5描述函数分析

扩展的奈氏判据：若系统线性部分的幅相频率特性G（j \omega）曲线不 包围-1/N(A)曲线，则非线性系统稳定。反之，若 G（j \omega）曲线包 围-1/N(A)曲线，则非线性系统不稳定。如果 G（j \omega）和 -1/N(A) 相交，则系统存在等幅振荡。
(a) 表示系统稳定 (b) 为不稳定情况； (c) 表示可能存在极限环
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t

0
Bn Yn
1


2
0
y (t ) sin n td t
2 2 An Bn
n arctan
An Bn
根据第4个条件，对于奇对称函数，
A0 0
由第3个条件，只考虑基波分量： y (t ) A1 cos t B1 sin t Y1 sin(t 1 )
对于图(c),分析可得，M1点对应不稳定的极限环，M2对应稳定的极限环
极限环准则：曲线 G（j \omega）和 -1/N(A) 的每一个交点对应于一个 极限环。如果在交点附近，曲线 -1/N(A) 上沿着A增加的方向上的点没 有被曲线 G（j \omega）包围，那么这个交点对应的极限环稳定；否则， 极限环不稳定
0
y (t ) sin td (t )
0
y1 (t ) B1 sin t
4M
M sin td (t )
0
1


N(A)
Y1 4M 0 A A
5.3.1 极限环的存在性
x(t) N(A,w)
w(t) G(jw)
y(t)
假设上述系统存在一个幅值为A,频率为\omega的振荡。则回路变量满足
“硬”非线性：不连续非线性系统（它们不能局部地 用线性函数逼近）

饱和非线性
如：晶体管放大器、伺服电动机的输出力矩

开关（继电器）非线性
电子继电器、航天飞机控制中喷气发动机的输出力矩

死区非线性
直流电机转轴上的静摩擦作用

间隙和滞后非线性
如齿轮啮合。特点：多值性、能量存储
百度文库
理想继电器特性的描述函数
系统需满足以下条件： ①只有一个非线性元件 ②非线性元件是时不变的 ③对应于正弦输入，只需要考虑输出w(t)中的基波分量 ④非线性部分是奇函数
注： a. 条件1表明如果有多个非线性元件，要将它们集中起来， 或者只保留主要的非线性部分 b. 条件2限定只考查自治非线性系统 c. 条件3为过滤假设，意味着输出中的高频谐波将基本上被 过滤掉 d. 条件4是为了简化后面的Fourier分析

① ② ③
频域分析是线性系统分析和设计的有力工具
图形表示简便 物理含义清晰 系统阶数增加时，复杂程度稍微增加

描述函数方法近似于频率响应方法
描述函数方法主要用于预测非线性系统的极限环
极限环有时是我们期望的，如电子振荡器 有时极限环使得控制的精度下降 持续的振动导致磨损增加 其它不希望的效果

① ② ③
x y
w N ( A, ) x y G ( j ) w
所以有y G( j ) N ( A, )( y). 因为y 0，所以 G( j ) N ( A, ) 1 0
上式可写为 G( j) 1 / N ( A, )
极限环的幅值和频率必须满足上式。如果上面方程无解，那么 非线性系统不存在极限环
5.1.3 描述函数的计算
1. 分析计算法 当非线性部分由一个显函数描述，并且容易积分时，采用分析方法
2. 数值积分法
3. 实验估计法 适用于复杂非线性系统和动态非线性系统。不仅要用不同频率的输
入，而且输入的幅值也要变化，得到的结果是复平面上表示描述函
数的一组曲线
例：使用分析计算方法求硬弹簧的描述函数
式中：Y1 A12 B12，1 arctan A1 B1
因此，对于正弦输入，输出的基波分量是同频率的正弦函数。
描述函数法的定义是：输入为正弦函数时，输出的基波分 量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y1e j (t 1 ) Y1 j1 1 N ( A, ) e ( B1 jA1 ) jt Ae A A
G( j ) 1 / N ( A, )
这个方程表示两个关于A和\omega的非线性方程（实部、虚部各 一）。一般很难用解析方法求得系统解。 图解法：在复平面上画出方程的图像，求两条曲线的交点
1 不依赖于频率的描述函数
描述函数N只是增益A 的函数 N ( A, ) N ( A)
此时G ( j ) 1 N ( A)
x(t ) A sin t
M y( t ) M (0 t ) ( t 2)
傅氏展开
y( t ) A 0 (A n cos nt B n sin nt )
n 1
斜对称、奇函数A0=An=0
B1 2 1
2


y(t ) sin td (t )
可靠的
④
5.1.1 描述函数分析的例子 使用描述函数分析范德波尔方程

x ( x 1) x x 0
2

确定其是否存在极限环。如果存在，极限环的幅值和频率是多少？
5.1.2 基本假设
描述函数法可以很方便的发现极限环，并且确定极限环的幅值和频率，以及 稳定性 还可以用于指导设计补偿器以避免极限环
2 依赖于频率的描述函数
在复平面上，
1 / N ( A, )
对应一族曲线，其中每一条都是将\omega固定
而令A发生变化。
这族曲线与曲线G(j\omega) 有多个交点，只有在两条曲 线上的\omega匹配值相等的 交点才意味着存在极限环
5.3.2 极限环的稳定性
线性闭环系统的奈氏判据：如开环系统稳定，并且开环幅相频率特性G（j \omega） 曲线不包围（–1，j0）点，则其相应的闭环系统稳定。反之则不稳定。若开环频 率特性曲线恰好通过（–1，j0）点，则闭环系统处在临界稳定状态。
5.3.3 描述函数分析的可靠性 在以下三方面不够准确： ① 所预测的极限环的幅值和频率不精确 ② 预测有极限环，但实际不存在 ③ 存在预测不到的极限环
原因或解决方法：
① 计算机仿真很有必要
② 后两种情况并不经常出现，它们通常是因为违背了滤波假设或两条 曲线几乎相切造成的；在两条曲线几乎垂直的情况下，预测通常是
w x x3 / 2
输出w(t ) A sin(t ) A3 sin 3 (t ) / 2可以展开成Fourier级数 基波分量是 w1 (t ) a1 cos(t ) b1 sin(t ) 3 3 而且a1 0, b1积分得b1 A A 8
所以基波分量是 w1 ( A 3 A3 / 8) sin(t ) 描述函数为 N ( A, ) 1 3 A2 / 8
同时在复平面上画出频率响应函数 G(j\omega)（\omega变化）图像和描述函 数的负倒数(-1/N(A))的图像（A变化）。 如果两条曲线有交点，则存在极限环， 并且交点对应的A和\omega就是系统的解； 如果两条曲线相交n次，则系统存在n个 极限环，系统到达哪个极限环取决于初始 条件
5.1.2 基本定义
针对一任意非线性系统，设输入x=Asinω t,输出波形为 y(t)，则可以将y(t)表示为Fourier级数形式
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1