复变函数(2.1.3)--函数解析性的概念及其判定
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第1节 习题
1. 利用导数定义讨论下列函数在给定点处的可导性，若可导，试求出导数：
（1）
f ( z ) = xy , z = 0;
（2）
f
(
z)
=
1 z
;
（3）
( ) ￬x
f
(
z)
=
￬ ￬
x2
+ y2 x2 +
(y
y4
-
xi )
,
z
￬
0
￬￬0,
z=0
z = 0.
2. 下列函数何处可导，何处解析？
（1） f ( z ) = x2 - iy; （2） f ( z ) = xy2 + ix2 y.
(￬ ￬x
f
(
z)
)2
+
(￬ ￬y
( ) f
z
)2
=
u2 (u2x
+
v
2 y
)
+
v
2
(vx2
u2 + v2
+
u
2 y
)
=
ux2
+ vx2 ,
再由导数公式又得
f ￬( z ) 2 = ux + ivx 2 = ux2 + vx2 , 因此等式得证.
5. 设 u = my3 + nx2 y, v = x3 + lxy2 ，则
g
(
z)
=
z
-
1 z
，但不是
f
(
z)
+
g(
z)
=
2z 的
奇点；又如，z=0 是
f
(
z)
=
1 z
与g(
z)
=
1 z sin z
，但不是
f ( z) g( z)
= sin z 的奇点；
（5）不成立.反例： f ( z ) = z = x - iy 的实部 u = x 和虚部 v = - y 均可导，但 f ( z ) = z 处
=
￬ ￬x
u2 + v2
= uux + vvx , ￬ u2 + v2 ￬y
f
( z)
=
￬ ￬y
u2 + v2 = uuy + vvy , u2 + v2
所以
(￬ ￬x
f
(
z)
)2
+
(￬ ￬y
( ) f
z
)2
=
u2 (u2x
+
u
2 y
)
+
v2
(vx2
u2 + v2
+
v
2 y
)
,
根据 C-R 方程可得，
（2）不成立.反例： f ( z ) = z 2 , g ( z ) = z Re ( z ) 等在 z=0 处可导，但处处不解析；
（3）不成立.反例：z=0 是函数 f ( z ) = zzn （n 为大于 1 的整数）的奇点，但也是可导点；
（4）不成立.反例：z=0
是函数
f
(
z)
=
z
+
1 z
,
￬u ￬x
=
2nyx,
￬u ￬y
=
3my 2
+
பைடு நூலகம்
nx 2 ,
￬v ￬x
=
3x2
+ ly2,
￬v ￬y
=
2lxy,
( ) 由
C-R
方程，
￬￬2nyx ￬￬3x2 +
= 2lxy ly2 = -
3my2 + lx2
，所以 n = l = -3, m = 1.
（4）如果 z0 是
f
(
z)
和g(
z)
的一个奇点，那么 z0 也是
f
(
z)
+g(
z)
和
f ( z) g( z)
的奇点；
（5）如果 f ￬( z0 ) 和 v ( x, y) 的偏导数存在，那么 f ( z ) = u + iv 可导；
（6）设 f ( z ) = u + iv 在区域 D 内是解析的，如果 u 是实常数，那么 f ( z ) 在整个 D 内是
3. 判断下列命题的真假，若真，请给予证明；若假，请举例说明：
（1）如果 f ( z ) 在 z0 连续，那么 f ￬( z0 ) 存在；
（2）如果 f ￬( z0 ) 存在，那么 f ( z ) 在 z0 解析；
（3）如果 z0 是 f ( z ) 的奇点，那么 f ( z ) 在 z0 不可导；
常数；如果 v 是实常数，那么 f ( z ) 在 D 内也是实常数.
4. 设 f ( z ) = u + iv 是 z 的解析函数，证明： � � �￬￬x
f ( z)
� � �2 + � � �￬￬y
f ( z)
�2 � �=
f ￬( z ) 2 .
( ) 5. 设 my3 + nx2 y + i x3 + lxy2 为解析函数，试确定 l, m, n 的值.
处不可导；
（6）成 立 . 证 明 如 下 ： 由 已 知
u
=
c
（实常数），则
￬u ￬x
=
￬u ￬y
=
0. 再 由
C-R
方程得，
￬v ￬x
=
-
￬u ￬y
=
0,
￬v ￬y
=
￬u ￬x
=
0, 因此 v 也是实常数.若 v 是实常数，同理可证 u 也是实常数.
4. 证明：由于
( ) ( ) ￬
￬x
f ( z)
第1节 习题参考答案
1.（1）不可导；（2）
f
￬(
z)
=
-
1 z2
( z ￬ 0) ; （3）不可导.
2.（1）在直线
x
=
-
1 2
上可导，但在复平面上处处不解析；
（2）在原点 z=0 处可导，但在复平面上处处不解析.
3.（1）不成立.反例： f ( z ) = z , g ( z ) = z 等在复平面上处处连续，但处处不可导；
1. 利用导数定义讨论下列函数在给定点处的可导性，若可导，试求出导数：
（1）
f ( z ) = xy , z = 0;
（2）
f
(
z)
=
1 z
;
（3）
( ) ￬x
f
(
z)
=
￬ ￬
x2
+ y2 x2 +
(y
y4
-
xi )
,
z
￬
0
￬￬0,
z=0
z = 0.
2. 下列函数何处可导，何处解析？
（1） f ( z ) = x2 - iy; （2） f ( z ) = xy2 + ix2 y.
(￬ ￬x
f
(
z)
)2
+
(￬ ￬y
( ) f
z
)2
=
u2 (u2x
+
v
2 y
)
+
v
2
(vx2
u2 + v2
+
u
2 y
)
=
ux2
+ vx2 ,
再由导数公式又得
f ￬( z ) 2 = ux + ivx 2 = ux2 + vx2 , 因此等式得证.
5. 设 u = my3 + nx2 y, v = x3 + lxy2 ，则
g
(
z)
=
z
-
1 z
，但不是
f
(
z)
+
g(
z)
=
2z 的
奇点；又如，z=0 是
f
(
z)
=
1 z
与g(
z)
=
1 z sin z
，但不是
f ( z) g( z)
= sin z 的奇点；
（5）不成立.反例： f ( z ) = z = x - iy 的实部 u = x 和虚部 v = - y 均可导，但 f ( z ) = z 处
=
￬ ￬x
u2 + v2
= uux + vvx , ￬ u2 + v2 ￬y
f
( z)
=
￬ ￬y
u2 + v2 = uuy + vvy , u2 + v2
所以
(￬ ￬x
f
(
z)
)2
+
(￬ ￬y
( ) f
z
)2
=
u2 (u2x
+
u
2 y
)
+
v2
(vx2
u2 + v2
+
v
2 y
)
,
根据 C-R 方程可得，
（2）不成立.反例： f ( z ) = z 2 , g ( z ) = z Re ( z ) 等在 z=0 处可导，但处处不解析；
（3）不成立.反例：z=0 是函数 f ( z ) = zzn （n 为大于 1 的整数）的奇点，但也是可导点；
（4）不成立.反例：z=0
是函数
f
(
z)
=
z
+
1 z
,
￬u ￬x
=
2nyx,
￬u ￬y
=
3my 2
+
பைடு நூலகம்
nx 2 ,
￬v ￬x
=
3x2
+ ly2,
￬v ￬y
=
2lxy,
( ) 由
C-R
方程，
￬￬2nyx ￬￬3x2 +
= 2lxy ly2 = -
3my2 + lx2
，所以 n = l = -3, m = 1.
（4）如果 z0 是
f
(
z)
和g(
z)
的一个奇点，那么 z0 也是
f
(
z)
+g(
z)
和
f ( z) g( z)
的奇点；
（5）如果 f ￬( z0 ) 和 v ( x, y) 的偏导数存在，那么 f ( z ) = u + iv 可导；
（6）设 f ( z ) = u + iv 在区域 D 内是解析的，如果 u 是实常数，那么 f ( z ) 在整个 D 内是
3. 判断下列命题的真假，若真，请给予证明；若假，请举例说明：
（1）如果 f ( z ) 在 z0 连续，那么 f ￬( z0 ) 存在；
（2）如果 f ￬( z0 ) 存在，那么 f ( z ) 在 z0 解析；
（3）如果 z0 是 f ( z ) 的奇点，那么 f ( z ) 在 z0 不可导；
常数；如果 v 是实常数，那么 f ( z ) 在 D 内也是实常数.
4. 设 f ( z ) = u + iv 是 z 的解析函数，证明： � � �￬￬x
f ( z)
� � �2 + � � �￬￬y
f ( z)
�2 � �=
f ￬( z ) 2 .
( ) 5. 设 my3 + nx2 y + i x3 + lxy2 为解析函数，试确定 l, m, n 的值.
处不可导；
（6）成 立 . 证 明 如 下 ： 由 已 知
u
=
c
（实常数），则
￬u ￬x
=
￬u ￬y
=
0. 再 由
C-R
方程得，
￬v ￬x
=
-
￬u ￬y
=
0,
￬v ￬y
=
￬u ￬x
=
0, 因此 v 也是实常数.若 v 是实常数，同理可证 u 也是实常数.
4. 证明：由于
( ) ( ) ￬
￬x
f ( z)
第1节 习题参考答案
1.（1）不可导；（2）
f
￬(
z)
=
-
1 z2
( z ￬ 0) ; （3）不可导.
2.（1）在直线
x
=
-
1 2
上可导，但在复平面上处处不解析；
（2）在原点 z=0 处可导，但在复平面上处处不解析.
3.（1）不成立.反例： f ( z ) = z , g ( z ) = z 等在复平面上处处连续，但处处不可导；