数学物理方法复习

u y 0 ( x)
利用特解法求解
u y b ( x )
1) 将非齐次方程问题化成齐次方程问题. 取非齐次方程的一个特解V(x,y)，有 Vxx Vyy f ( x, y )
Wxx Wyy 0
令u(x,y)=V(x,y)+W(x,y): W
x 0
g ( y) V (0, y) W
L f t p 2 L f t pf 0 f 0
L[e p0 t f t ] L p p0
简单结果
L1 0 1 e

pt
1 dt p
1 Le p
t
1 Lt 2 p
w Lsin wt 2 p w2
x2 W ( x, t ) [h(t ) g (t )] xg(t ) 2l
u x0 g (t ) u xl h(t ) ux ux
x 0 x l
第二类:
混合一:
g (t ) h(t )
u x0 g (t )
x l h(t ) x 0
x l
(左一右二) u x
P0 ( x) 1, P1 ( x) x cos ,
递推公式
1 2 1 P2 ( x) (3x 1) (3 cos2 1) 2 4
(n 1) Pn1 ( x) (2n 1) xP n ( x) nP n 1 ( x) 0
勒让德多项式
(2n 2m)! Pn ( x) (1) n x n2m . 2 m !(n m)!(n 2m)! m0
ux, 0 x
x
用傅氏变换求解定解问题的步骤
1)对方程取傅氏变换,将偏微分方程化为常微分方程； 2)对定解条件取相应的变换,导出常微分方程的定解条件； 3)求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换； 4)对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．
f (t ) 的拉氏变换
L( p) 0 f (t )e dt
卷积定理： 延迟定理：

pt
L[ f1 t f 2 (t )] L f1 t L f 2 t
导数定理：
L f t e p L p
位移定理：
L f t pL p f 0
函数 所谓函数是指具有以下性质的函数:
(i)
0 ( x 0) ( x) ( x 0)
(ii)
x dx 1


函数的性质
函数对任何一个连续函数 x 都有


x x dx 0

或
x x dx
u t 0 ( x)
分离变量法经历步骤：
ut
( x)
1) 对齐次方程和齐次边界条件分离变量； 2) 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题； 3) 求其它常微分方程的解, 与本征函数相乘, 得到特解； 4) 叠加, 由初始条件确定叠加系数, 最后得所求定解问题的解。 注 具有齐次边界条件的无源输运问题; 分离变量法
m n 2
正交归一性
2 1 Pm ( x) Pn ( x)dx 2n 1 mn , 其中 nn 1, mn 0(m n).
1
按勒让德多项式展开应用
将函数 f(x) = 2x3+3x+4用勒让德多项式展开 拉氏方程轴对称定解问题 u (r , ) (Cn r Dn
齐次边界条件的受迫振动(1)
utt a 2uxx f ( x, t ) (0 x l , t 0)
u
x 0
0 u ut
x l
0 0
u t 0 0
t 0
本征函数法具体分如下三个步骤：
nx 本征函数为: X n ( x) Cn sin n 1,2,3... l 2) Tn(t)的方程的解 nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin 带入泛定方程和初始条件 l n 1
(k 1 ) 2 x X k ( x) Ck cos l
n2 π2 n 2 (n = 0,1,…) 第二类 l 2 2 1 ( k ) 混合一 2 (k = 0,1, …) (左一右二) k 2 l (k 1 ) 2 2 混合二 2 (k = 0,1, …) k 2 (左二右一) l
( x) V ( x,0)
W
x a
y b
h( y ) V ( a, y )
( x ) V ( x, b )
W
y 0
一般有界稳定场问题
u xx u yy f ( x, y )
u x 0 g ( y ) u x a h( y )
u y 0 ( x)
n n 0
1 r
n 1
) Pn (cos )
连带勒让德多项式
Pn ( x) (1 x ) Pn ( x)
前几个连带勒氏多项式的代数表达式
P0 ( x) 1, P 1 ( x) P 1 ( x ) x cos
0 1 2 2
m
m 2 2
[ m]
P 1 ( x ) (1 x ) sin 1 1 0 2 P2 ( x) P2 ( x) (3 x 1) (3 cos 2 1) 2 4 1 3 1 2 2 P2 ( x) 3(1 x ) x sin 2 2 3 2 2 P2 ( x) 3(1 x ) (1 cos 2 ) 2
1
m m 递推公式 (n 1 m) Pnm ( x ) ( 2 n 1 ) xP ( x ) ( n m ) P 1 n n1 ( x) 0
球函数
对不具备轴对称的情况，球函数方程的解为
Yn ( , ) [ A cos m B sin m ]Pn (cos )
具有一对齐次边界条件的无源稳定场问题.
齐次泛定方程 齐次边界条件的定解问题
对应不同边界条件的本征值和本征函数
边界条件
第一类
本征值
n2 π2 n 2 l
(n = 1,2,…)
本征函数
n X n ( x) Cn sin x l n X n ( x) Cn cos x l (k 1 ) 2 x X k ( x) Ck sin l
利用特解法求解
I II 令 W ( x, t ) W ( x, t ) W ( x, t )
u y b ( x )
2. 利用叠加原理，化成两个可直接求解的定解问题
W
其中
I
xx
W
I
yy
0
xa
W II xx W II yy 0
0
y b
WI
WI
I 0 W x 0
W II
utt a 2uxx f ( x, t ) u x0 g (t ) u xl h(t )
t 0
源自文库
u t 0 ( x) ut
利用辅助函数法求解
( x)
1) 边界条件齐次化, 令 u(x,t)= v(x,t) + w(x,t).
h(t ) g (t ) x g (t ) 其中 w( x, t ) l
vtt a 2vxx wtt a 2 wxx
2) 新的定解问题
v x 0 0
v x l 0
t 0
v t 0 ( x) w t 0 vt
( x) wt
t 0
不同边界条件的辅助函数
边界条件
第一类:
辅助函数 W(x,t)
x W ( x, t ) [h(t ) g (t )] g (t ) l
1 d 2 dR n r n(n 1) R 0 R(r ) Cn r Dn n1 dr dr r
m2 0 ( ) A cosm B sin m
m d d 2 2 sin sin [n(n 1) sin m ] 0 Pn (cos ) d d m=0, x = cos
卷积定理：
F f1 f 2 F f1 F f 2
ix F ( ) e d
导数定理：
F f x iF f x
F f x i F f x
2
乘积定理：
1 F f1 f 2 F f1 F f 2 2
( x) W II
II G ( y ) W x 0
xa
y b
H ( y)
0
I ( x ) W y 0
y 0
0
W II
三、积分变换法
f ( x) 的傅里叶变换 F ( ) f ( x)eix dx f ( x) 的傅里叶逆变换
1 f ( x) 2
Vtt a 2Vxx f ( x, t ) 其中 V x0 0 V x l 0 V 0 0 V
t 0
t t 0
Wtt a 2Wxx W x0 0 W xl 0 W t 0 ( x) Wt t 0 ( x)
非齐次的边界条件的自由振动
m m n m n m
其中m = 0,1,2,…n,
m m
n = 0,1,2,3….
Pn (cos ) cos m , Pn (cos ) sin m 称为球函数.
按球函数展开的应用
拉氏方程非轴对称定解问题

u (r , , )
W ( x, t ) xh(t ) g (t ) W ( x, t ) h(t ) ( x l ) g (t )
混合二:
ux
g (t )
(左二右一) u
h(t )
一般有界稳定场问题
u xx u yy f ( x, y )
u x 0 g ( y ) u x a h( y )

函数的付氏变换 F x x ei x dx ei x


x 0
1
F x x ei x dx ei
用傅氏变换解数理方程
ut a uxx 0
2
x , t 0
p Lcos wt 2 p w2
拉氏变换的应用
用拉氏变换求解常微分方程
四、 勒让德多项式 球函数
球坐标系下：
1 2 u 1 u 1 2u u 2 r 0 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
数 学 物 理 方 法
第二篇 数学物理方程
第二篇 数学物理方程
一、 数学物理定解问题 二、 分离变量法 三、 积分变换法
四、 勒让德多项式 五、 贝塞尔函数 球函数 柱函数
二、分离变量法
齐次边界条件的自由振动 utt a 2u xx 0
ux
x 0
( 0<x<l )
0
t 0
0
ux
x l
1) 对应齐次问题的本征函数
3) 有界弦的纯强迫振动的解
齐次边界条件的受迫振动(2)
utt a 2uxx f ( x, t ) (0 x l , t 0)
u
x 0
0 u
x l
0
t 0
u t 0 ( x) ut
利用叠加原理求解
( x)
令 u(x,t) = V (x,t)+ W (x,t)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n(n 1) y 0 Pn ( x) dx dx
勒让德多项式
(2n 2m)! Pn ( x) (1) n x n2 m . 2 m !(n m)!(n 2m)! m0
m n 2
前几个勒氏多项式的代数表达式