自动控制原理(孟华)第7章习题解答(含过程)

习 题

7-1 根据定义

*

()e()e

nTs

n E s nT ∞

-==

∑

试求下列函数的E *

(s )和闭合形式的E (z )。 (1) e (t ) = t ； (2) 2

)

(1

)(a s s E +=

解 (1) e (t ) = t 求解过程可分为以下三个步骤进行：

① 求()e t 的采样函数*()e t ：由()()|,0,1,2,t nT e nT e t nT n ==== ，得斜坡函数()e t 在各采样时刻的值()e nT 。故采样函数为

*

00

()(0)()()()()()()()

()

n n e t e t e T t T e nT t nT e nT t nT nT t nT δδδδδ∞

=∞

==+-++-+=-=

-∑∑

② 求*()e t 的拉氏变换式*()E s ：*()e t 的拉氏变换式为*()E s

*

0223'

2'

'

'

2()

()02[][(1)]

1111(1)nTs

nTs

n n Ts Ts

nTs

Ts Ts

Ts

nTs

Ts

Ts

Ts

nTs Ts

Ts Ts Ts Ts E s e nT e

nTe

Te Te

nTe e e e

e

e

e

e

e

Te e e e e ∞

∞

--==-------------=

=

=+++++=-+++++=-+++++⎡⎤⎡⎤

=-=-=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

∑∑

③ 求()E z ：由*

1ln ()()|

s z

n

E z E s =

=，得2

()(1)

Tz E z z =

-

(2) 2)

(1)(a s s E +=

① 求()e t ：()at

e t te -=

② 求*

()e t

*

0()()(),()()|

anT

t nT

n e t e nT t nT e nT e t nTe

δ∞

-===

-==∑

所以 *

0()()anT

n e t nTe

t nT δ∞

-==

-∑

③ 求*

()E s

*

()()nTs

anT

nTs

n n E s e nT e

nTe

e

∞

∞

---===

=

∑∑

④ 求()E s

*

1ln 01

2

()()|

[()

2()

()

]anT

n

s z

n T

at at

at

n

E s E s nTe

z

e z e z n e z T

∞

--=

=---==

=++++∑

令1()at e z y -=，则

2

1

2

3

'

'

2

()(123)()1(1)n n

E y y y ny

yT y y y y yT

y Ty yT y y -=+++++=+++++⎛⎫== ⎪--⎝⎭

将1()at y e z -=代入上式，可得()E z 为 112

2

()

()[1()]

()

at

aT at aT

T e z Tze E z e z z e

----=

=

--

7-2 求下列函数的Z 变换X (z )。

(1) ()x t t =； (2) ()cos x t t ω=； (3) 2()x t t = (4) ()1e at

x t -=-； (5) ()e

at

x t t -=⋅； (6)

()e

sin at

x t t ω-=⋅

解 (1)

2

()(1)

T z X z z =

- (2) 2

(cos )()2cos 1z z T X z z z T ωω-=

-+

(3) 2

3

(1)()(1)

z z X z T

z +=- (4) (1e

)()(1)(e )

aT

aT

z

X z z z ---=

--

(5)

2

e ()(e

)

aT aT

T z X z z --=

- (6)

22

e

sin ()e

2e cos 1

aT

aT

aT

z T

X z z z T ωω=

-+

7-3 求下列拉普拉斯变换的Z 变换X (z )。 (1) 3()(1)(2)

s X s s s +=

++ ； (2) 2

1()()

X s s a =

+ ； (3) 2

1e

()(1)

Ts

X s s s --=

+

解 (1)(2) 略。