铁路曲线要素的测设

铁路曲线要素的测设、计算与精度分析
摘要
铁路线路平面曲线分为两种类型:一种是圆曲线,主要用于专用线和行车速度不高的线路上,另一种是带有缓和曲线的圆曲线,铁路干线上均用此种曲线。

曲线的五大要素,ZH(直缓点)、 HY(缓圆点)、QZ(曲中点)、 YH(圆缓点)、 HZ(缓直点),是曲线的重要线形特征
铁路曲线测设一般分两步进行,先测设曲线主点,然后依据主点详细测设曲线上的任意点。

结合本人的工作经验,就铁路圆曲线和缓和曲线上任一点坐标的计算及法向方位角的计算进行实例解析。

绪论
一、工程测量学概述
工程测量学是研究各种工程在规划设计、施工建设和运营管理阶段进行的各种测量工作的学科。

工程测量的特点是应用基本的测量理论、方法、技术及仪器设备，结合具体的工程特点采川具有特殊性的施测工绘方法。

它是测量学、摄影测量学及普通测量学的理论与方法在程工中的具体应用。

工程建设一般可分为：勘测设计、建设施工、生产运营三个阶段。

勘测设计阶段的测量主要任务是测绘地形图。

测绘地形图是在建立测绘控制网的基础上进行大比例尺地面测图或航空摄影测量。

建设施工阶段的测量主要任务是按照设计要求，在实地准确地标定建筑物或构筑物各部分的平而位置和高程，作为施工安装的依据(简称为标定)；是在建立仁程控制网的基础上，根据工程建设的要求进行的施工几测量。

生产运营阶段的测量主要任务是竣工验收测量和变形监测等测量工作。

工程测量按所服务的工程种类，可分为建筑工程测量、线路工程测量、桥梁与隧道工程测量、矿石工程测量、城市工程测量、水利工程测量等。

此外，还将用于大型设备的高精度定位和变形监测称为高精度工程测量;将摄影测量技术应用于工程建设称为工程摄影测量;而将自动化的全站仪或摄影仪在计算机控制下的测量系统称为三维工业测量。

测量学是研究地球的形状和大小以及确定地而(包含空中、地表、地下和海底)物体的空间位置，井将这些空间位置信息进行处理、存储、管理、应用的科学。

它是测绘学科重要的组成部分，其核心问题是研究如何测定点的空间位置。

测量学研究的容分为测定和测设两部分。

测定是指使用测量仪器和工具，通过测量和计算，得到一系列测量数据，或把地球表面的地形按一定比例尺、规定的符合缩小绘制成地形图，供科学研究和工程建设规划设计使用;测设是指把图纸上规划设计好的建筑物、构筑物的位置在地而上标定出来，作为施工的依据。

二、现代测量技术概述
随着现代科学技术的发展和高新技术的应用，传统的测量技术理论、方法、手段逐步或已经被现代测量技术所取代，以全球定位系统(GPS)、遥感技术(RS ) ，地理信息系统(GIS)为一体的3S技术，使测量学科发生了很大的改变。

全球定位系统以快捷、方便、高精度的地面点定位技术取代了传统的测距、测角的控制测量方法。

例如，长达18km的岭隧道首次使用GPS定位技术布设了洞外的GPS控制网。

遥感技术是在航空摄影测量的基础上，随着空间技术、电子技术和地球科学的发展而发展起来的获取空间信息的一种方法，扩大了获取地面、空间信息的围，其速度快、信息广。

例如，雷达遥感技术首次在世界最高隧道——青藏铁路风火山隧逆全面检测，检测结果各项技术指标均符合设计要求。

地理信息系统是由计算机系统、各种地理数据和用户组成，通过计算机对各种地理数据进行统计、分析、合成和管理，生成并输出用户所需要的各种地理信息，其在城市规划管理、交通运输，测绘、环保、农业、制图等领域发挥了重要的作用，并取得了良好的经济效益和社会效益。

例如，某测绘部门以市大比例尺地形图为基础图形数据，在此基础上综合叠加地下及地面的八大类管线(包括上水、污水、电子、通信、燃气、工程管线等)以及测量控制网、规划路线等基础测绘信息，形成一个测绘数据的城市地下管线信息系统，从而实现了对地下管线信息的全面现代化管理。

传统的测绘仪器、方法、手段也在发生巨大改变。

如全站型电子测速仪、数字水准仪、电子经纬仪等，使测量方法、手段向测量自动化发展，逐步取代了传统测量的三大件:普通经纬仪、水准仪、钢尺。

一、测量误差的概述
1-1圆曲线的测设
铁路线路平面曲线分为两种类型:一种是圆曲线，主要用护专用线和行车速度不高的线路上；另一种是带有缓和曲线的圆曲线，铁路干线上均用此种曲线。

铁路曲线测设一般分两步进行，先测设曲线主点，然后依据主点详细测设曲线。

铁路曲线测设常用的方法有:偏角法、支距法和极坐标法。

1.、
为了测设圆曲线的主点，要先计算出圆曲线的要素。

1.1圆曲线的主点
图1.1圆曲线的主点及要素
如图1所示：
JD——交点，即两直线相交的点；
ZY——直圆点，按线路前进方向由直线进入圆曲线的分界点；
QZ——曲中点，为圆曲线的中点；
YZ——圆直点，按路线前进方向由圆曲线进入直线的分界点。

ZH、QZ、YZ三点称为圆曲线的主点。

1.2圆曲线要素及其计算
在图1中：
T——切线长，为交点至直圆点或圆直点的长度；
L——曲线长，即圆曲线的长度(自ZY经QZ至YZ的圆弧长度)；
E——外矢距，为JD至QZ的距离。

E称为圆曲线要素。

T、L、
α；向右转则为α——转向角。

沿线路前进方向，下一条直线段向左转则为
左
α。

右
R——圆曲线的半径。

α、R为计一算曲线要素的必要资料，是己知值。

A可由外业直接测出，亦可由
纸上定线求得；R 为设计一时采用的数据。

圆曲线要素的计算公式，由图1得: ⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛-=••=•=12sec 1802tan 0απαα
R E R L R T 外矢距曲线长外线长ο （1-1） 式中计算L 时，α以度为单位。

在己知α, R 的条件下，即可按式（1）计算曲线要素。

它既可用计算器求得，
亦可根据α, R 由《铁路曲线测设用表》中二查取。

1.3圆曲线主点里程计算
主点历程计一算是根据计算出的曲线要素，山一己知点里程来推算，一般沿里
程增加方向由ZY →QZ →YZ 进行推算。

若已知交点的里程，则需先算出ZY 或YZ 的里程，由此推算其它主点
的里程。

1.4主点的测设
在交点(JD)上安置经纬仪，瞄准直线I 方向上的一个转点，在视线方向上量取
切线长T 得ZY 点，瞄准直线II 方向上一个转点，量T '得YZ 点;将视线转至角平分线上量取0E 用盘左、盘右分中得Qz 点。

在2Y, Q}z YZ 点均要打方木桩，上钉小钉以示点位。

为保证主点的测设精度，以利曲线详细测设，切线长度应往返丈量，其相对较差不大于20001时，取其平均位置。

1.2、偏角法测设圆曲线
仅将曲线主点测设于地面上，还不能满足设计和施工的需要，为此应在两主点
之间加测一些曲线点，这种工作称圆曲线的详细测设。

曲线上中桩间距适宜为m 20；地形平坦且曲线半径大于m 800时，圆曲线的中桩间距可为m 40；且圆曲线的中桩里程为m 20的整数信。

在地形变化处或按设计需要应另加设桩，则加桩宜设在整米处。

偏角法师曲线测设中最常用的方法。

偏角法测设曲线的原理
1.2.1测设原理
偏角法实质__L 是一种方向距离交会法。

偏角即为弦切角。

偏角法测设曲线的原理是:根据偏角和弦长交会出曲线点。

如图2,由ZY
点拨偏角1δ方向与量出的弦长1c 交于1点拨偏角2δ与由1点量出的弦长2c
交于2点；同样的方法可测出曲线上其他点。

1.2.2弦长计算
铁路曲线半径一般很大，m 20的圆弧长与相应的弦长相差很小，如
m R 450=
时，弦弧差为mm 2,两者的差值在距离丈量的容许误差围，因而通常情况
下，可将m 20的弦长当作弦长看待；只有当m R 400≤时，测设中才考虑弦弧差 的影响。

1．2.3偏角计算
由几何学得知，曲线偏角等」几其弦长所对圆心角的一半。

图1.2曲线偏角计算原理
图2中，ZH ～1点的曲线长为K ，已所对的圆心角为π
ϕο
180•=R K 则其相应的偏角为
πϕ
δο
18022•==R K （1-2） 式中，R 为曲线半径；K 为置镜点至测设点的曲线长。

若测设点间曲线长相等，设第1点偏角为1δ，则各点偏角依次为
122δδ•=
133δδ•=
……
1δδ•=n n
由于《测规》规定，圆曲线的中桩里程介为m 20的整倍数，而通常在ZY 、 QZ 、 YZ
附近的曲线点与主点间的曲线长不足m
20，则称其所对应的弦为分弦。

分弦所对应的偏角可按式(2)来计算。

测设曲线点的偏角，既可以按式（2）用计算器计算，亦可由《铁路曲线测
设表》(以下简称曲线表)第三册第六表查取。

1.3、长弦偏角法测设圆曲线
利用光电测距仪配合带有编程功能的计算器来测设曲线，采用长弦偏角法最适宜，如图3。

图1.3长弦偏角法原理
知道了曲线点的测设里程，即测设的曲线长L，即可进行计算。

其资料计算
公式如下：
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
•
=
i
i
i
i
i
i
R
c
R
L
δ
α
δ
π
α
sin
2
2
180ο
（1-3）
式中6、、C、为测设曲线点1的偏角与弦长。

测设时，将测距仪安置ZH点上，以JD为后视00
0''
'
ο方向，照准
部旋转
i
δ偏角，持镜者沿长弦视线方向移动，司镜人员用测距仪的跟踪测量法跟踪，当显示数字与弦长接近时，反光镜停卜，正式测出斜距和竖直角，然后算出水平距离;当平距与弦长相差1m左右时，用2m的钢卷尺直接量I.并钉卜木板桩，再将反光镜安J.木桩_L来校核距离，与弦长相差cm
1之即可。

长弦偏角法不仅可以跨越地而上的障碍，而且精度高、速度快，是一种能适用于
之各种地形的测设方法。

1．4、支距法测设圆曲线
切线支距法，实质为直角坐标法。

它是以ZY或YZ为坐标原点:以过ZY (或YZ)的切线为x轴，切线的垂线为y轴。

x轴指向JD。

y轴指向圆心O，如图4。

曲线点的测设坐标按下式计算：
图1.4曲线点的测设原理
()
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
•
=
-
=
•
=
π
α
α
α
ο
180
cos
1
sin
R
L
R
y
R
x
i
i
i
i
i
i
（1-4）
式中，L，为曲线点i至ZY（或YZ）的曲线长。

i
L一般定为m
10、m
20、……已
知R，即可计算出
i
x、
i
y。

亦可从曲线表第三册第九表中查取每m
10一桩的()i
i
x
L-
及
i
y的值，如表1
表1-1 圆曲线切线支距
L
700
=
R600
=
R500
=
R
x
L-y x
L-y x
L-y
10 0.00 0.07 0.00 0.08 0.00 0.10
20 0.00 0.29 0.00 0.33 0.10 0.40
30 0.01 0.64 0.01 0.75 0.02 0.90
40
0.02 1.14 0.03 1.33 0.04 1.60 50 0.04 1.79 0.06 2.08 0.08 2.50
i i 方向架直角器在i x 点测设曲线点，当i y 较大时，应在i x 处安置经纬仪来测设。

若使用曲线表，则从ZY (或YZ )开始沿切线方向每丈量i L ,应退回()i i x L -钉 桩来测设曲线点，如图5
图1.5支距法原理
切线支距法简单，各曲线点相互独立，无测量误差累积。

但由于安置仪器
次数多，速度较慢，同时检核条件较少，故一般适用于半径较大、Y 值较小的平 坦地区曲线测设。

2缓和曲线
2.1、缓和曲线的作用
当列车以高速由直线进入圆曲线时，就会产生离心力，危及该列车运行女全和影响旅客的舒适。

为此要使曲线外轨高些(称超高)，使列车产生一个倾力1F 以抵消离心力的影响，见图6。

为了解决超高引起的外轨台阶式升降，需在直线与圆曲线间加入一段曲率半径逐渐变化的过渡曲线，这种曲线称缓和曲线。

另外，当列车由直线进入圆曲线时，由于惯性力的作用，使车轮对外轨侧产生冲击力，为此，加设缓和曲线以减少冲击力。

再者，为避免通过曲线时，由于机车车辆转向架的原因，使轮轨产生侧向摩擦，圆曲线部分的轨距应加宽，这也需要在直线和圆曲线之间加设缓和曲线来过渡。

2.2、缓和曲线的性质
缓和曲线时直线与圆曲线间的一种过渡曲线。

它与直线分界处半径为∞，与 圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。

缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该
点到曲线起点的长度成反比，如图6
图2.1缓和曲线
C l l
=∝ρρ或1
式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径变更率。

当0l l =时，R =ρ，所以 C Rl =0 (2-1) 式中，0l 为缓和曲线总长。

C l =ρ是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可作为缓和曲 线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。

我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。

2.3、缓和曲线方程式
按照C l =ρ为必要条件导出的缓和曲线方程为：
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫++-=++-=ΛΛ511
37349
25422403366345640C l C l C l y C l C l l x （2-2） 根据测设要求的精度，实际应用中可将高次项舍去，并顾及到0Rl C =，则上 式变为
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫-=-=3037032025
336640l R l Rl l y l R l l x (2-3) 式中x 、y 为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点(ZH )或缓直 点()HZ ;通过该点的缓和曲线切线为x 轴，如图7。

图2.2缓和曲线坐标计算
l 为缓和曲线上任一点P 到ZH (或HZ )的曲线长；
0l 为缓和曲线总长度。

当0l l =时，则00,y y x x ==，代入式(8)得：
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫-=-=34020023000336640R l R l y R l l x （2-4） 式中，0x 、0y 为缓圆点(HY )或圆缓点(YH)的坐标。

2.4、缓和曲线的插入方法
缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直 线段和圆曲线之间，如图8。

缓和曲线的一半长度处在原圆曲线围，另一半 处在原直线段围，这样就使圆曲线沿垂直切线方向，向里移动距离P ，圆心 由o '移至o ，显然2
sec
α
•='p o o 插入缓和曲线之后，使原来的圆曲线长度变短了。

插入缓和曲线之后，曲线主点有5个，它们是：直缓点ZH 、缓圆点HY 、曲 中点QZ 、圆缓点YH 及缓直点HZ 2.5、缓和曲线常数的计算
0β、0δ、m 、p 、0x 、0y 等成为缓和曲线的常数。

其物理含意及集合关系由图 10得知：
0β一缓和曲线的切线角，即HY(或YH )点的切线与GH(或1-1})点切线 的交角;亦即圆曲线一段延长部分所对应的圆心角。

0δ一缓和曲线的总偏角；
m 一切垂距，即GH(或1-IG)到由圆心O 向切线所作乖线垂足的距离； p —圆曲线移量，为乖线长与圆曲线半径H 之差。

0x 、0y 的计算见式(9),其它常数的计算公式如下：
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎪
⎬⎫≈-=-=•
==•=R l R l R l p R
l l m R l R l 242688242402180631
180220340202
3
000000π
βδπβοο
（2-5） 下面我们推证式(10)中最常用的两个常数0β和0δ，见图9。

图2.3缓和曲线原理
2.5.1求0β
设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲线曲率半径；1为该点至 ZH 点的缓和曲线长。

，
ρβdl d =Θ，将0Rl l =ρ代入上式，则0Rl dl l d •=β
02
000
2Rl l Rl ldl d l
l
=
==∴⎰⎰ββ 当00ββ==时，l l
则 π
βο
180200•=R l （2-6） 2.5.2求0δ
图 2.4偏角计算原理
由图 2.4得知，0
0tan x y =
δ 很小，故0δΘ 0
00tan x y =
≈δδ 将式(9)代入上式，并取至二次项，
∴ 0003
1
6βδ==
R l （2-7） 缓和曲线常数，亦可以R 及0l 为引数，由曲线表第三册第二表查取，如表2。

如，，，查得由表54801616232,60,500000'''='''===οοδβm l m R
500=R 表2-1综合要素
α
T
∆
L
∆
q
0E
∆
m l 1000=
当m L 1000≠时的校正数
3、缓和曲线连同圆曲线的测设 3.1曲线综合要素推导以及计算
由图2.3可知，曲线综合要素计算公式如下：
()()()⎪
⎪
⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-•+=+•=-+=•++=L T q R p R E l R R l L p R m T 22sec 180
180222
tan
0000切曲差外矢距曲线长切线长
α
π
αβαπα
ο
ο (3-1) 使用时，亦可依据R 、α、L 由铁路曲线测设用表第一、二册第一表查取，该表 格式如表2。

500=R 表3-1综合要素
当m L 1000≠时的校正数
3.2主点的里程计算与测设
3.2.1、主点里程计算
已知ZH 里程为33+424.67，则主点里程为
ZH
+ 0l
33+424.67m
60
HY
+
02
l L
- 33+484.67 94.82
QZ
+
02
l L
- 33+579.49 94.82
YH
+ 0l
33+674.31 60
HZ
33+734.31
校核
ZH
+ 2T
33+424.67 315.12
- q
33+739.79 5.47 HZ
33+734.32
3.2.2、主点的测设
主点ZH, HZ, QZ的测设方法与前述圆曲线主点测设方法相同;而l缓圆点HY
和圆缓点YH的测设通常采用切线支距法，见图7。

自ZH(或HZ )沿切线方向量
取Y0，打桩、钉小钉，然后将经纬仪架在该桩上，后视切线沿垂直方向量取y。

，
打桩、钉小钉，得HY(或YH )点。

为保证主点测设精度，角度要用测回法分中定点;距离应往返丈量，在限差以取平均值。

3.3、圆曲线的详细测设
图3-1圆曲线的详细测设
加设缓和曲线之后圆曲线的测设，其关键是正确确定后视方向及读盘安置值。

如图
b值(正拨)，倒转望远10，经纬仪安置HY点上，后视ZH,并将读盘度数安置为反偏角
δ'，得相应曲线点，直至QZ。

另一半曲线，则在YH点设镜反拨圆曲线上第1'点的偏角
1
站，以(
360b
-
ο)来后视HZ,而倒镜后圆曲线为正拨偏角来测设。

为避免仪器视准误差的影响，也可以(
180b
+
ο)后视ZH，平转照准部，当读盘度数为0
0''
'
ο时，即为HY点的切线方向。

若利用《铁路曲线测设用表》测设，为避免分弦偏角的累计计算一}作，现场常把1'
→
HY的方向作为零方向，如图11，以
1
δ'
+
b(
1
δ'为圆曲线上第1点的偏角)后视ZH点。

3.4缓和曲线的详细测设
3.4.1、偏角计算
图3-2偏角法原理
由图2.3得知，缓和曲线上任一点i的偏角为：
()
很小
δ
δ
δΘ
l
y
≈
≈sin
π
ο
Θ
180
6
3
•
=
Rl
l
y
π
δ
ο
180
6
2
•
=
∴
Rl
l
（3-2）
π
β
ο
Θ
180
2
2
•
=
Rl
l
又
βδ3
1
=
∴ （3-3） δδβ22=-=b 故 （3-4）
式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b 为该点的反偏角. 同理可得，002δ=b (17) 由式(16)、式(17)得出结论(a)：
缓和曲线上任一点后视起点的反偏角，等于由起点测设该点在铁路设计中，缓和曲线长度均为10m 的整数倍，为测设方便，一般每10m 测设一点. 若将缓和曲线等分为N 段，则各分段点的偏角之间有如下关系:
设1δ上为第1点的偏角，i δ为第i 点的偏角，则由式(14)可知，0
2
6Rl l i i =δ
2222121::::::n n l l l ΛΛ=∴δδδ (3-5)
由式(3-5)得出结论(b)：
偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长度的平方成正比 在等分的条件下，11312,,3,2nl l l l l l n ===Λ
故0
210
121231221
,,3,2δδδδδδδδδn
n n =∴==•=•=Λ (3-6)
由式(3-6)可得出结论(c)：
由缓和曲线的总偏角0δ，可求得缓和曲线上任一点的偏角i δ。

0δ可由铁路曲线测设用表第三册第三表查取，亦可计算求得。

图3-3圆曲线的详细测设
3.4.2、缓和曲线的测设方法
如图3-1，将经纬仪安置于ZH 点，后视JD ，将水平度盘安置在00000'''ο位置， 转动照准部拨偏角0δ，校核HY 点位，如在视线方向上，即可开始测设其它点 依次拨1δ、2δ、……n δ，量出点与点之间的弦长与相应视线相交，即可定出曲 线点1、2、…。

在缓和曲线的测设中，亦应注意偏角的正拨与反拨的度盘安置方法
4、支距法测设曲线 4.1、坐标计算公式
如图12,它是以ZH(或HZ)为坐标原点，以切线为x 轴，垂直切线方向为Y 轴
图4-1缓和曲线坐标计算
4.1.1、缓和曲线部分
⎪
⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=-=03
2025640Rl l y l R l l x （4-1）20
圆曲线部分
()⎭
⎬⎫
+-=+•=p R y m R x i i i i ααcos 1sin （4-2）21
式中 00180βπ
α+•-=ο
R l l i i 实际应用时，切线支距亦可由《铁路曲线测设用表》第三册第九表中查取，其格式如表1。

(二)测设方法
与切线支距法测设圆曲线的方法相同(见第一部分第四项)
5、长弦偏角法测设曲线
由式(3-6)及式(4-2)可以按式(4-3)计算出曲线上任一点的弦长c 及偏角δ，习各测距仪安置于
ZH(或HZ)点，即可进行曲线测设。

其中
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
=+=i i i i
i
i x y y x c arctan 22δ偏角
弦长 （5-1） 式中，i i y x ,为曲线上任意一点i 的坐标
偏角法有校核，适用于几山区，但其缺点是误差积累，故测设时要注意经常检核。

支距法，其方法简单，误差不积累，其缺点是安置仪器次数多，曲线点相互独立，故测设中的错误不易发现，它仅适用于平坦地区及支距Y 较小的曲线。

长弦偏角法测设精度高、速度快、任何地区均可适用。

6、遇障碍时的曲线测设方法 一、偏角法遇障碍时曲线的测设 6-1、圆曲线测设遇障碍
如图14，在圆曲线A 女置经纬仪测设完1、2、3点，当测设4点时不通视，需要把仪器安置于3点上(该店桩已钉小钉)。

为了利用原先已算好的偏角资料，
以00000'''ο
后视A 点，倒镜后直接拨偏角} .,.用钢尺量出弦长3~4与视线相交定出4点，同法可定出5、6……各点。

图6.1遇障碍圆曲线测设原理
由以上测设方法得出结一论:经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设曲线点时，首先将度盘读数拨到所对后视点点号的偏角值，找准后视点，倒镜后，打开照准部拨所测点的偏角值即可。

另一种测设方法如图15，以3点位测站，以(
3
360δ
-
ο)后视A点，倒镜后，当度盘读数为0
0''
'
ο
时，其视线方向为3点的切线方向，再拨偏角
4
3-
δ即可得到4点的方向，量弦长3-4与视线方向相
交，即可得到4点；同法可定出5、6...……等点。

图6.2圆曲线遇障碍时偏角法测设原理
由此得出结论:经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设时，于度盘上安置测站至后视点间的偏角值，并照准后视点;倒镜后，松开照准部，拨测站至测设点间的偏角值，即可得到测设点的方向。

上述两种方法，可按照测试者的习惯来选用，其关键是正确计算后视点方向的度盘女置读数。

6-2、缓和曲线测设遇障碍
因视线受阻，仪器安置于ZH(或HZ)点不能一次将缓和曲线上各分段点测设完，可将经纬仪安于任一已测设的分段点上，继续向前测设。

如图16. B、T为缓和曲线上己测设的分段点(已打桩钉)，置
镜于T得到，后视B点并使度盘安置为后视偏角
δ，倒镜、松开照准部，反拨前视点F的前视偏角
6。

，在此视线上量距即可测得F点。

后视点和前视点的偏角，可按下式计算：
()()
()()⎪⎭
⎪
⎬
⎫
+
-
=
+
-
=
T
F
T
F
T
B
B
T
F
B
2
2
1
1
δ
δ
δ
δ
前视点偏角
后视点偏角
（4-4）
式中
1
δ为缓和曲线第一分段点的偏角，
π
δ
ο
180
•
=
R
L
i
i
；B、T、F分别为后视点、置镜点、前视点
的分段点编号；m l i 10=。

图6.3缓和曲线遇障碍时测设原理 导证：如图6.3
设i l 为第1分段点的曲线长(一般为m 10)，则 B 点距ZH 点的曲线长1l B l B •=； T 点距ZH 点的曲线长1l T l T •=； F 点距ZH 点的曲线长1l F l F •=；
T β为测T 点的切线。

T TF F βαδ-=Θ
22Rl l T
T =
β而
T
F T
F TF x x y y --=
αtan
T F T F TF TF TF l l x x -≈-≈；角特别小，αααtan Θ
()
()()()()()()
T F T F T F T F Rl l l l l Rl l l l l RL Rl l l l Rl l Rl l Rl l l l y y T F T F T T F F T T F T
F T T F T F F 2261
261
261266210
2
20
2
03
0302
+-•=+-=
+-=-•+=-
--=---=∴δδ
同理可证()()T B B T B 21+-•=δδ
在使用时，亦可按铁路曲线测设用表第三册第三表(格式见表3 ),查取前、后视各点的偏角值。

6-3、控制点遇障碍时曲线的测设
6一3一1、交点不能到达时的测设方法
当交点位于河流、深沟、建筑物中，或由于线路转向角过大使切线太长，交点不便测设，这时可用副交点法或导线法来测设副交点，以代替交点。

I.副交点法
如图17，交点()C JD 10位护河流中不能测设，因而转向角α。

也就无法直接测定。

此时可在直线I 的适当位置选定一点A 打桩钉钉，该点称副交点110-JD ；同法，可在直线Ⅱ上选一点B 与A 点通视 ，且便于量距，称为副交点210-JD 。

测量1α、2α，并丈量AB 的距离。

为保证精度，角度应用2J 或6J 经纬仪观测两个测回；距离应往返丈量，在限差时取平均值。

图6.4交点不能到达时的测设方法
由于转向角21ααα+=;；AC ， BC 的距离由AB 按正弦定理推得。

根据R 、α、0l ,即可计算曲线综合要素T 、L 、0E q,井由此来测设主点ZH 、HZ 、QZ 。

其方法为：
(1)置镜于A ，后视直线I 上任一转点桩，在该方向上由A 量取T-AC )长度，即得ZH 点；用同样方法，置镜B 点可测设出HZ 点。

(2)因为αθ-==ο
180,0E CM 在△CAM 中，根据AC , CM 及θ，用余弦定理可求出AM 长度，井由
正弦定理求得()γCAM ∠。

置镜于A ，后视ZH ，根据γ及AM 可定出QZ （M ）点。

QZ 应用测回法分中定点，距离应往返丈量取平均值。

6一3一2、 导线法
当地形复杂，两切线上的副交点不通视或相距较远时，可用导线将两个副交点联系起来，图18。

图6.5导线法测设原理
实地测出导线各转折角及连接角A 、B 和导线边长。

以A 为坐标原点，AC(切线)为x 轴，则
00000'''=οAC α；;转向角AM CB ααα-=，即直线CB 对的方位角为曲线的转向角。

根据计算出的导线点坐标，一可以求得AC 及BC 长度，即
α
tan B
B C y x x AC -
== α
sin B
y BC =
曲线综合要素计算和主点测设方法同副交点法。

6-4、主点不能到达时的测设方法 1，在HY(或YH)上安置经纬仪测设
如图19，主点ZH(或HZ )位于水中不能测设，这时首先利用切线支距法由JD 沿切线方向量出(0x T -)打桩钉钉，再由此桩与切线乖直方向量出0y 打桩钉钉，得到HY(或YH)，然后将经纬仪安置在HY 上，后视JD 转ω山角得到切线方向，即可测设曲线。

图6.6主点不能到达时的测设方法 其中
00arctan 180x T y ---=βωο 2.利用极坐标法在曲线上设置控制点
图6.7缓和曲线上有障碍时的测设
如图20，当缓和曲线上有障碍物时，可由切线上的A 点用极坐标测设曲线点B 。

由B 点里程可以得到B 上的切线坐标B x 、B y ，从而可得到趾离AB D 和A δ;角
)
(arctan A B B A x x y -=δ A
B AB y D δsin = 将经纬仪安置于A 点，后视JD ，拨方向量出AB D D 脂，即得B 点。

7、曲线测设的误差
曲线测设，首先是测定出主点，然后以主点为依据，由一个主点测设至另一个主点。

由于多方面因素的影响，导致产生闭合差，如图21
用偏角法由ZH 测设至QZ 点时，测定的Z Q '点与主点QZ 不重合，产生闭合差f 。

将f.在Z Q '处分解为切线方向分量纵f ，称纵向闭和差；和法线方向分量横f ，
称横向闭合差，以此来衡量曲线测设的精度。

图7.1曲线闭合差
一、曲线测设闭合差的规定
《铁路测量技术规则》规定，曲线闭合差限差为;
1.偏角法
纵向闭合差
2000
l (l 为两点间的曲线长); 横向闭合差 cm 10。

2.极坐标法
点位误差 cm 10±。

三、测设误差的分析
曲线测设都是先定出主点，然后详细测设曲线桩，分段闭合到主点上作检核。

用偏角法测设曲线时，其闭合差既受主点测设精度的影响，又受详细测设刚一的误差影响。

主点测设的精度主要受到:转向角测量的误差、切线丈量的精度、确定ZH 及HZ 时的定向误差、确定HY 及YH 时0x 及0y 的丈量精度及其定向误差、确定QZ 时0E 的丈量精度及分角线方向的测角误差等因素的影响。

详细测设曲线时的误差主要来自：主点测设的精度、偏角测设的精度(包括经纬仪对中、目标偏心、照准和读数误差、投点误差等)、照准后视点的方向误差、以弦长代替弧长的误差及弦长丈量误差等因素的影响。

用极坐标法测设曲线时，由于光电测距仪测距精度高，故测距误差对点位精度的影响不显著。

对点位精度影响较大的主要是：主点测设精度、设置测站时的测角精度、详细测设时的角度安置精度、测站数的个数等因素。

在上述因素中，以切线丈量精度、弦长丈量精度及偏角测设误差和转镜次数对曲线测设闭。