
因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，
所以，上式右端级数的收敛半径仍为 R = 1;
故收敛域为 1 < x ≤ 1 .
例 2 试求幂级数
的收敛区间 .
解 所给的幂级数为不缺项的，
它是发散的.
此为调和级数，
解 所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，
对此正项级数利用比值审敛法
否则称为缺项的幂级数.
例如幂级数
缺 x 的奇次幂，
叫缺项的幂级数，
又如
是不缺项的幂级数.
定理
如果
该幂级数收敛;
该幂级数发散.
. 即
因为它不一定是正项级数，
当 x = 1 时，该级数收敛 .
而当 x = 1 时该级
数发散，
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，
故 R = 1，
因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 .
解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1，
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
幂级数 :
称为泰勒级数 .
利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数的方法，称为直接展开法 .
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
可以
得到
二、 直接展开法
因此我们可以得到幂级数
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .
收敛区间为 (0 , 2) .
所以
因
解
则原题就转化成
将函数
于是有
最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，
以便于读者查用 .
其端点的收敛性与 m 有关.
最后一个式子称为二项展开式，
常用幂级数展开
常用幂级数展开常用幂级数展开幂级数是一种数学工具，用于将一个函数表示为无限项的多项式的形式。
它在数学分析、物理学和工程学等领域中广泛应用。
在实际问题中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，而幂级数展开提供了一种有效的方法来实现这一目标。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如∑(n=0 to ∞)an(x-a)n的无穷级数，其中a和x是实数或复数。
其中，an称为系数，a称为展开点。
2. 幂级数收敛性幂级数的收敛性与展开点x-a之间的距离有关。
当x-a在某个区间内时，幂级数可能会收敛；当x-a超出该区间时，幂级数可能会发散。
3. 常见的幂级数展开公式以下是一些常见函数的幂级数展开公式：- 指数函数：e^x = ∑(n=0 to ∞)(x^n/n!)- 正弦函数：sin(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)- 余弦函数：cos(x) = ∑(n=0 to ∞)((-1)^n*x^(2n)/(2n)!)这些公式可以用于计算指数函数、正弦函数和余弦函数在某个展开点处的近似值。
4. 幂级数展开的应用幂级数展开在各个领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：- 物理学中的运动学问题：通过对位移、速度和加速度进行幂级数展开，可以得到近似解，从而简化运动学问题的分析。
- 工程学中的电路分析：通过对电流和电压进行幂级数展开，可以得到电路中各个元件的近似值，从而简化电路分析。
- 经济学中的财务分析：通过对收入和支出进行幂级数展开，可以得到财务指标的近似值，从而进行财务分析。
5. 幂级数展开的计算方法要计算一个函数的幂级数展开，通常有两种方法：- 直接计算法：根据函数的定义和性质，将其转化为一个已知函数或已知序列的形式，并利用已知序列的幂级数展开公式来计算。
- 微积分法：利用微积分中的导数和积分等运算规则，将函数表示为无穷项求和形式，并根据求导和积分公式逐项计算。
6. 幂级数展开的误差估计幂级数展开是一种近似方法，其结果与原函数之间存在误差。
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是数学中重要的概念之一，其应用广泛，涵盖了多个领域，包括工程、物理、计算机科学等。
本文将介绍函数的幂级数展开的定义、性质、推导和应用。
一、定义函数的幂级数展开是将一个函数表示成一个无穷级数的形式，即：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + ... +an(x - c)^n + ...其中，a0, a1, a2 ... an 是常数，叫做幂级数的系数，c 是展开点，x 是变量。
二、性质1. 唯一性：如果一个函数在某个点处的幂级数展开式存在，那么它的幂级数展开式唯一。
2. 收敛性：在幂级数的收敛区间内，幂级数展开式收敛，即根据函数的性质可以准确表达函数的值；在展开点之外，则可能发散或发生收敛半径发生变化。
3. 运算性质：幂级数具有良好的运算性质，如加、减、乘、除等运算。
三、推导1. 首先，在幂级数的收敛区间内，函数在展开点 c 处可以通过泰勒公式来展开，即：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)^2 / 2! + ... + f^(n)(c)(x - c)^n / n! + Rn其中，f^(n) 表示函数的 n 阶导数，Rn 是余项。
2. 如果展开点 c = 0，则泰勒公式称为麦克劳林公式。
3. 将幂级数的展开式与麦克劳林公式相比较，可以得到幂级数的系数与函数的导数之间的关系，即：a0 = f(c), a1 = f'(c), a2 = f''(c) / 2! ... an = f^(n)(c) / n!4. 将幂级数的系数代入幂级数的展开式中，即可得到函数的幂级数展开式。
四、应用1. 近似计算：当某些函数难以直接计算时，可以通过幂级数展开对其建立近似计算模型。
例如，将正弦函数展开成其傅里叶级数，可以用来近似计算其值。
2. 函数的求导和积分：对于某些函数，其求导和积分可能更容易计算，此时可以通过对函数的幂级数展开式进行求导和积分，得到原函数的导数和积分的展开式。
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
函数的幂级数展开解读
的麦克劳林级数在其收敛域内的和函数是否一定
是 f ( x )呢？ 关于这个问题的结论是：
如果函数 f ( x ) 在含0的一个区间内有任意阶导 数，则在此区间内，函数 f ( x ) 的麦克劳级数的和
lim Rn ( x ) 0. 函数为f ( x ) 的充要条件是 n
此时一定有
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n!
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( n1) ( x) n1 f ( x) f (0) f (0) x x x x 2! n! (n 1)!
此式称为函数 f ( x )的麦克劳林公式。 2 泰勒级数 若函数 f ( x ) 在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有任
一、泰勒公式与泰勒级数
1 泰勒中值定理 若函数 f ( x )在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有直 到 n 1 阶的导数，则当 x在 (a , b) 内时，函数 f ( x )
可表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个余项之
和，即
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) 2! n!
此式称为函数 f ( x ) 按 x x0的幂展开的 n 阶泰勒公
式，而 Rn ( x)的表达式称为拉格朗日型余项。 当 n 0 时的泰勒公式为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
这就是曾学过的拉格朗日中值定理。 在泰勒公式中，若取 x0 0，则 在0与x之间 , 可记 x(0 1) ，从而泰勒公式成为如下简单 的形式
11-3函数的幂级数展开,逼近定理
例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数.
2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
x ( ,)
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例3 将f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.
例 1 求级数 ( 1)
n 1
n 1
xn 的和函数. n
例 2 求级数 n x n 的和函数.
n 1
2n 1 由此题，求 n 。 2 n 1
n( n 1) (可构造幂级数求数 例 3 求 的和. n 项级数的和) 2 n 1
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1 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 2 n n!
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欲使 rn 10 5 ,
1 只要 105 , n n!
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 105 ,
x0 x0
在x=0点任意可导, 且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,)
n 代入上述表达式的右端得到： 0 x n0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除x 0外, 该级数处处不收敛于 f ( x ).
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逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.
有：
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
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1
a ( x x ) (2) 逐项可积性 幂级数 n 的和函数 n 0 0
n
s( x ) 在收敛域 K 的任一有界闭子区间上可积,且
x s( x)dx x [ a ( x x ) n ] dx x x 0 n 0 0 n0 x an n 1 n ( x x ) ( x K ). x an ( x x0 ) dx 0 n 0 n 1 0 n 0
x ( , ) x ( , )
x ( 3) cos x ( 1) ( 2n)! n 0
n
2n
x (4) ln(1 x ) ( 1) n1 n 0
n
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n1
x ( 1, 1 ]
25
( 1)( n 1) n (5) (1 x ) x n! n 0
注
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2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
2 n 1
1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)! 2n 1 2 1 4 n x cos x 1 x x ( 1) 2! 4! ( 2n)!
1 x ( n1) n R ( x ) f (t )( x t ) dt 其中 n n! x0
称为积分余项 .
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利用积分中值定理可得： （1） Rn ( x )
f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) ( n 1)!
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ห้องสมุดไป่ตู้ 则，
f ( x )=f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
( n)
--------f(x)的幂级数展开
( x0 ) n ( x x0 ) n!
n 0
n0
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f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n!
1 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 2 n n!
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欲使 rn 10 5 ,
1 只要 105 , n n!
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 105 ,
称为拉格朗日余项 .
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余项的积分表达式
定理：若函数 则在该邻域内有 : 的某邻域内具有任意阶导数,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
x ( , )
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arctan x
x
0
dx 1 x2
2 n 1 1 3 1 5 x x x x ( 1) n 3 5 2n 1 x [1,1]
dx ln(1 x ) 0 1 x n 1 2 1 3 x x x x ( 1) n1 2 3 n x ( 1,1]
1 2 1 n e 1 x x x , 解 2! n! 令 x 1, 得 e 1 1 1 1 , 2! n!
x
1 1 1 1 (1 ) rn ( n 1)! n 2 ( n 1)! ( n 2)!
( n 0,1,2,)
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6
如果 f ( x ) 在点 x0 的某邻域任意阶可导, 是否一定有：
问题
f ( x )=
n 0
f
(n)
( x0 ) n ( x x0 ) n!
？
回答是：不一定.
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1 2 e x , 例如 f ( x ) 0,
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d ex 1 n 例6.展开 ( )为x的幂级数，并求 dx x n 1 ( n 1)!
(2n 1) x 例7.求幂级数 的和函数。 n! n 0
2n
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3、幂级数在近似计算中的应用举例
例1 计算e的近似值, 使其误差不超过10 5 .
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n!
x ( 1,1)
在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
1 特别 : xn 1 x n 0 1 ( 1)n x n 1 x n 0
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 0.9461
1
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常用函数的麦克劳林级数
x (1) e n 0 n!
x
n
x ( , )
2n1 x ( 2) sin x ( 1)n ( 2n 1)! n 0
n s ( x) ( an ( x x0 ) ) n 0
nan ( x x0 ) .
n 1 n 1
x ( R, R )
逐项微分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径. 注: 逐项微分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
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二、幂级数的分析性质
(1) 连续性
a ( x x0 ) 的收敛半径为 R, 设幂级数 n 0 n
n
a ( x x ) 幂级数 n 的和函数 s( x ) 在区间 n 0 0
n
( x0 R, x0 R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧
连续.
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x
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例4 将下列级数展开成 x 2的幂级数
1 (1) f ( x ) ; 5 x
2
( 2) ln x
例5将 sin x展开为x的幂级数，并确定 成立的范围。
P103 7； 8；10(1); 11(1)；12(1)；14(1)(2)
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三、函数的幂级数展开
问题: 幂级数不仅形式简单，而且有很多良好 性质。那么，给出 f (x) , 是否存在幂级 数在其收敛域内以 f (x)为和函数，即：
f ( x ) a n ( x x0 )
n 0
n
x K
1.如果存在,
a n 是什么?
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
-----拉格朗日余项 ( n 1) ( x0 ( x x0 )) （2）Rn ( x ) f (1 ) n ( x x0 ) n1 , n!
(0 1)
-----柯西余项
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2. 函数展开成幂级数
1.直接法
步骤: (1) 求a n
例 1 求级数 ( 1)
n 1
n 1
xn 的和函数. n
例 2 求级数 n x n 的和函数.
n 1
2n 1 由此题，求 n 。 2 n 1
n( n 1) (可构造幂级数求数 例 3 求 的和. n 项级数的和) 2 n 1
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f
(n)
( x0 ) ; n!
n
(2) 讨论： 若 lim Rn 0
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
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例1 将f ( x ) e 展开成幂级数.
x
1 2 1 n e 1 x x x x ( , ) 2! n!
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定理 1
如 果 函 数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内 能 展 开 成 ( x x0 )的幂级数, 即
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
则 f ( x ) 在U ( x0 )内任意阶可导，其系数
1 (n) a n f ( x0 ) n!
x0 x0
在x=0点任意可导, 且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,)
n 代入上述表达式的右端得到： 0 x n0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除x 0外, 该级数处处不收敛于 f ( x ).
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x
例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数.
2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
x ( ,)
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