【水印已去除】2019年河北省保定市中考数学一模试卷

2019年河北省保定市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题：每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）如图，坐标平面上二次函数y＝x2+1的图象经过A、B两点，且坐标分别为A（a，10）、B（b、10），则AB的长度为（）
A．3B．5C．6D．7
2．（2分）在下列各图中，不添加任何辅助线，若每个图所给出的两个三角形都是相似的，则位似图形的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．
C．D．
4．（2分）在如图所示的几何体的周围添加一个正方体，添加前后主视图不变化的是（）
A．B．
C．D．
5．（2分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O内，点O在△P AB内，若∠C＝50°，则∠P的度数可以为（）
A．20°B．50°C．110°D．80°
6．（2分）点A（2，6）与点B（4，6）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，则下列说法正确的是（）
A．a＞0B．a＜0C．6a+b＝0D．a+6b＝0
7．（2分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
8．（2分）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（）
A．M点B．N点C．P点D．Q点
9．（2分）如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）
A．27﹣9B．54﹣18C．18D．54
10．（2分）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O 交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（）
A．2B．3C．D．3
三、境空题（本大醒共5个小题，每小题4分，共20分，把答案写在题中横线上）11．（4分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝13米，则旗杆BC的高度为米．
12．（4分）用如图的两个自由转动的转盘做“配紫色”游戏分别转动两个转盘若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，则配成紫色的概率是．
13．（4分）小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图1所示的是他了解的一款雨罩．它的侧面如图2所示，其中顶部圆弧AB 的圆心O在整直边缘D上，另一条圆弧BC的圆心O．在水平边缘DC的廷长线上，其圆心角为90°，BE⊥AD于点E，则根据所标示的尺寸（单位：c）可求出弧AB所在圆的半径AO的长度为cm．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为．
15．（4分）如图①，正三角形和正方形内接于同一个圆；如图②，正方形和正五边形内接于同一个圆；如图③，正五边形和正六边形内接于同一个圆；…；则对于图①来说，BD 可以看作是正边形的边长；若正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形的顶点可以看做是边形的边长．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（7分）如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
17．（7分）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．
（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
18．（9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节，投入市场销售时，调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表：
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：
产品的成本单价是元，当销售单价x＝元时，日销售利润w最大，最大值是元；
（3）某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由
19．（10分）课题学习：矩形折纸中的数学
实践操作
折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．数学课上，老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形所在平面内，B'C和AD相交于点E，如图1所示．
探素发现
（1）在图1中，①请猜想并证明AE和EC的数量关系；②连接B'D，请猜想并证明B'D 和AC的位置关系；
（2）第1小组的同学发现，图1中，将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形．若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形，展开后如图2所示，请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比；
（3）若将图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图3所示，（1）中的结论①和结论②是否仍然成立，请直接写出你的判断．
拓展应用
（4）在图3中，若∠B＝30°，AB＝2，请您直接写出：当BC的长度为多少时，△AB'D 恰好为直角三角形．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一点A（1，2），AB∥x轴且AB＝6，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC＝5，将抛物线y＝ax2（a＞0）的对称轴右侧的图象记作G．
（1）若G经过C点，求抛物线的解析式；
（2）若G与△ABC有交点．
①求a的取值范围；
②当0＜y≤8时，双曲线y＝经过G上一点，求k的最大值．
21．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD 的外部，将半圆O绕点A顺时针旋转a度（0°≤a≤180°）．
（1）在旋转过程中，B′C的最小值是，如图2，当半圆O的直径落在对角线AC上时，设半圆O与AB的交点为M，则AM的长为．
（2）如图3，当半圆O与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，求劣弧AP的长；
（3）在旋转过程中，当半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．
22．（11分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点M是△ABC的中线AD上一点，以M 为圆心作⊙M．设半径为r
（1）如图，当点M与点A重合时，分别过点B，C作⊙M的切线，切点为E，F．求证：BE＝CF；
（2）如图2，若点M与点D重合，且半圆M恰好落在△ABC的内部，求r的取值范围；
（3）当M为△ABC的内心时，求AM的长．
23．（15分）如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D （1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
2019年河北省保定市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题：每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】把y＝10代入二次函数解析式求出x的值，确定出A与B的坐标，即可求出AB 的长．
【解答】解：把y＝10代入二次函数解析式得：x2+1＝10，
解得：x＝3或x＝﹣3，即A（3，10），B（﹣3，10），
则AB的长度为6，
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
2．【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【解答】解：根据位似图形的定义可知，第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行．
3．【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．【解答】解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
4．【分析】根据从正面观察得到的图形是主视图即可解答．
【解答】解：选项A的图形的主视图均为：
选项B、C的图形的主视图均为：
原图和选项D的图形的主视图均为：
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．5．【分析】延长AP交圆O于D，连接BD，根据三角形的外角的性质得到∠APB＞∠ADB ＞50°，于是得到结论．
【解答】解：延长AP交圆O于D，连接BD，
则∠ADB＝∠C＝50°，
∴∠APB＞∠ADB＞50°，
∵点O在△P AB内，
∴∠APB＜90°，
∴∠P的度数可以为80°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的外角的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．【分析】根据题意可以得到a、b的关系式，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的结论是否成立．
【解答】解：∵点A（2，6）与点B（4，6）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，∴，
解得，6a+b＝0，故选项C正确，选项D错误，
由题目中的条件无法判断a的正负情况，故选项A、B错误，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；
D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．
8．【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠P A，于是得到结论．
【解答】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠P A，
∴排除C选项，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
9．【分析】设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，根据题意得到△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，由三角函数求出△EFO的高，由三角形面积公式即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，如图所示：
根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，
∴EF＝OF＝6，
∴△EFO的高为：OF•sin60°＝6×＝3，MN＝2（6﹣3）＝12﹣6，∴FM＝（6﹣12+6）＝3﹣3，
∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4×（3﹣3）×3＝54﹣18；
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于4个三角形的面积．
10．【分析】过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理易知E是AB中点，从而OE是△ABC中位线，即BC＝20E，而OE≤OP，故BC≤2OP．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
最大值为2OP＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂径定理的基本应用、三角形三边关系，难度适中；过圆心作弦的垂线是运用垂径定理的常用技巧和手段，要熟练掌握．
三、境空题（本大醒共5个小题，每小题4分，共20分，把答案写在题中横线上）11．【分析】设CD＝2x米，根据坡度的概念用x表示出AD，根据勾股定理求出x，根据勾股定理求出BD，结合图形计算即可．
【解答】解：设CD＝2x米，
∵斜面AC的坡度为1：2，
∴AD＝2x，
由勾股定理得，CD2+AD2＝AC2，即x2+（2x）2＝（）2，
解得，x＝，
则CD＝，AD＝5，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝144，
解得，BD＝12，
则BC＝12﹣2.5＝9.5，
故答案为：9.5．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的
关键．
12．【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．
13．【分析】连接BO1，设弧AB的半径为Rcm，在直角三角形BO1E中，则O1B＝Rcm，O1E ＝（R﹣50）cm，BE＝60cm，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程求出半径R的值即可．
【解答】解：连接BO1，易知BE＝60cm，AE＝50cm．
设弧AB的半径为Rcm，则O1B＝Rcm，O1E＝（R﹣50）cm．
在Rt△O1BE中，由勾股定理得：O1B2＝BE2+O1E2，
即R2＝602+（R﹣50）2，
解得：R＝61．
故答案为：61
【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，难度适中，关键是求出弧AB所在圆的半径．
14．【分析】由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH＝∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM＝EN，由角角边可证明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长．
【解答】解：如图所示：
过点E作EM⊥BC，EN⊥AB，分别交BC、AB于M、N两点，
且EF与BC相交于点H．
∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，
∴∠CEH＝∠FBH＝90°，
又∵∠EHC＝∠BHF，
∴△ECH∽△BFH（AA），
∴∠ECH＝∠BFH，
∵EM⊥BC，EN⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴四边形ENBM是正方形，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，
在△EMC和△ENF中
∴△EMC≌△ENF（AAS）
∴CM＝FN，
∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，
∴．
又∵DE＝4BE，
∴＝，
同理可得：，
设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，
∵AF＝8，AF＝AN+FN，
∴8a＝8
解得：a＝1，
∴AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，两个三角形全等的判定与性质，两个似三角形的判定与性质，线段的和差等综合知识，重点是掌握两个三角形相似和全等的判定的方法，难点是作辅助线构建两个三角形全等．
15．【分析】如图①，连接OA、OB、OD，先计算出∠AOD＝120°，∠AOB＝90°，则∠BOD＝30°，然后计算可判断BD是正十二边形的边长；对于正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，同样计算出∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝，利用＝n（n+1）可判断BD可以看作是正n（n+1）边形的边长．
【解答】解：如图①，连接OA、OB、OD，
∵正三角形ADC和正方形ABCD接于同一个⊙O，
∴∠AOD＝＝120°，∠AOB＝＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝30°，
∵＝12，
∴BD可以看作是正十二边形的边长；
若正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，
同理可得∠AOD＝，∠AOB＝，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝﹣＝，
∵＝n（n+1），
∴BD可以看作是正n（n+1）边形的边长．
故答案为十二；正n（n+1）．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．【分析】（1）由∠1＝∠2，∠DP A＝∠CPB（对顶角相等），即可得证△ADP∽△BCP （2）由△ADP∽△BCP，可得＝，而∠APB与∠DPC为对顶角，则可证△APB∽△DPC，从而得＝＝，即可求AP
【解答】解：
（1）证明：
∵∠1＝∠2，∠DP A＝∠CPB
∴△ADP∽△BCP
（2）∵△ADP∽△BCP，
∴＝，
∵∠APB＝∠DPC
∴△APB∽△DPC
∴＝＝，
∴AP＝6
【点评】此题主要考查相似三角形的判定，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
17．【分析】根据题意求出∠EDF＝38°，通过解直角△EFD求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．
【解答】解：由题意知，∠EDF＝α＝38°，
∴FD＝≈＝10（米）．EH＝8﹣2＝6（米）
在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝．
∴≈0.5．
∴BF＝12（米）
PG＝BD＝BF+FD＝12+10＝22（米）．
在直角△PCG中，∵tanβ＝．
∴CG＝PG•tanβ≈22×0.5＝11（米）．
∴CD＝11+2＝13（米）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
18．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；
（3）求出在（2）中情况下，即x＝19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（10，200）、（15，150）代入，得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）；
（2）设每天销售获得的利润为w，
则w＝（x﹣8）y
＝（x﹣8）（﹣10x+300）
＝﹣10（x﹣19）2+1210，
∵8≤x≤30，
∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1210；
故答案为：8，19，1210；
（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，
则每天的销售量为y＝﹣10×19+300＝110千克，
∵保质期为40天，
∴总销售量为40×110＝4400，
又∵4400＜4800，
∴不能销售完这批苹果．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
19．【分析】（1）①想办法证明∠EAC＝∠ECA即可判断AE＝EC．
②想办法证明∠ADB′＝∠DAC即可证明．
（2）①当AB：AD＝1：1时，符合题意．②当AD：AB＝时，也符合题意，
（3）结论仍然成立，证明方法类似（1）．
（4）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
①结论：EA＝EC．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC．
②连接DB′．结论：DB′∥AC．∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AD＝BC＝CB′，
∴ED＝EB′，
∴∠EB′D＝∠EDB′，
∵∠AEC＝∠DEB′，
∴∠EB′D＝∠EAC，
∴DB′∥AC．
（2）如图2中，
①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，
∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，
∴△AEB′≌△AEF（AAS），
∴AB′＝AF，
此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
②当AD：AB＝时，也符合题意，
∵此时∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD，
∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，
∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．
（3）如图3中，当四边形ABCD是平行四边形时，仍然有EA＝EC，DB′∥AC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
由翻折可知：∠ACB＝∠ACE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC．
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AD＝BC＝CB′，
∴ED＝EB′，
∴∠EB′D＝∠EDB′，
∵∠AEC＝∠DEB′，
∴∠EB′D＝∠EAC，
∴DB′∥AC．
（4）①如图3﹣1中，当∠AB′C＝90°时，易证∠BAC＝90°，BC＝＝．
②如图3﹣2中，当∠ADB′＝90°时，易证∠ACB＝90°，BC＝AB•cos30°＝．
③如图3﹣3中，当∠DAB′＝90°时，易证∠B＝∠ACB＝30°，BC＝2•AB•cos30°＝2．
④如图3﹣4中，当∠DAB′＝90°时，易证：∠B＝∠CAB＝30°，BC＝＝
，
综上所述，满足条件的BC的长为或或2或
【点评】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
20．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．求出点C坐标即可解决问题；
（2）①当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，可得a＝，由此即可解决问题；
②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，因为x＞0，推出x＝14，由题
意当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大；
【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．
∵CA＝CB＝5，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，
在Rt△ACH中，CH＝＝4，
∴C（4，6），
∵抛物线y＝ax2（a＞0）经过C点，
∴6＝16a，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2．
（2）①∵A（1，2），B（7，2），
当抛物线经过点A时，a＝2，
当抛物线经过点B时，2＝49a，
∴a＝，
∵若G与△ABC有交点，
∴≤a≤2．
②由题意当a＝时，y＝x2，
当y＝8时，8＝x2，
∴x＞0，
∴x＝14，
∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，
∴k的最大值为112．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
21．【分析】（1）连接B′M，则∠B′MA＝90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC 的长度，由∠B＝∠B′MA＝90°、∠BCA＝∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；
（2）连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出
DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO＝2、AG＝1可得出∠OAG＝60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；
（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
在旋转过程中，当点B′落在对角线AC上时，B′C的值最小，最小值为1；
在图2中，连接B′M，则∠B′MA＝90°．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5．
∵∠B＝∠B′MA＝90°，∠BCA＝∠MAB′，
∴△ABC∽△AMB′，
∴＝，即＝，
∴AM＝；
故答案为：1，；
（2）在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．
∵半圆与直线CD相切，
∴ON⊥DN，
∴四边形DGON为矩形，
∴DG＝ON＝2，
∴AG＝AD﹣DG＝1．
在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，AO＝2，AG＝1，
∴∠AOG＝30°，∠OAG＝60°．
又∵OA＝OP，
∴△AOP为等边三角形，
∴劣弧AP的长＝＝π；
（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，
∴DN＝GO＝OA＝，
∴CN＝CD+DN＝4+，
当点B′在直线CD上时，如图4所示．
在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），AB′＝4，AD＝3，
∴B′D＝＝，
∴CB′＝4﹣，
∵AB′为直径，
∴∠ADB′＝90°，
∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．
∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4﹣≤d＜4或d＝4+．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出AM的长度；（2）通过解直角三角形找出∠OAG＝60°；（3）依照题意画出图形，利用数形结合求出d的
取值范围．
22．【分析】（1）连接AE，AF，利用“HL”证Rt△BAE≌Rt△ACF即可得；
（2）作DG⊥AB，由AB＝AC＝5，AD是中线知AD⊥BC且AD＝＝3，依据BD×AD＝AB×DG可得DG＝，从而得出答案；
（3）作MH⊥AB，MP⊥AC，有MH＝MP＝MD，连接BM、CM，根据AB•MH+BC •MD+AC•MP＝AD•BC求出圆M的半径，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接AE，AF，
∵BE和CF分别是⊙O的切线，
∴∠BEA＝∠CF A＝90°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴Rt△BAE≌Rt△ACF（HL），
∴BE＝CF；
（2）如图2，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB＝AC＝5，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴AD＝＝3，
∴BD×AD＝AB×DG，
∴DG＝，
∴当0＜r＜时，半圆M恰好落在△ABC内部；
（3）当M为△ABC的内心时，
如图3，过M作MH⊥AB于H，作MP⊥AC于P，
则有MH＝MP＝MD，
连接BM、CM，
∴AB•MH+BC•MD+AC•MP＝AD•BC，
∴r＝＝＝，
∴AM＝AD﹣DM＝．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质等知识点．
23．【分析】（1）利用直线方程求得点A、C的坐标，根据点A、C坐标求得抛物线解析式；
（2）分点E在CD上方、点E在CD下方两种情况，分别求解即可；
（3）分CM为菱形的一条边、CM为菱形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，
则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①，
令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；
（2）①当点E在CD上方时，
tan∠BCO＝＝，
则直线CE的表达式为：y＝x+4…②，
联立①②并解得：x＝0或（舍去0），
则点E（，）；
②当点E在CD下方时，
同理可得：点E′（，）；
故点E的坐标为E（，）或（，）；
（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，
过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
则PM＝PQ＝x，
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，
即：x＝﹣x2+3x+4，解得：x＝0或4﹣（舍去0），
故菱形边长为x＝4﹣2；
②如图3，当CM为菱形的对角线时，
同理可得：菱形边长为2；
故：菱形边长为4﹣2或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形基本性质等，要注意
分类求解、避免遗漏．。