6.1二次型及其矩阵表示、合同矩阵(全)

第六章二次型
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形
§3 二次型与对称矩阵的正定性
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵
定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式
()
n x x x f ,,,21 n
n x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221
112222+++++= n
n x x a x x a x x a x a 224224322322
22222+++++ 2n
nn x
a +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。

本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。

n
n x x a x x a x a 33433423
3322++++
22212111222
121213131,12111
12121122121222
2221122,1
222(,,,)n nn n
n n n n
n n n n
n n n n nn n
n
ij
i j
i j f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x
a
x x --==++
+++++=++++++++
++++=
∑i j j i ij i j i j i j j i i j
22212111222
121213131,12111
12121122121222
2221122,1
222(,,,)n nn n
n n n n
n n n n
n n n n nn n
n
ij
i j
i j f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x
a
x x --==++
+++++=++++++++
++++=
∑i j j i ij i j i j i j j i i j
2121111212112
2121222222
1122(,,
,)n n n n n n n n n nn n
f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++
++++111112
21()n n x a x a x a x
+++2211222
2
()n n
x a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a x
a x +++1111221211222
2121122(,,
,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x ++
+⎛⎫
⎪
+++
⎪
= ⎪
⎪
+++⎝⎭111211212222121
2
(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
T
x Ax
=
其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )T
A 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。

二次型和它的矩阵是互相唯一确定的。

即有一个二次型就有唯一的对称矩阵A ；而对称矩阵A 对应唯一的二次型。

,
)(T
1
1
21Ax x x
x a ,x ,,x x f j
i n
j ij n
i n ==∑∑
==
例如，二次型的矩阵是
()3
222
31212132,,,x x x x x x x x x x f n -++= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=02
32
12322121210A A 是一个对称矩阵。

反之，对称矩阵A 所对应的二次型为
()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==32132132102
32
12322121210,,,,x x x x x x Ax x x x x f T
3
222
312132x x x x x x x -++=
解析几何中，为了确定二次方程
ax 2+ bxy + cy 2=d （a ，b ，c 不全为零）
所表示的曲线的性态，通常利用旋转变换公式：
选择适当的θ，可使上面的方程化为
⎩⎨
⎧'+'='-'=θ
θθθcos sin sin cos y x y y x x 在旋转变换公式中，θ选定后sin θ，cos θ是常数。

x ，y 由x‘，y’ 的线性表达式给出。

这一线性表达式称为线性变换。

ax '2 + by'2 = d ′
定义2关系式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n
nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,称为由变量n x x x ,,,21 到变量n y y y ,,,21 变量替换，简称线性变换。

的一个线性
矩阵
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 212222111211称为线性变换的矩阵，0≠C 时称线性变换为非退化的线性变换或可逆的线性变换。

如上例中，因为
01cos sin sin cos ≠=-θθ
θ
θ
，所以⎩⎨⎧'+'='-'=θ
θθθcos sin sin cos y x y y x x 是一个非退化的线性变换。

设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y y x x x x 2121,是两个n 元变量，则线性变换可以写
成以下矩阵形式：
Cy
x =代入Ax x f T
=有
()()By
y ACy C y Cy A Cy Ax x f T
T
T
T
T
====其中(
)
B A
C C AC C B AC C B T
T
T
T
T ====,,因此By y T
是以B
为矩阵的y 的n 元二次型。

如果线性变换是非退化线性变换，By y T
有下面的形状：
2222211r
r y
d y d y d ++我们称这个形状的二次型为二次型的一个标准形。

易知，()()
B R A R r ==
例1 将二次型
()23
3222
312121
3214222,,x
x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形。

解：由于标准形是平方项的代数和，可通过配方法将二次型改写成
2
3
32223121214222x x x x x x x x x f +++++=()()()23
3222
2
322
3232121
422x
x x x x x x x x x x x ++++-++++=()3
222
2
3212x x x x x x ++++=()()23
2
322
321x
x x x x x -++++=①
令⎪⎩⎪⎨⎧+
++
=
==3
332
21
3
2
1x x x x x x y y y 即⎪⎩⎪
⎨⎧-
-
=
==3
32
21
3
21
y y y y y x x x 0
11
001100
11≠=--=C 代入式①中，得原二次型的标准形
23
2221y
y y f -+=
其矩阵⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=100010001B 因为原二次型的矩阵为⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=121221111A 线性变换的矩阵为0
1C 100110011≠=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=且C 通过计算可以验证⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==100010001B AC C T
是对角矩阵，且
23
222
1y
y y By y f T
-+==
可见，要把二次型化为标准形，关键在于求出一个非奇异矩阵C，使得C T AC是对角矩阵。

上例是通过配方方法间接找到非奇异矩阵C。

一般说来，这种方法较麻烦，下面我们将介绍初等变换和正交变换的方法求矩阵C。

定义3设A,B为两个n阶矩阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得
T
=
C AC B
则称矩阵A合同于矩阵B，或A与B合同，记为
≅
A B
例如
111100122010121001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
合同关系具有以下性质：①A
A
T
E AE A
因为②A B B
A
⇒(
)
1
1
T
T
C AC B C
BC A
--=⇒=因为③,A
B B
C A C
⇒()()1
12
21212,T
T T C AC B C BC C C C A C C C
==⇒=因为。