上海高考数学理科真题

2016年上海高考数学（理科）真题

一、解答题（本大题共有14题，满分56分）

1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)

【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)

2. 设32i

i

z +=，其中为虚数单位，则Im z =_________________

【答案】3-

【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-

3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________

【答案】

25

5

【解析】221125

521

d +==+

4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76

5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________

【答案】2log (1)x -

【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+

∴2log (1)x y =-

∴12()log (1)f x x -=-

6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3

， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】22

【解析】32BD =, 12

223

DD BD =⋅=

7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________

【答案】π5π

,66

x =

【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=

∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=

∴1

sin 2x =

∴π5π,66

x =

8. 在2n x ⎫⎪⎭-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________

【答案】112

【解析】2256n =， 8n =

通项8843

38

82()(2)r r

r r r r

C x

C x x

--⋅⋅-=-⋅

取2r =

常数项为228(2)112C -=

9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________

【解析】3,5,7a b c ===，2221

cos 22

a b c C ab +-=

=-

∴sin C =

∴2sin c R C ==

10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组1

1

ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________

【答案】(2,)+∞

【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=

11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大

值为___________ 【答案】4

12. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅的取值范围

是____________

【答案】[0,1+

【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+

π

cos [0,12]sin 12sin()14

BP BA ααα⋅=++=+∈++

13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π

2sin(3)sin()3

x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组

(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4

【解析】(i)若2a =

若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π

3

c =

(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π

3

c =

共4组

14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满

足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________

【答案】

528 【解析】2855

28

C =

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件 【答案】A

16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D

【解析】π

2

θ=-时，ρ达到最大

17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞

=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成