2013年普通高考数学一轮复习第38讲导数、定积分精品学案

2 x0
4
例 2．求函数 y= 的导数。
x2
4
4
解析： y (x
x) 2 x 2
4 x(2x x) x 2( x x) 2 ，
y x
2x 4 x2 (x
x x)2
，
y
lim
lim
x0 x
x0
2x 4 x2(x
x
8
x) 2
=- 。
x3
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基
b
形的面积
S S S ＝ － ＝ 曲边梯形 AMNB
曲边梯形 DMNC
a
f1 (x) dx
b
a f 2 (x)dx 。
四．典例解析
求图
题型 1：导数的概念
例 1．已知 s= 1 gt 2 ，（ 1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001 秒… . 各段内平 2
均速度；（ 2）求 t=3 秒是瞬时速度。
中 C均为常数）。
（2）定积分的性质
b
b
① kf (x)dx k f (x)dx （ k 为常数）；
a
a
b
b
b
② f ( x) g( x)dx f (x)dx g (x)dx ；
a
a
a
b
c
b
③ f ( x)dx
f (x)dx
f ( x) dx （其中 a＜ c＜ b ) 。
a
a
c
（ 3）定积分求曲边梯形面积
被积函数， x 叫做积分变量， f ( x) dx 叫做被积式。
基本的积分公式：
0dx＝ C； x mdx ＝ 1 x m 1 ＋ C（ m∈ Q， m≠－ 1）； 1 dx＝ ln x
m1
x
＋ C； ex dx ＝ ex ＋ C； a x dx ＝ a x ＋ C； cosxdx ＝ sin x＋ C； sin xdx ＝－ cos x＋ C（表 ln a
高考的中低档题；
（2）2013 年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何 意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的
简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而
2013 年的高考预测会在这方面考察，预
2
2
9
1
2 x (1 x 2 ) 1 。
点评：（ 1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这
样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （ 2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形 式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用
2
2
2
（ 4）y’＝( x 2
)' sin
x sin
x2 * 2x
(sin
x)'
=
2 x sin x sin
x2 2x
cos x
；
3
1
（5） y ＝ 3 x 2 － x ＋５－ 9 x 2
3
1
1
3
y ’＝３ * （ x 2 ）＇－ x＇＋５＇－９ ( x 2 ）＇＝３ * 3 x 2 －１＋０－９ *（－ 1 ） x 2 ＝
（3）一般地，在区间 [a ，b] 上连续的函数 f (x) 在[a ，b] 上必有最大值与最小值。①求函
数 ? (x) 在 (a ，b) 内的极值； ②求函数 ? (x) 在区间端点的值 ?(a) 、?(b) ； ③将函数 ? ( x) 的
各极值与 ?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6．定积分
测 2013 年高考呈现以下几个特点： （1）新课标考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的
应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于 中低档题；
（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问
题要很好的转化为数学模型。 三．要点精讲
础。
题型 2：导数的基本运算
例 3．（ 1）求 y
x(x2
1 x
1 x3
)
的导数；
（2）求 y
(x
1 1)(
1) 的导数；
x
（ 3）求 y x sin x cos x 的导数； 22
（ 4）求 y= x 2 的导数； sin x
3x2 x x 5 x 9
（ 5）求 y＝
的导数。
x
解析：（ 1）
y
x3
x
0 时， y 有极限。如果 x
y 不存在极限， x
就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。
（2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而 y 是函数值的改变量， 可以是零。
由导数的定义可知，求函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤（可由学生来归纳） ：
（1）求函数的增量 y =f （ x 0 + x ）－ f （ x 0 ）；
由三条直线 x＝ a，x＝ b（ a<b），x 轴及一条曲线 y＝ f（ x）
b
( f ( x) ≥0) 围成的曲边梯的面积 S
f ( x)dx 。
a
如 果 图 形 由 曲 线 y1 ＝ f 1( x) ， y2 ＝ f 2( x) （ 不 妨 设
f 1( x) ≥ f 2( x) ≥0），及直线 x＝ a，x＝ b（ a<b）围成，那么所
（2）从（ 1）可见某段时间内的平均速度
st
s
随 变化而变化， t 越小， 越接近于
t
t
一个定值，由极限定义可知，这个值就是
t 0 时， s 的极限， t
V= lim x0
s
s(3
t = lim
x0
t ) s(3) t
1 (3
lim 2 g
x0
t)2 1 g32 2
t
1 = g lim
（6+ t ) =3g=29.4( 米 / 秒 ) 。
（2）求平均变化率
y = f (x0 x
x) f ( x0 ) ； x
（3）取极限，得导数 2．导数的几何意义
y
f ’(x
0 )=
lim x0
。
x
函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（ x）在点 p（ x 0，f （ x 0 ）） 处
的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （ x）在点 p（x 0 ，f （ x 0 ））处的切线的斜率是 f ’（ x 0 ）。
（2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数
y=c， y=x ， y=x2， y=x 3， y=1/x ， y=x 的导数；
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能
求简单的复合函数（仅限于形如 f （ax+b））的导数；
③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
1
1 x2 ,
y'
3x 2
（ 2）先化简 , y
1 x
x
1
x
1
x
2 x3 .
1
1
x2 x 2
1
3
y'
1x 2 1x 2
1 1 1.
2
2
2x x
（ 3）先使用三角公式进行化简 .
y x sin x cos x x 1 sin x
22
2
'
y'
1 x sin x
x'
1 (sin x) '
1 1 cos x.
2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 38 讲 导数、定积分
一．课标要求：
1．导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念
的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作
用。
（5）定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等）
，从问题情境中了解定积分的实际背
景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系）
样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答
题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计 2013 年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：
（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难 度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于
（1）概念 设函数 f ( x) 在区间 [ a，b] 上连续， 用分点 a＝ x0<x1<…＜xi －1<xi <…xn＝ b 把区间 [ a，b] 等分
n
成 n 个小区间，在每个小区间 [ xi －1，xi ] 上取任一点 ξ（i i ＝ 1，2，… n）作和式 I n ＝ f ( ξ i ) △ x
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函
数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超
过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最
小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
相应地，切线方程为 y － y 0 =f / （ x 0 ）（ x－ x 0 ）。
3．常见函数的导出公式．
（１） (C ) 0 （ C为常数）
（２） ( x n ) n x n 1
（３） (sin x) cos x
（４） (cos x) sin x
4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 ( 或差 ) ，
1．导数的概念
函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f（ x 0 + x ）
y
－ f （ x 0 ）， 比 值
叫做函数
x
y=f （ x ） 在
x 0到
x 0+
x 之间 的平均 变化率，即
y = f (x0 x
x) f (x0) 。 x
如果当 x
（1）一般地，设函数 y f ( x) 在某个区间可导，如果 f ' ( x) 0 ，则 f (x) 为增函数； 如果 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ' (x) 0 ，则 f (x) 为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
乘以函数的导数： (Cu ) ' Cu '.
法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方：
u ‘＝u' v uv' （v 0）。
v
v2
形如 y=f (x ) 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法
则： y ＇| X = y ＇ | U ·u＇ | X 5．导数的应用
0 时，
y
有极限，我们就说函数
x
y=f(x) 在点 x 0 处可导，并把这个极限
叫做 f （ x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（ x 0 ）或 y’｜x x0 。
即
f （x 0 ）=
Baidu Nhomakorabea
lim
x0
y = lim f ( x0 x x0
x) f ( x0 ) 。 x
说明：
（1）函数 f （ x）在点 x 0 处可导，是指
即： ( u v) ' u ' v ' .
法则 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数
函数乘以第二个函数的导数，即： (uv) ' u 'v uv' .
, 加上第一个
若 C 为常数 , 则 (Cu) ' C 'u Cu ' 0 Cu ' Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数
，直观了解微积分基
本定理的含义。
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在
人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中
" 数学文化 " 的要求。
二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关
知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多
解析：（ 1） 3,3.1 , t 3.1 3 0.1, t 指时间改变量；
s s(3.1) s(3) 1 g3.12 1 g32 0.3059. s 指时间改变量。
2
2
v s 0.3059 3.059 。
t
1
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，
即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
i ＝1
（其中△ x 为小区间长度） ，把 n→∞即△ x→０时，和式 I n 的极限叫做函数 f ( x) 在区间 [ a，b]
上的定积分，记作：
b
b
n
f ( x)dx ，即 f ( x)dx ＝ lim f ( ξ i ) △ x。
a
a
n
i1
这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 [ a， b] 叫做积分区间，函数 f ( x) 叫做