一、高阶导数及其运算法则(精)

n ). 2
4
§8. 高阶导数与高阶微分 ②
y (cos x) sin x cos(x y cos x sin(x

2
), 2 ), 2

2
) cos(x
y
(n)
(cos x)
(n)
n cos( x ). 2
——逐阶整理法
§8. 高阶导数与高阶微分
高阶导数的运算法则
1.
(u( x) v( x))( n) u ( n) ( x) v( n) ( x).
2. Leibniz 公式：
1 k ( k ) ( n k ) (u( x) v( x))( n) u (0)v( n) Cn uv( n1) Cn u v
例4. f ( x) (1 x) ,
( R)
f ( x) (1 x) 1，f ( x) ( 1)(1 x) 2，
f
( n)
( x) ( 1)( 2)( (n 1))( 1 x)
n
.
5
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v v(t ) ( s(t )) s(t ). t 0 t
例如： 自由落体运动 s 1 gt 2 , 2 1 v s(t ) ( gt 2 ) gt，a v(t ) s(t ) ( s(t )) g. 2
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n 1 ( n 1) k ( nk ) ( k ) Cn u v u ( n ) v ( 0) Cn u v , k 0 n
其中 u (0) u，v (0) v，Cnk
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n(n 1) (n k 1) n! . k! k!(n k )!
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§8. 高阶导数与高阶微分 例5.
y x 2 cos x，求y (50) .
(n)
解： u cos x，u
n cos( x ). 2
v x 2，v 2 x，v 2，v 0.
y ( 50 ) x 2 cos( x 50 49 1 ) C50 2 x cos( x ) 2 2
例Biblioteka Baidu. ①
y sin x, y cos x.
y (sin x) cos x sin( x

2
),
y sin x cos(x

2
) sin(x
2 ), 2
y ( n ) (sin x) ( n ) sin( x
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二阶导数的物理意义
1
§8. 高阶导数与高阶微分
y f ( x（ ) 一阶导数）在 x的 导 数 ， 称 为 Def : y f ( x)的 导 数 d2y f ( x)在x的 二 阶 导 数 ， 记 为 y， 或 f ( x)， 或 ，即 2 dx f ( x x) f ( x) y f ( x) lim ( f ( x)). x 0 x
2 C50 2 cos( x
§8. 高阶导数与高阶微分 一、高阶导数及其运算法则
物体运动规律 s s(t )，其速度
v s(t ) lim
s . t 0 t
一阶导数
v v(t t ) v(t ) s(t t ) s(t ) 在t时间内 a , t t t
于是
a (t ) lim
n次多项式 P( x)的n阶导数是常数 n!a0 , 其高于 n阶的导数皆为零 .
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§8. 高阶导数与高阶微分 例2.
y eax , （a const).
(e x )( n ) e x
y aeax , y a2eax , , y ( n) aneax .
(n) ( n)
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2
§8. 高阶导数与高阶微分
二阶与二阶以上的导统 数称为高阶导数 . 根据定义，求 n阶 导 数 就 是 反 复 运 用 一 求阶导数的方法， 逐阶进行 n次.
n n1 n 次多项式 P ( x ) a x a x an . 例1. 0 1
P( x) na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 an 1 , P( x) n(n 1)a0 x n 2 (n 1)(n 2)a1 x n 3 an 3 .
P ( n ) ( x) n(n 1)(n 2) 3 2 1a0 n!a0 . P ( n 1) ( x) P ( n 2) ( x) 0.
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§8. 高阶导数与高阶微分 注1. 比较二项式展开公式
(u v) u v C u v
n 0 n 1 n
1 n1
u v ,
n 0
(u 0 v0 1)，k次幂
记忆：
k阶 导 数
(u v)
n
(u v)
( n)
注2. 法则1，2成立的条件是 u ( x) 与 v( x) 均存在 n 阶导数.
y f ( x)的 二 阶 导 数 f ( x)在x的 导 数 称 为 f ( x)在x的 三 阶 d3y 导数，记为 y， 或f ( x)， 或 3 . dx
一般地， y f ( x)的n 1阶 导 数 f ( n 1) ( x)在x的 导 数 称 为 f ( x)在 d nx x的n阶 导 数 ， 记 为y ， 或 f ( x)， 或 ，即 n dx ( n 1) ( n 1) f ( x x ) f ( x) (n) (n) y f ( x) lim ( f ( n 1) ( x)). x 0 x