研究卡诺热机及其效率

研究卡诺热机及其效率

Research on the Thermal Machine and Its Efficiency 淮阴工学院数理学院应用物理1101班沈梅玲1104105106

The establishment of the particle physics and the application of physics

Huaiyin tech applied physics Shen Mei-ling

摘要：本文给出了对卡诺热机效率（主要是理想气体和范德瓦尔斯气体）的详细推导，并对其进行推广，还有对其拓宽与发展，从而使人们对卡诺热机有一个更为全面的认识。Abstract: This paper not only gives a detailed derivation for the efficiency of the Carnot thermal machine, but also extends to the efficiency of the Carnot refrigerating machine. All of those make an overall cognition to the Carnot thermal machine for people. we can look at the formation and development.

关键词：卡诺循环；效率；拓宽

Keywords: Carnot cycle; efficiency; broaden

1 引言

法国军事工程师萨迪·卡诺（S． Carnot，1796—1832）于1824年出版了《关于火的动力的思考》一书，总结了他早期的研究成果。卡诺以找出热机不完善性的原因作为研究的出发点，阐明从热机中获得动力的条件就能够改进热机的效率,分析了蒸汽机的基本结构和工作过程,由理想循环入手，以普遍理论的形式，作出关于消耗热而得到机械功的结论。他指出热机必须在高温热源和低温热源之间工作，“凡是有温度差的地方就能够产生动力；反之，凡能够消耗这个力的地方就能够形成温度差，就可能破坏热质的平衡。”卡诺根据热质守恒思想和永动机不可能制成的原理，进一步证明了在相同温度的高温热源和相同温度的低温热源之间工作的一切实际热机，其效率都不会大于在同样的热源之间工作的可逆卡诺热机的效率。卡诺由此推断：理想的可逆卡诺热机的效率有一个极大值，这个极大值仅由加热器和冷凝器的温度决定，一切实际热机的效率都低于这个极值。

2 卡诺热机及其效率

2.1 卡诺循环及卡诺热机

法国工程师卡诺在对蒸汽机做热力学研究时，采用与众不同的方法，对蒸汽机做了简化。他设想，有一特殊的循环过程，在该循环过程中，系

统仅与温度为T 1、T 2的两个热源接触，且该循环由两个可逆等温过程及两个可逆绝热过程组成，我们称此类循环过程为卡诺循环。按照卡诺循环的顺时针方向进行工作的热机称作卡诺热机；反之，按照卡诺循环的逆时针方向进行工作的机械装置称作卡诺制冷机。

2.2 卡诺热机的效率

2.2.1 理想气体为工作物质的卡诺热机的效率

设某热机按照顺时针卡诺循环进行工作，且1、2、3、4各点的状态参量分别为（P 1,V 1,T 1)、（P 2,V 2,T 1）、(P 3,V 3,T 2)、（P 4,V 4,T 2）,现在来推导该卡诺热机的效率 η卡热。

对于物质的量为V mol 的理想气体，由图1知： 2-3，4-1为绝热过程，由绝热过程方程，有:

T 1V 21-γ=T 2V 31-γ （8） T 1V 11-γ=T 2V 41-γ

（9）

其中，γ为定压摩尔热容与定体摩尔热容之比γ=C p,m / C v,m >1,物质一定

时，k 为常数。联立（8）（9）得：

V 2/V 1=V 3/V 4 （10）

分析整个循环过程得：

①1-2等温膨胀（V 2>V 1),系统对外做功，内能不变，从外界吸热

⊿U 1=0 （11）

W 1

=-⎰

2

1

V V pdv

=-v

dv vRT v v /12

1

⎰

= -vRT 1In V 2/v 3 （12）

联立（2）（11）（12）得：

Q 1=-W 1+⊿U 1=-W 1=vRT 1In V 2/V 1>0 （13） ②2-3绝热膨胀（V 3>V 2）,外界对系统做功，内能减少，既不吸热，也不放热 Q 2=0 （14） ③3-4等温压缩（V 3>V 4),外界对系统做功，内能不变，对外界放热

⊿U 3=0 （15）

W 3=-⎰4

3

v v pdv

=-⎰4

3

/2v v v

dv vRT =-vRT 2In V 4/V 3 （16）

图1卡诺循环工作原理

联立（2）（15）（16)得：

Q

=-W3+⊿U3=-W3=vRT2In V4/V3<0 (放热) （17）

3

④4-1绝热压缩（V4>V3),外界对系统做功，内能增加，既不吸热，也不放热

Q

=0 （18）

4

联立(4)(10)(13)(14)(17)(18), 得到从初态1出发，回到末态（状态1）的整个循环过程中，卡诺热机效率为：

η卡热=（︱Q吸︱-︱Q放︱）/︱Q吸︱ =(︱Q1︱-︱Q2︱)/︱Q1︱

=（vRT1In V2/V1-vRT2In V3/V4）/vRT1In V2/V1

=(T1-T2)/T1=1-T2/T1 （19） 2.2.2 范德瓦尔斯气体气体为工作物质的卡诺热机的效率

实际上，热机的工作物质一般都不是理想气体，那么范德瓦尔斯气体的卡诺循环效率应满足什么关系?实际气体的范德瓦尔斯方程，即 V mol气体的状态方程为

(p+v2a/V2）(V-vb)=vRT（1）其中，a ,b为范德瓦尔斯常量，可由实验测得。把完全遵守上式的气体称为范德瓦尔斯气体，它比理想气体更接近实际气体。下面就是范德瓦尔斯气体为工作物质来研究卡诺循环效率。

1 绝热过程方程

当范德瓦尔斯气体经历一个准静态绝热过程时，系统与外界无热交换，即d Q=0系统的内能变化为d E=vC v d T+v2 a d V/V2 （2）为气体定体摩尔热容

其中，C

v

系统对外做功 d A=p d v（3）根据热力学第一定律

d Q=d E+d A（4）可得0=vC v d T+v2a/V2d V+p d V

再结合（1）式，就有

C

d T=-RT d V/(V-vb)

V

即 d T/T=-R d V/(C v(V-vb)) （5）对（6) 式积分，并整理得