第5章 刚体力学基础 动量矩
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Jz = mr2
m
r
o
r 是质量为m的质点到转轴的距离 Z
转动惯量单位： kg.m2
2. 质点系对定轴的转动惯量
∑ Jz = miri2
i
mi
ri
转动惯量物理意义: 转动惯量是衡量物体转动惯性大小的物理量.
11
3. 质量连续分布的刚体的转动惯量
∫ J z = r 2dm
(m)
r 为刚体上某质元 dm 到固定转轴的距离
12
15
O
C
O’
d 过质心 某一轴 C的轴
16
例题3：半径为R的轮子缠绕不可伸长的轻绳与质量
为m的重物相联，绳与轮子之间无相对滑动，转轴
光滑. 物体从距地面h高处由静止开始释放，落地所
用时间为t . 求轮子对定轴O的转动惯量. (此题给出了
测量刚体转动惯量的一种方法)
R
·
O
绳 v0=0
R
m
N
α
·
th
若Mz > 0，则合力矩方向沿OZ轴正向； 若Mz < 0，则合力矩方向沿OZ轴负向.
8
r F3
θ3
5.2.2 定轴转动定律
Z
∑ ∑ Mz = riFi sinθi = rimiaτ
i
i
O
∑ ∑ = ri miriα = ( miri2 )α
i
i
∑ 令 Jz = miri2 则
i
M z = J zα
(2)与轴的位置有关； (3)与质量对轴的分布有关.
平行轴定理: 刚体对任一转轴的转动惯量J，等于刚体对通过质 心并与该轴平行的轴的转动惯量JC再加上刚体质量M 与两轴间距离d 的平方的乘积.
J = JC + Md 2
例如：转轴通过棒上距中心 C为h的一点O，并与棒垂直.
h
OC
l J = 1 Ml 2 + Mh2
mi
v i
ri
=
mi ri2ω = J zω
i
i
Lz = J zω
刚体的动量矩与质点动量对比：
Jz — m，ω — v
25
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
由转动定律
Mz
=
Jz
dω
dt
可得
Mz
=
d(Jzω)
dt
=
dLz dt
刚体定轴转动的动量矩定理微分形式：
M zdt = dLz 设刚体在t1和t2时刻分别对应的角速度为ω1和ω2
求 重物下落距离s 时, 滑轮的角速度和角加速度.
解 分别对重物和滑轮应用动能定理
重物 mgs − Ts = 1 mv2 − 0
2
N
滑轮 TR ⋅ s = 1 Jω 2 − 0
ω
R
O
T
R2
J = 1 MR2 2
v = Rω
Mg T
v mg
解得 ω = 2 mgs
mg
s
R M + 2m
α
=
dω
dt
=
2mg R(M + 2m)
例题1：求质量为M，半径为 R，厚度为h，密度均匀的圆 dr
Z
MR
盘对通过质心并与盘面垂直
dm r
的转轴的转动惯量.
h
解：取质量为dm半径为r厚度为dr的圆环体
12
∫ ∫ Jz = r 2dm
(M)
=
R 0
r2
M
πR2h
⋅ h2π r
dr
=
1 2
MR2
注1：质量M半径R密度均匀的圆柱体对几何轴的
转动惯量与柱体长度无关，均可用 1 MR2 计算； 2
r
v
F为作用于质点的 合外力，M0为F对 O点的力矩.
r
M0dt = dL0
其中 M0dt 称为外力F 对质点的冲量矩
质点的动量矩定理：对同一参考点而言，质点所
受合外力的冲量矩等于质点动量矩的增量.
23
5.4.3 质点的动量矩守恒定律
r
r
若 M0 = 0
则 L0 = 常矢量
质点动量矩守恒定律：质点对某参考点的合力矩为
零时，质点对该参考点的动量矩为一恒矢量.
注：行星仅受有心力作用的运动，角r 动量守r 恒. ∆rr
证明开普勒第二定律：
r
∆r
L = mvr sin α = m lim r sinα
∆t→0 ∆t
L
v
∆S
α
rm
r
o
= 2m lim ∆t → 0
1 r ∆rr sin α
2
∆t
= 2m lim ∆S ∆t→0 ∆t
质点作圆周运动时，对圆心的角动量： L0 = mrv = mr 2ω
v
.22.
5.4.r2 质点的动量矩定理
M0
v F
dL0
=
d
rr (r × mv)
dt dtr
r
=
dr (
)×
r mv
+
r r×
d(mv)
v r
ϕ
O
•m
d
dt r
r
= r ×F
dt
(Q
v v
×
v v
=
0)
v
即
r M0
=
dL0 dt
力在水平方向的投影Nx是否等于0。
当 y = 2 L 时，
3
Nx=0，则动量守恒。
28
讨论
y = 2 L 时，水平方向动量守恒的验证 3
Nx
y
子弹 均质棒
作用前 作用后
v
mv0 +
mωy +
0
Lω M
(质心)
0
m
ω
2
若
y= 2L 3
且
ω
=
1
mv0 y ML2 + my 2
3
则
mv0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
mωy +
Lω
轴转动中的角动量守恒定律; 4.理解力矩的功概念; 5.理解刚体定轴转动的转动动能，能在定轴转动中
应用机械能守恒定律. 教学重点：
转动定律，角动量守恒定律. 教学难点：
转动惯量的计算，角动量守恒条件的判断.
3
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的定义 形状和体积都不变化的物体. (理想模型)
=∆2Sm为d三S 角形的面积 dt
v 若L
=
常量，则
dS
= 常量，且行星运动轨道
为平面 .
dt
24
5.4.4 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩
ωz
由于绕定轴 z 转动刚体上的 所有质点对z 轴的动量矩同方 向，故刚体对z 轴的动量矩为
v i
o ri
mi
∑ ∑ Lz =
27
例 一均质细棒，长度为L，质量为M， N
现有一子弹在距轴为 y 处水平射入 Nx
细棒并嵌在其中.
y
求 子弹和细棒共同的角速度 ω .
解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
v0
G
m
v 0
y
= Jω
m
ω
其中 J = 1 ML2 + my 2
3
∴ω = mv0 y
1 ML2 + my 2 3
系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用
2
M
29
例：如图，质量为m的胶着物自由下 落到质量为M半径为R的静止匀质圆 盘边缘P点, 并粘在盘上随盘转动.已 知 M= 2m，转轴光滑，P点到转轴O
的半径与水平X轴的夹角为θ .求： 1) 碰后盘的初角速度ω ；
o
Y
m
•
h
p•
O
θ
v v
X
M
2) P点转到X轴上时盘的角速度ω 和角加速度α .
解：1) mgh = 1 mv2 2
第一部分
第5章 刚体力学基础 动量矩
编制：
赵存虎
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 定轴转动定律 转动惯量 5.3 刚体定轴转动的动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
2
教学目的： 1.掌握刚体定轴转动的线量与角量的关系; 2.理解力矩和转动惯量的概念，掌握定轴 转动定律; 3.理解角动量概念，掌握质点在平面运动及刚体定
则刚体定轴转动的动量矩定理积分形式：
t2
∫ M zdt = J zω 2 − J zω1
t1
刚体定轴转动的动量矩定理：刚体绕定轴转动时，
作用于刚体上的外力的冲量矩等于刚体动量矩的增量.
26
3. 刚体绕定轴转动的角动量守恒定律
若 Mz = 0 则 Jzω =常量
刚体定轴转动的动量矩守恒定律：如果刚体不受外
转动平面
角位移 角位置
p
∆θ
Oθ
X
转动方向
参考轴
5
2. 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角速度
r
ω
ω = dθ
dt
角速度方向与刚体旋转方向
r
rω
αv
o r p.
v v
满足右手螺旋法则.
角加速度 αr rr
α
=
dω
dt
=
d2θ
dt 2
若α与ω同向，则刚体作加速转动；
若αr与ωr反向，则刚体作减速转动.
2
x2
M l
dx
Y
O x dx X l
= 1 M l2
Y
12
∫ (2)J y2 =
l x 2 M dx 0l
= 1 M l2 3
∫ (3) J y3 =
x l + h
2
2
− l +h
2
M l
dx
= 1 M l2 + M h2 12
O
x dx X
l
Yh
O x dx X l
14
综上可见，刚体的转动惯量的大小主要与以下三 个因素有关： (1)与刚体总质量有关；
(演示)
v 刚体上某质点的线速度 v
v = ωr
r (v
⊥
ωr
)
6
3. 刚体绕定轴匀变速转动
α =常量
{ ω =ω0 +α t
θ
= θ0
+ ω0t
+
1αt2
2
ω2
−
ω
2 0
=
2α (θ
−θ0)
4. 定轴转动刚体上某质点的加速度
切向加速度 法向加速度
aτ = α r an = ω 2r
刚体定轴转动的特征：
GT
v T′
vv T ′ = −T
am
r mg
17
解：动力学方程
对轮子 TR = Jα
(1)
对重物 mg−T = ma (2)
运动学关系 a = αR (3)
h = 1 at 2 (4) 2
由(1)至(4)式联立解得
J = ( gt 2 − 1)mR 2 2h
分析：当h和m一定时，t 越长，表明J越大.
v = 2gh (1)
30
碰撞瞬间，粘土块受盘的冲力远大于粘土块所受的重
力，因此粘土块受的重力对转轴O的力矩可以忽略， 故碰撞过程中，粘土块和盘组成的系统动量矩守恒.
mvR sin(900 + θ ) = Jω0
即 mvRcosθ = Jω0 (2)
注2：若将圆盘变形为同半径的圆环，则其转动惯
量为MR2.
可见，转动惯量与质量对轴的分布有关.
例题2：计算质量为M、长为l的均匀细棒对垂直于棒
的转轴Y的转动惯量：(1)轴通过棒的中心；(2)轴通过 棒的一端；(3)轴通过棒上距中心为h的一点.
13
∫ ∫ 解：(1) Jy1 = r2dm =
(M)
l
2 −l
力矩方向： 由右手螺旋法则确定
外力的合力矩
设几个外力作用在刚
r F2
体上的不同位置，且各
力的作用线均在转动平
面内，如图所示
v r2
O
θ2
r
F1
规定： OZ轴的正向为正力矩的方向.
Z
v r3
v r1
θ1
外力的合力矩等于各力的力矩的代数和，即
M z = −F1r1 sinθ1 − F2r2 sinθ2 + F3r3 sinθ3
18
5.3 刚体定轴转动的动能定理
5.3.1 力矩的功
Z
v
设某外力 F 在转动平面内
rr dA = F ⋅ dr
=F
r dr
cosα
O
v
dθ v α
F
v dr ϕ
rP
= F cosα ds = F cosα rdθ
= Fr sinϕ dθ (cosα = sinϕ)
Q力矩 M z = Fr sinϕ
刚体上各质点在同一时刻的角位移∆θ、角速度ω、
角加速度α均相同.
7
5.2 力矩 定轴转动定律 转动惯量
5.2.1 力矩
设外力F作用在刚体 上的P点，且力的作用 线在转动平面内，如图 所示
r
Z Mz
r
v Od r
•P
F
θ
则外力对转轴OZ 力矩定义为：
的
v Mz
=
v r
×
v F
力矩大小： Mz = Fd = Fr sinθ
有限过程力矩的功：
dA = Mz dθ
θ2
A = ∫ Mz dθ
θ1
称为力矩的功
19
5.3.2 刚体绕定轴转动的动能定理
Qα = dω = dω dθ = ω dω dt dθ dt dθ
设Mz为刚体对Z轴的合外力矩
又QMz
∴ Mz
其中 1 2
= Jzα
dθ =
Jzω 2
=
J
zω
dω dθ
J zω dω
其中ds = Rω
dt
.21.
5.4 动量矩 动量矩守恒定律
5.4.1 质点对于固定点的动量矩(也称角动量r)
rr r 定义： L0 = r × mv
r L0 vα
大小
Lr0
=
mvr
sinα
r
r
o
方向 L0垂直于 r和 v所在平面
r r
m
用右手螺旋法规定确定
物理意义：动量矩是物体转动运动强度的量度.
力矩的作用或所受合外力矩为零，则刚体的角动量保
持不变. 说明：
1.)当Mz=0，且刚体转动惯量在转动中可调整时，则 刚体动量矩仍守恒，其转动惯量与角速度成反比.
J1 J2 = ω2 ω1
如花样滑冰、跳水运动员的旋转过程. (演示)
2.)当质点和刚体组成的系统绕同一定轴转动时，动 量矩守恒定律仍成立.
Jz ~刚体对Z轴的转动惯量；
α ~刚体绕Z轴转动的角加速度；
v ri
•mi
9
r Fi
θi
定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与作用于
刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
注：转动定律在刚体定轴转动中的地位和牛顿第
二定律在平动中的地位相当 .
10
5.2.3 转动惯量
O’
1. 质点对定轴的转动惯量
5.1.2 刚体的平动 刚体上任意两点间的连线在刚体运动过程中始终
保持和自身平行.
如:电梯的升降、汽缸中活塞的运动等等. 平动的特征：同一时刻刚体上任意一点的运动状
态可以代表整个刚体的运动状态.
5.1.3 刚体的定轴转动
4
(演示)
1.刚体定轴转动定义
刚体上各质点都绕同一固定直线作圆周运动.
Z
Z
转轴
即 dA = d( 1 2
称为刚体绕Z轴的转动动能.
J
zω
2
)
故
A
=
1 2
J
zω
2 2
−
1 2
J
ω2
z1
(有限过程)
刚体绕定轴转动的动能定理：刚体所受合外力对
某定轴力矩的功，等于刚体转动动能的增量.
20
例5.7 如图所示，圆盘滑轮半径R，质量M，轻绳一端 挂质量m的物体，系统开始静止，不计轴的摩擦力.
m
r
o
r 是质量为m的质点到转轴的距离 Z
转动惯量单位： kg.m2
2. 质点系对定轴的转动惯量
∑ Jz = miri2
i
mi
ri
转动惯量物理意义: 转动惯量是衡量物体转动惯性大小的物理量.
11
3. 质量连续分布的刚体的转动惯量
∫ J z = r 2dm
(m)
r 为刚体上某质元 dm 到固定转轴的距离
12
15
O
C
O’
d 过质心 某一轴 C的轴
16
例题3：半径为R的轮子缠绕不可伸长的轻绳与质量
为m的重物相联，绳与轮子之间无相对滑动，转轴
光滑. 物体从距地面h高处由静止开始释放，落地所
用时间为t . 求轮子对定轴O的转动惯量. (此题给出了
测量刚体转动惯量的一种方法)
R
·
O
绳 v0=0
R
m
N
α
·
th
若Mz > 0，则合力矩方向沿OZ轴正向； 若Mz < 0，则合力矩方向沿OZ轴负向.
8
r F3
θ3
5.2.2 定轴转动定律
Z
∑ ∑ Mz = riFi sinθi = rimiaτ
i
i
O
∑ ∑ = ri miriα = ( miri2 )α
i
i
∑ 令 Jz = miri2 则
i
M z = J zα
(2)与轴的位置有关； (3)与质量对轴的分布有关.
平行轴定理: 刚体对任一转轴的转动惯量J，等于刚体对通过质 心并与该轴平行的轴的转动惯量JC再加上刚体质量M 与两轴间距离d 的平方的乘积.
J = JC + Md 2
例如：转轴通过棒上距中心 C为h的一点O，并与棒垂直.
h
OC
l J = 1 Ml 2 + Mh2
mi
v i
ri
=
mi ri2ω = J zω
i
i
Lz = J zω
刚体的动量矩与质点动量对比：
Jz — m，ω — v
25
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
由转动定律
Mz
=
Jz
dω
dt
可得
Mz
=
d(Jzω)
dt
=
dLz dt
刚体定轴转动的动量矩定理微分形式：
M zdt = dLz 设刚体在t1和t2时刻分别对应的角速度为ω1和ω2
求 重物下落距离s 时, 滑轮的角速度和角加速度.
解 分别对重物和滑轮应用动能定理
重物 mgs − Ts = 1 mv2 − 0
2
N
滑轮 TR ⋅ s = 1 Jω 2 − 0
ω
R
O
T
R2
J = 1 MR2 2
v = Rω
Mg T
v mg
解得 ω = 2 mgs
mg
s
R M + 2m
α
=
dω
dt
=
2mg R(M + 2m)
例题1：求质量为M，半径为 R，厚度为h，密度均匀的圆 dr
Z
MR
盘对通过质心并与盘面垂直
dm r
的转轴的转动惯量.
h
解：取质量为dm半径为r厚度为dr的圆环体
12
∫ ∫ Jz = r 2dm
(M)
=
R 0
r2
M
πR2h
⋅ h2π r
dr
=
1 2
MR2
注1：质量M半径R密度均匀的圆柱体对几何轴的
转动惯量与柱体长度无关，均可用 1 MR2 计算； 2
r
v
F为作用于质点的 合外力，M0为F对 O点的力矩.
r
M0dt = dL0
其中 M0dt 称为外力F 对质点的冲量矩
质点的动量矩定理：对同一参考点而言，质点所
受合外力的冲量矩等于质点动量矩的增量.
23
5.4.3 质点的动量矩守恒定律
r
r
若 M0 = 0
则 L0 = 常矢量
质点动量矩守恒定律：质点对某参考点的合力矩为
零时，质点对该参考点的动量矩为一恒矢量.
注：行星仅受有心力作用的运动，角r 动量守r 恒. ∆rr
证明开普勒第二定律：
r
∆r
L = mvr sin α = m lim r sinα
∆t→0 ∆t
L
v
∆S
α
rm
r
o
= 2m lim ∆t → 0
1 r ∆rr sin α
2
∆t
= 2m lim ∆S ∆t→0 ∆t
质点作圆周运动时，对圆心的角动量： L0 = mrv = mr 2ω
v
.22.
5.4.r2 质点的动量矩定理
M0
v F
dL0
=
d
rr (r × mv)
dt dtr
r
=
dr (
)×
r mv
+
r r×
d(mv)
v r
ϕ
O
•m
d
dt r
r
= r ×F
dt
(Q
v v
×
v v
=
0)
v
即
r M0
=
dL0 dt
力在水平方向的投影Nx是否等于0。
当 y = 2 L 时，
3
Nx=0，则动量守恒。
28
讨论
y = 2 L 时，水平方向动量守恒的验证 3
Nx
y
子弹 均质棒
作用前 作用后
v
mv0 +
mωy +
0
Lω M
(质心)
0
m
ω
2
若
y= 2L 3
且
ω
=
1
mv0 y ML2 + my 2
3
则
mv0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
mωy +
Lω
轴转动中的角动量守恒定律; 4.理解力矩的功概念; 5.理解刚体定轴转动的转动动能，能在定轴转动中
应用机械能守恒定律. 教学重点：
转动定律，角动量守恒定律. 教学难点：
转动惯量的计算，角动量守恒条件的判断.
3
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的定义 形状和体积都不变化的物体. (理想模型)
=∆2Sm为d三S 角形的面积 dt
v 若L
=
常量，则
dS
= 常量，且行星运动轨道
为平面 .
dt
24
5.4.4 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩
ωz
由于绕定轴 z 转动刚体上的 所有质点对z 轴的动量矩同方 向，故刚体对z 轴的动量矩为
v i
o ri
mi
∑ ∑ Lz =
27
例 一均质细棒，长度为L，质量为M， N
现有一子弹在距轴为 y 处水平射入 Nx
细棒并嵌在其中.
y
求 子弹和细棒共同的角速度 ω .
解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
v0
G
m
v 0
y
= Jω
m
ω
其中 J = 1 ML2 + my 2
3
∴ω = mv0 y
1 ML2 + my 2 3
系统水平方向动量是否守恒取决于转轴对棒作用
2
M
29
例：如图，质量为m的胶着物自由下 落到质量为M半径为R的静止匀质圆 盘边缘P点, 并粘在盘上随盘转动.已 知 M= 2m，转轴光滑，P点到转轴O
的半径与水平X轴的夹角为θ .求： 1) 碰后盘的初角速度ω ；
o
Y
m
•
h
p•
O
θ
v v
X
M
2) P点转到X轴上时盘的角速度ω 和角加速度α .
解：1) mgh = 1 mv2 2
第一部分
第5章 刚体力学基础 动量矩
编制：
赵存虎
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 定轴转动定律 转动惯量 5.3 刚体定轴转动的动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
2
教学目的： 1.掌握刚体定轴转动的线量与角量的关系; 2.理解力矩和转动惯量的概念，掌握定轴 转动定律; 3.理解角动量概念，掌握质点在平面运动及刚体定
则刚体定轴转动的动量矩定理积分形式：
t2
∫ M zdt = J zω 2 − J zω1
t1
刚体定轴转动的动量矩定理：刚体绕定轴转动时，
作用于刚体上的外力的冲量矩等于刚体动量矩的增量.
26
3. 刚体绕定轴转动的角动量守恒定律
若 Mz = 0 则 Jzω =常量
刚体定轴转动的动量矩守恒定律：如果刚体不受外
转动平面
角位移 角位置
p
∆θ
Oθ
X
转动方向
参考轴
5
2. 刚体定轴转动的角速度和角加速度
角速度
r
ω
ω = dθ
dt
角速度方向与刚体旋转方向
r
rω
αv
o r p.
v v
满足右手螺旋法则.
角加速度 αr rr
α
=
dω
dt
=
d2θ
dt 2
若α与ω同向，则刚体作加速转动；
若αr与ωr反向，则刚体作减速转动.
2
x2
M l
dx
Y
O x dx X l
= 1 M l2
Y
12
∫ (2)J y2 =
l x 2 M dx 0l
= 1 M l2 3
∫ (3) J y3 =
x l + h
2
2
− l +h
2
M l
dx
= 1 M l2 + M h2 12
O
x dx X
l
Yh
O x dx X l
14
综上可见，刚体的转动惯量的大小主要与以下三 个因素有关： (1)与刚体总质量有关；
(演示)
v 刚体上某质点的线速度 v
v = ωr
r (v
⊥
ωr
)
6
3. 刚体绕定轴匀变速转动
α =常量
{ ω =ω0 +α t
θ
= θ0
+ ω0t
+
1αt2
2
ω2
−
ω
2 0
=
2α (θ
−θ0)
4. 定轴转动刚体上某质点的加速度
切向加速度 法向加速度
aτ = α r an = ω 2r
刚体定轴转动的特征：
GT
v T′
vv T ′ = −T
am
r mg
17
解：动力学方程
对轮子 TR = Jα
(1)
对重物 mg−T = ma (2)
运动学关系 a = αR (3)
h = 1 at 2 (4) 2
由(1)至(4)式联立解得
J = ( gt 2 − 1)mR 2 2h
分析：当h和m一定时，t 越长，表明J越大.
v = 2gh (1)
30
碰撞瞬间，粘土块受盘的冲力远大于粘土块所受的重
力，因此粘土块受的重力对转轴O的力矩可以忽略， 故碰撞过程中，粘土块和盘组成的系统动量矩守恒.
mvR sin(900 + θ ) = Jω0
即 mvRcosθ = Jω0 (2)
注2：若将圆盘变形为同半径的圆环，则其转动惯
量为MR2.
可见，转动惯量与质量对轴的分布有关.
例题2：计算质量为M、长为l的均匀细棒对垂直于棒
的转轴Y的转动惯量：(1)轴通过棒的中心；(2)轴通过 棒的一端；(3)轴通过棒上距中心为h的一点.
13
∫ ∫ 解：(1) Jy1 = r2dm =
(M)
l
2 −l
力矩方向： 由右手螺旋法则确定
外力的合力矩
设几个外力作用在刚
r F2
体上的不同位置，且各
力的作用线均在转动平
面内，如图所示
v r2
O
θ2
r
F1
规定： OZ轴的正向为正力矩的方向.
Z
v r3
v r1
θ1
外力的合力矩等于各力的力矩的代数和，即
M z = −F1r1 sinθ1 − F2r2 sinθ2 + F3r3 sinθ3
18
5.3 刚体定轴转动的动能定理
5.3.1 力矩的功
Z
v
设某外力 F 在转动平面内
rr dA = F ⋅ dr
=F
r dr
cosα
O
v
dθ v α
F
v dr ϕ
rP
= F cosα ds = F cosα rdθ
= Fr sinϕ dθ (cosα = sinϕ)
Q力矩 M z = Fr sinϕ
刚体上各质点在同一时刻的角位移∆θ、角速度ω、
角加速度α均相同.
7
5.2 力矩 定轴转动定律 转动惯量
5.2.1 力矩
设外力F作用在刚体 上的P点，且力的作用 线在转动平面内，如图 所示
r
Z Mz
r
v Od r
•P
F
θ
则外力对转轴OZ 力矩定义为：
的
v Mz
=
v r
×
v F
力矩大小： Mz = Fd = Fr sinθ
有限过程力矩的功：
dA = Mz dθ
θ2
A = ∫ Mz dθ
θ1
称为力矩的功
19
5.3.2 刚体绕定轴转动的动能定理
Qα = dω = dω dθ = ω dω dt dθ dt dθ
设Mz为刚体对Z轴的合外力矩
又QMz
∴ Mz
其中 1 2
= Jzα
dθ =
Jzω 2
=
J
zω
dω dθ
J zω dω
其中ds = Rω
dt
.21.
5.4 动量矩 动量矩守恒定律
5.4.1 质点对于固定点的动量矩(也称角动量r)
rr r 定义： L0 = r × mv
r L0 vα
大小
Lr0
=
mvr
sinα
r
r
o
方向 L0垂直于 r和 v所在平面
r r
m
用右手螺旋法规定确定
物理意义：动量矩是物体转动运动强度的量度.
力矩的作用或所受合外力矩为零，则刚体的角动量保
持不变. 说明：
1.)当Mz=0，且刚体转动惯量在转动中可调整时，则 刚体动量矩仍守恒，其转动惯量与角速度成反比.
J1 J2 = ω2 ω1
如花样滑冰、跳水运动员的旋转过程. (演示)
2.)当质点和刚体组成的系统绕同一定轴转动时，动 量矩守恒定律仍成立.
Jz ~刚体对Z轴的转动惯量；
α ~刚体绕Z轴转动的角加速度；
v ri
•mi
9
r Fi
θi
定轴转动定律：刚体定轴转动的角加速度与作用于
刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
注：转动定律在刚体定轴转动中的地位和牛顿第
二定律在平动中的地位相当 .
10
5.2.3 转动惯量
O’
1. 质点对定轴的转动惯量
5.1.2 刚体的平动 刚体上任意两点间的连线在刚体运动过程中始终
保持和自身平行.
如:电梯的升降、汽缸中活塞的运动等等. 平动的特征：同一时刻刚体上任意一点的运动状
态可以代表整个刚体的运动状态.
5.1.3 刚体的定轴转动
4
(演示)
1.刚体定轴转动定义
刚体上各质点都绕同一固定直线作圆周运动.
Z
Z
转轴
即 dA = d( 1 2
称为刚体绕Z轴的转动动能.
J
zω
2
)
故
A
=
1 2
J
zω
2 2
−
1 2
J
ω2
z1
(有限过程)
刚体绕定轴转动的动能定理：刚体所受合外力对
某定轴力矩的功，等于刚体转动动能的增量.
20
例5.7 如图所示，圆盘滑轮半径R，质量M，轻绳一端 挂质量m的物体，系统开始静止，不计轴的摩擦力.