11-3函数的幂级数展开,逼近定理

f
(n)
( x0 ) ; n!
n
(2) 讨论： 若 lim Rn 0
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
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例1 将f ( x ) e 展开成幂级数.
x
1 2 1 n e 1 x x x x ( , ) 2! n!
x
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例4 将下列级数展开成 x 2的幂级数
1 (1) f ( x ) ; 5 x
2
( 2) ln x
例5将 sin x展开为x的幂级数，并确定 成立的范围。
P103 7； 8；10(1); 11(1)；12(1)；14(1)(2)
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三、函数的幂级数展开
问题: 幂级数不仅形式简单，而且有很多良好 性质。那么，给出 f (x) , 是否存在幂级 数在其收敛域内以 f (x)为和函数，即：
f ( x ) a n ( x x0 )
n 0

n
x K
1.如果存在,
a n 是什么?
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

1 特别 : xn 1 x n 0 1 ( 1)n x n 1 x n 0
注
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2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
2 n 1
1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)! 2n 1 2 1 4 n x cos x 1 x x ( 1) 2! 4! ( 2n)!
1 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 2 n n!
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欲使 rn 10 5 ,
1 只要 105 , n n!
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 105 ,
n s ( x) ( an ( x x0 ) ) n 0
nan ( x x0 ) .
n 1 n 1

x ( R, R )
逐项微分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径. 注: 逐项微分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
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定理 1
如 果 函 数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内 能 展 开 成 ( x x0 )的幂级数, 即
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0

则 f ( x ) 在U ( x0 )内任意阶可导，其系数
1 (n) a n f ( x0 ) n!
( n 0,1,2,)
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如果 f ( x ) 在点 x0 的某邻域任意阶可导, 是否一定有：
问题
f ( x )=
n 0

f
(n)
( x0 ) n ( x x0 ) n!
？
回答是：不一定.
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1 2 e x , 例如 f ( x ) 0,
逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.
有：
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
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(3) 逐项可导性
n a ( x x ) 幂级数 n 的和函数 0 n 0
s( x ) 在收敛区间
( R, R )内可导, 并可逐项求导任意次.且有：
例 1 求级数 ( 1)
n 1

n 1
xn 的和函数. n
例 2 求级数 n x n 的和函数.
n 1

2n 1 由此题，求 n 。 2 n 1

n( n 1) (可构造幂级数求数 例 3 求 的和. n 项级数的和) 2 n 1
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-----拉格朗日余项 ( n 1) ( x0 ( x x0 )) （2）Rn ( x ) f (1 ) n ( x x0 ) n1 , n!
(0 1)
-----柯西余项
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2. 函数展开成幂级数
1.直接法
步骤: (1) 求a n
二、幂级数的分析性质
(1) 连续性
a ( x x0 ) 的收敛半径为 R, 设幂级数 n 0 n
n

a ( x x ) 幂级数 n 的和函数 s( x ) 在区间 n 0 0
n

( x0 R, x0 R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧
连续.
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x0 x0
在x=0点任意可导, 且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,)
n 代入上述表达式的右端得到： 0 x n0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除x 0外, 该级数处处不收敛于 f ( x ).
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1 2 1 n e 1 x x x , 解 2! n! 令 x 1, 得 e 1 1 1 1 , 2! n!
x
1 1 1 1 (1 ) rn ( n 1)! n 2 ( n 1)! ( n 2)!
1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
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sin x 4 例2 计算 dx 的近似值, 精确到10 . 0 x
1
sin x 1 1 1 2 4 6 解 1 x x x x ( , ) x 3! 5! 7! 1 sin x 1 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 7 7! 收敛的交错级数 1 1 4 10 , 第四项 7 7! 3000
x
例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数.
2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
x ( ,)
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例3 将f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n!
x ( 1,1)
在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 0.9461
1
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常用函数的麦克劳林级数
x (1) e n 0 n!
x

n
x ( , )
2n1 x ( 2) sin x ( 1)n ( 2n 1)! n 0
问题：在什么条件下，任意阶可导的函数可以 表示为一个幂级数？
令Rn ( x )
=f ( x )-{f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) } n!
由级数收敛的概念知，若在某区间内，
n
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lim Rn ( x ) 0
x ( , ) x ( , )
x ( 3) cos x ( 1) ( 2n)! n 0
n

2n
x (4) ln(1 x ) ( 1) n1 n 0
n
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n1
x ( 1, 1 ]
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( 1)( n 1) n (5) (1 x ) x n! n 0
x ( , )
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arctan x
x
0
dx 1 x2
2 n 1 1 3 1 5 x x x x ( 1) n 3 5 2n 1 x [1,1]
dx ln(1 x ) 0 1 x n 1 2 1 3 x x x x ( 1) n1 2 3 n x ( 1,1]
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d ex 1 n 例6.展开 ( )为x的幂级数，并求 dx x n 1 ( n 1)!
(2n 1) x 例7.求幂级数 的和函数。 n! n 0
2n
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3、幂级数在近似计算中的应用举例
例1 计算e的近似值, 使其误差不超过10 5 .
1 x ( n1) n R ( x ) f (t )( x t ) dt 其中 n n! x0
称为积分余项 .
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利用积分中值定理可得： （1） Rn ( x )
f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) ( n 1)!
1
a ( x x ) (2) 逐项可积性 幂级数 n 的和函数 n 0 0
n

s( x ) 在收敛域 K 的任一有界闭子区间上可积,且
x s( x)dx x [ a ( x x ) n ] dx x x 0 n 0 0 n0 x an n 1 n ( x x ) ( x K ). x an ( x x0 ) dx 0 n 0 n 1 0 n 0
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则，
f ( x )=f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )


f
( n)
--------f(x)的幂级数展开
( x0 ) n ( x x0 ) n!
n 0
n0
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f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n!
若函数 则在该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
f ( x0 ) 2 ( x x ) 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点x0 0 的麦克劳林级数. n!
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函数能否展为幂级数，关键在于考察在 U ( x0 )内 是否有 lim Rn ( x ) 0 .
n
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回顾第六章第2节，泰勒(Taylor)公式：
称为拉格朗日余项 .
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余项的积分表达式
定理：若函数 则在该邻域内有 : 的某邻域内具有任意阶导数,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!