第十章定积分的应用§1平面图形的面积

上连续， 2 . 由曲线 C 与
两射线： 、 所围成的
平面图形的面积：
A 1 r 2 ( )d
2
o
r r()
r r(i)
i
r r(i1)
x
和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积 分上下限的确定。确定上下限方法通常也是
1）利用图象； 2）分析定义域 （见下页示图）
r1()
第一块的面积：
1
A10[
x( x)]dx4 3
第二块的面积：
9
x3
28
A2
[
1
x (
2
)]dx 3
则总面积：A
A1
A2
32 3
分 析 2： 若 把 围 成 的 平 面 区 域 看 成 y— 型 区 域 ： 则
左 曲 线 为 ：x y 2 , 右 曲 线 为 ： x 2 y 3,下 直 线 y 1,上 直 线 为 ： y 3 直 接 由 y— 型 区 域 面 积 的
d
e
y f(x)
e
bx
3、 若 平 面 区 域 是 x— 区 域 ： y
由 上 曲 线 y1 f1( x ) 、 下 曲 线 y2 f2(x) 左 直 线 xa 、右直线 xb
y1 f1(x)
所围成，则其面积公式为：
o
y2 f2(x)
a
b
x
b
A f1 ( x ) f2 ( x ).
a
4、若平面区域是 y—区域：
计算公式得面积
A
3
2
1
y
3
y 2 d y
10
2 3
.
二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的 面积
设区间 [ a , b ] 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程
表示
xx(t)
yy(t)
t
x ( t ) ,y ( t ) , 在 [ ， ] 上 连 续 ， a x () , b x () , x ( t ) 0
轴所围成的曲边梯形的面积为
y
y f (x)
0 a
bx
2 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
y
b
的 面 积 为 A f (x) dx.
a
c
d
f (x)dx f (x)dx
o
a
c
a c od
e
b
f (x)dx f (x)dx.
练习：
1、ysinx，ycosx在[0，2]上所围成的面积。
2、求旋轮线xyaa((1tscionstt))(a0)的一拱与x轴围成的面积。
3、求三叶线rasin3(a0)所围成的面积。
用定积分如何计算不规则图形的面积了。
例 1 求 抛 物 线y2x与 直 线 ： x2y30 所 围 成 的 平 面 区 域 的 面 积 . 我 们 可 以 先 做 出 其 图 形 如 下 ：
B A2
A1
A
分析1：所给的区域不是一个规范的x-域, 如图
为了便于计算需将其图形进行分割, 即可化
成两个x-形区域的面积问题。
A
B
D
C
a
o
F E
b x
G
显然：由图可以知道上部分曲线由三
条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下 部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构 成。为计算其面积，可分别过点B、C与 F作平行于 y轴的直线，这样则把平面区 域分成4个x—型区域，然后利用前面的X ——型区域的公式就可以计算了。
下面看几个计算的例子我们就清楚利
D
r2()
o
A
1 212[r22()r12()]d
rBiblioteka Baidu()
D
o
A
1 2 r2()d
20
r()
r1() D
r2()
D
D
o
o
A
A
例 3 求双扭线 r 2 a2 cos 2
y
围成的平面图形的面积
解 先看一下双纽线的图象，
分析： 如图所示， 它所围
成的平面图形是关于坐标
轴对称的，故其面积是其
x
在第一象限部分面积的4
由左曲线 x1 g1( y) 、 右曲线 x2 g2 ( y) 、下 直线 y a 、上直线 y b
所围成, 则其面积公式为：
y b
xg1(y)
b
a
A g2 ( y) g1( y) dy. 如
o
a
图所示。
xg2(y) x
5、如果平面区域既不是x—型区域，也 不是y—型区域，则用一组平行于坐标 轴的直线，把平面区域分成尽可能少的 若干个x—型区域与y—型区域，然后计 算每一区域的面积，则平面区域总的面 积等于各区域面积之和。如右下图：
则Sy(t)dxy(t)x(t)dt
注记：计算中，主要的困难是上下限的 确定。上下限的确定通常有两种方法：
1、具体计算时常利用图形的几何特征
2、从 参数方程定义域的分析确定
例2 求摆线 x a ( t s i n t) ,y a ( 1 c o s t)0 t 2 a 0
的一拱与x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分)
倍 。而 在 第 一 象 限 变 化
的 范 围 为 ： [0, ] 4
故双纽线所围成的平面区域的面积为：
4
A4 a2cos2da2 0
小结：本节主要讲述了利用定积分的性质来求曲边 梯形的面积,主要讲述了直角坐标系下及参数方程， 和极坐标系下曲边梯形面积的计算公式，对于直角 坐标系下面积的计算，主要转化为x—型和y—型区 域进行计算，而对于参数方程和极坐标系下关键是 计算出上下限，然后按照所给公式即可求解。
由图可以看出 t0,对 应 （ 0， 0）
t 2 对 应 一 拱 的 终 点 。
所 以 其 面 积 为 ：
S=2a(1cost)[a(tsint)]dt2a2(1cost)2dt
0
0
a2[2]3a2
三、极坐标下平面图形面积
设 曲线 C 由极坐标方程 r r ( ) ,
[ , ]给出，其中 r ( )在 [ , ]
第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积
教学内容： 平面图形面积的计算
教学目的：理解定积分的意义；学会、 掌握微元法处理问题的基 本思想 熟记 平面图形面积的计算公式。
教学难点：利用定积分对直角坐标系以 及极坐标系下平面图形面积的计算。
一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：
1、由定积分的几何意义，连续曲线