高三十月月考数学试卷
四川省成都市2024-2025学年高三上学期10月月考 数学含答案
成都2024～2025学年度上期高2025届十月考试数学试卷（答案在最后）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1.已知集合{}1,2,4A =,2{|20}B x N x x =∈+-≤,则A B = A.{}2,1,0,1,2,4-- B.{}0,1,2,4 C.{}1,2,4D.{}12.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差3.已知0.10.6a =,0.6log 0.3b =,0.6log 0.4c =,则a ,b ,c 的大小关系为A.b c a>> B.a b c>> C.c b a>> D.a c b>>4.已知实数a ,b ,c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是A.22ab cb > B.222a c c a+≥ C.||||a b > D.0ab bc +>5.“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R”的一个充分不必要条件是A.[2,2]- B.(0,2⎤⎦C．(,2[2,)⎤-∞+∞⎦U D．[2,)+∞6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过()年.（lg 20.3010≈）A.155 B.159C.162D.1667.若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A.(12)y f x =-B.1(1)2y f x =-C.(12)y f x =-- D.1(1)2y f x =--8.已知函数11,0,()2221,0.x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪-≤⎩,则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为A．0B．3C．6D．9二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三10月月考试题 数学含答案
哈2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷（答案在最后）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)
武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （）A.[]2,1-- B.[)1,2- C.[]1,1- D.[)1,2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A ，即可得交集.【详解】由题意可得：{}(][)2|230,31,A x x x =+-≥=-∞-+∞U ，且{}|22B x x =-≤<，所以A B = [)1,2.故选：D.2.复数2i12i-+的共轭复数是（）A.3i 5- B.3i 5C.i -D.i【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()()2i 12i 2i 5i i 12i 12i 12i 5----===-++-，所以其共轭复数是i .故选：D.3.若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4.已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（）A.()sin sin sin αβαβ+<+B.()sin cos cos αβαβ+<+C.()cos sin sin αβαβ+<+D.()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos302αβ+=︒=，62sin154︒===，sin sin sin15sin152αβ+=︒+︒=，22>，C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5.将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（）A.3B.C.D.33【答案】C 【解析】【分析】反向思考，求出边长为a 的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.【详解】反向思考，边长为a 的正方体，其最大内接正四面体的体积为33311141323a a a -⨯⨯⨯==，得到33a =，解得a =故选：C.6.武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（）种A.114B.120C.126D.132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A7.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ 若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]0,e D.[]1,e 【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．8.已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（）A.3 B.2.5C.2D.1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C,根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()NP NMPP M=，即()()()NP NM P P M=，所以M与N相互独立，故D正确；故选：ABD.10.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（）A.平行四边形B.梯形C.有三条边相等的四边形D.有一组对角相等的四边形【答案】BCD【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；对于选项C：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与,A B两点，则OA OB=，再以A圆心，OA为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点C，此时可得OA OB OC==，符合题意，故C正确；对于选项B：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于,A B和,C D，此时AB CD≠，即ABCD为梯形，故C正确；对于选项D ：如图，以AC 为直径作圆，与抛物线交于,,,A B C D ，此时90ABC ADC ∠=∠=︒，符合题意，故D 正确；故选：BCD.11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B.若()f x 有三个不同的零点123,x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C.存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()322000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()23200006621y x ax x x xax =--++，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()32322000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()222000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02ax ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数=的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．【答案】50【解析】【分析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题，则111503320993690109a a d a d d ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩.则6161550S a d =+=.故答案为：5013.已知函数()()sin ,0,2π2cos xf x x x=∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．【答案】2π4π33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可.【详解】()()()()222cos 2cos sin 2cos 12cos 2cos x x xx f x x x +++'==++，()0,2πx ∈，令()()22cos 102cos x f x x +'==+，即2cos 10x +=，解得2π3x =或4π3x =.当2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2π4π,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当4π,2π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可知，函数()f x 的单调递减区间为2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭.14.掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】①.1327②.13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于2102321112113C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2π3cos sin 34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得tan 3θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.【小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到tan 3θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2π3cos sin34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭2133cos (sin cos224θθθθ=⋅+⋅+2133sin 2cos 424θθ=-+131cos 23sin 24224θθ+=-⋅+1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16.如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4的菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）（2）217【解析】【分析】（1）作出四棱锥P ABCD -的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥P ABCD -的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角A PB C --的余弦值，进而计算出正弦值.【小问1详解】过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，又PB AD ⊥，又,,PO PB P PO PB =⊂ 平面POB ，所以AD ⊥平面POB ，因为,PE BE ⊂平面POB ，所以AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PA PD =，所以E 为AD 得中点，所以4BD BA ==，因为侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒，即有120PEB ∠=︒，所以60PEO ∠=︒，因为侧面PAD 为正三角形，所以4sin 60PE =⋅︒=sin 6032PO PE =⋅︒==，所以113443332P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作OB 的垂线Ox ，依题可得,,OP OB Ox 两两垂直，以,,OP OB Ox 为z 轴，y 轴，x 轴建立空间直角坐标系，可得()A ，()0,0,3P ，()B ，()C -，取PB 得中点为N ，则3330,,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB =，所以AN PB ⊥，由（1）AD ⊥平面POB ，//BC AD ，知⊥BC 平面POB ，PB ⊂平面POB ，所以BC PB ⊥，可得,BC NA 所成角即为二面角A PB C --的平面角，记为θ，求得332,,22NA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()4,0,0BC =-，则cos ,NA BC NA BC NA BC ⋅===⋅则21sin 7θ==.17.已知函数()()2e ln 0x a f x a a x-=+>（1）当e a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =（2）ea ≥【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；（2）首先根据指对公式，变形不等式为e lnrK2+lnr −2≥ln +e ln ，>0，再构造函数()e x g x x =+，结合函数的单调性，转化为不等式ln 2ln a x x +-≥恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.【小问1详解】当e a =时，()1e e ln x f x x -=+，()01e ln e 2f =+=，()()11e ,10x f x f x-=-'='，所求切线方程为：20(1)y x -=-，即2y =；【小问2详解】()2f x ≥转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得e lnrK2+lnr −2≥ln +e ln ，>0，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增，所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增，故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()0,∞+恒成立，令()ln 2h x x x =-+，()110h x x-'==，得到1x =，可得()0,1x ∈时，ℎ′>0；()1,x ∞∈+时，()0h x '<，所以ℎ在1x =时取最大值，所以()ln 11a h ≥=，得到e a ≥.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【答案】（1）22195x y +=（2）9680x y --=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E 的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点A 处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段BC 中点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出65OM k =，联立直线方程可得点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，不合题意，可得结论.【小问1详解】椭圆E 经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23e =可得222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此可得椭圆E 的方程为22195x y +=；【小问2详解】由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意可知1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =，如下图所示：设角平分线上任意一点为s ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=又易知其斜率为正，∴12F AF ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，12F AF ∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，所以12F AF ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-，即9680x y --=【小问3详解】思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点1,1,2,2，设2:3BC l y x m =-+，联立2219523x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得229129450x mx m -+-=，∴线段BC 中点为25,39m m M ⎛⎫⎪⎝⎭在12F AF ∠的角平分线上，即106803m m --=，解得3m =；因此52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点1,1,2,2，线段BC 中点()00,M x y ，由点差法可得22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2221212095x x y y -+=；∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，因此0065OM y k x ==，联立:96806:5AM OM l x y l y x --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．19.设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数①求证：函数()f x 具有性质()P b ；②讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析（2）01m <<【解析】【分析】(1)①对()f x 求导，可得ℎ(p =1r12>0恒成立，即可函数()f x 具有性质()P b ；②设=2−B +1>1，′与()u x 符号相等，对b 讨论，可知′符号，即可得出函数()f x 的单调区间；(2)对()g x 求导，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，分析可知()g x '其在(1,)+∞恒成立，对m 讨论，再根据αβ，与12,x x 大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解m 的取值范围.【小问1详解】①()()(()222121111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，所以1x >，ℎ=1r12>0恒成立，则函数()f x 具有性质()P b ；②设=2−B +1>1，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，所以1,2b x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x 在1,2b ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x 在4,2b ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增；当2b >时，()f x 在41,2b ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在4,2b ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.【小问2详解】由题意，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，又()h x 对任意的,(1)x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的,(1)x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增.所以12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，因为()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<所以1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<所以12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意当1m ≥时，11112(1)(1mx m x mx x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，所以12x x αβ≤<≤所以12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，则12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去综上所述，01m <<。
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}2230B x x x =-->，则A B =U （ ）A ．()3,+∞B ．（1，3）C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知515S =，735S =，则1a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-3．已知边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则AF AE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在复平面上，复数1i2ia +-所对应的点在第二象限，则实数a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．35．已知 πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．−23B ．13-C ．23D ．136．“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22220b c a +-=，则sin B 的最大值为（ ）A B ．13C ．12D ．238．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lge 0.4343≈） A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.1159．已知函数()f x 的定义域为R ，存在常数()0t t >，使得对任意x ∈R ，都有()()f x t f x +=，当[)0,x t ∈时，()2tf x x =-．若()f x 在区间()3,4上单调递减，则t 的最小值为（ ） A ．3B ．83C ．2D ．8510．设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A K ，B K ，规定(),(A BK K A B AB ABϕ-=为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误．．的是（ ）. A ．函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； B ．存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； C ．设A ，B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；D ．设A ，B 是曲线e (x y =是自然对数的底数)上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，则(), 1.A B ϕ>二、填空题11．812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项的系数是．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则双曲线的离心率为．13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示．①函数()f x 的最小正周期为；②将函数()f x 的图象向右平移(0)t t >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是．14．已知函数()sin 2cos (0)f x x x ωωω=->，且()()f x f xαα+=-.若两个不等的实数12,x x 满足()()125f x f x =且12min πx x -=，则sin 4α=.15．已知函数1,,122()111,0,242x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，3()sin 22(0)32g x a x a a ππ⎫⎛=+-+> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①函数()f x 的值域为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦②函数()g x 在[0,1]上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[0,1]内恒有解； ④若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数 a 的取值范围是5495a ≤≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数()()πcos sin ,0.6f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且满足_________.（在下列三个条件中任选一个，并解答问题） ① 函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2；② 函数()f x 的图象相邻两个最大值之间的距离为π； ③ 已知12x x ≠，()()1214f x f x ==，且12x x -的最小值为π2. (1)求函数()f x 的对称中心坐标；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.17．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)18．四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，3PA PB ==，1,2,3BC AB AD ===，O 是AB 的中点(1)求证：CD ⊥平面POC(2)求二面角C -PD -O 的平面角的余弦值(3)在侧棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由19．已知函数()2ln f x ax x x =+（R a ∈）图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直．(1)求实数a 的值；(2)若存在Z k ∈，使得()f x k >恒成立，求实数k 的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)A -在C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(2,1)B -且斜率为k 的直线交椭圆C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，试用含k 的代数式表示()()1222x x ++；(3)在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线AQ 相交于点M ，证明：线段PM 的中点在定直线上.21．已知n 为正整数，数列X ：12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12n S X x x x =++⋅⋅⋅+．对于数列X ，总有{}0,1k x ∈，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称数列X 为n 项0-1数列．若数列A ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅，B ：12,,,n b b b ⋅⋅⋅，均为n 项0-1数列，定义数列*A B ：12,,,n m m m ⋅⋅⋅，其中1k k k m a b =--，1,2,,k n =⋅⋅⋅．(1)已知数列A ：1，0，1，B ：0，1，1，直接写出()*S A A 和()*S A B 的值；(2)若数列A ，B 均为n 项0-1数列，证明：()()()**S A B A S B =； (3)对于任意给定的正整数n ，是否存在n 项0-1数列A ，B ，C ，使得()()()***2S A B S A C S B C n ++=，并说明理由。
2024-2025学年宁夏石嘴山一中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年宁夏石嘴山一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x|2x−x 2>0}，B ={x|x >1}，R 为实数集，则(∁R B)∩A 等于( )A. (0,1)B. [1,2)C. (0,1]D. (−∞,0)2.若函数f(x)=lnx−1x +a 在区间(1,e)(其中e =2.71828…)上存在零点，则常数a 的取值范围( )A. 0<a <1B. 1e <a <1C. 1e −1<a <1D. 1e +1<a <13.函数y =x 2e |x|(其中e 为自然对数的底)的图象大致是( )A. B.C. D.4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是(1+1%)35=1.01345；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的1.013650.99365=(1.010.99)365≈1481倍.照此计算，大约经过( )天“进步者”是“退步者”的2倍.(参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈−0.00436，lg2≈0.3010)A. 33B. 35C. 37D. 395.已知cos (α+π6)=35，则sin (2α−π6)=( )A. −4925B. −2425C. −725D. 7256.若对任意的x 1，x 2∈(m,+∞)，且x 1<x 2，都有x 1lnx 2−x 2lnx 1x 2−x 1<2，则m 的最小值是( )(注：e =2.71828⋯为自然对数的底数)A. 1eB. eC. 1D. 3e7.已知函数f(x)=e x −e −x +sinx−x +2，其中e 是自然对数的底数.若f(log 12t)+f(3)>4，则实数t 的取值范围是( )A. (0,18)B. (18,+∞)C. (0,8)D. (8,+∞)8.已知定义在R 上的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，记a =f(log 512),b =f(log 1215),c =f((12)15)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023—2024学年内蒙古高三上学期10月月考数学(文科)试题(含答案)
2023-2024学年内蒙古高三上册10月月考数学（文）试题A ．74mB ．60mC ．52mD ．9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -.当01x ≤≤时，(f ()()20222023f f +=（）①()21π3cos 64x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦②函数()y f x =在[]2,5上单调递减；③函数()y f x =在[]3,6上的值域为二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =．14．已知()0,παβ∈、，tan α与tan β是方程23340x x ++=的两个根，则αβ+=．15．已知ABC 中，若2π,2,3A c ABC == 的面积为3,2D 为BAC ∠的平分线与边BC 的交点，则AD 的长度是.16．已知直线y ax a =+与曲线ln y x b =+相切，则5a b -的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分.17．已知函数()()2cos sin 3cos 3f x x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期和()f x 的单调递减区间；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值.18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知585S =，且617a a =．(1)求n a 和n S ；(2)设15n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ．19．在△ABC 内，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos cos cos b A c B c a B -=-．(1)求角B 的值；(2)若24a c +=，点D 是AC 边上靠近点C 的三等分点，求BD 的取值范围.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为22，一个焦点为1(2,0)F -．(1)求椭圆E 的方程和离心率；(2)设直线:20l x my --=与椭圆E 交于两点,A B ，点M 在线段AB 上，点1F 关于点M 的对称点为C ．当四边形1AF BC 的面积最大时，求m 的值．21．函数()()21ln f x x a x =-+的定义域为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，并且在定义域内恰有两个极值点1x ，()212x x x <.==，有r+则OC OS r∴该四面体外接球的表面积为故选：A.12．C【分析】首先根据函数图象求函数的解析式，根据21．(1)31,82 a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)2e1eλ<-【分析】（1）求导得到导函数，根据两个极值点得到。
2024届河北省沧州市高三上学期10月月考数学试题及答案
绝密★启用前沧州市普通高中2024届高三复习质量监测数学试卷班级__________姓名__________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24A x x =∈<N ，{}2340B x x x =∈--<Z ，则()R A B ⋂=ð（）．A ．{}0,2,3B ．{}2,3C ．{}24x x ≤<D ．{}24x x <<2．已知复数z 满足i 2i z =+，则z =（）．A ．1B ．2CD ．33．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（）．次数123456甲同学成绩/分135104108136136116乙同学成绩/分116124123120121132A ．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差B ．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩C ．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122D ．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点)Pt，且tan α=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A ．3236-B ．3326-C ．36D ．335．在()52x y ++的展开式中，3xy 的系数是（）．A ．24B ．32C ．36D ．406．已知数列{}n a 和2n n a ⎧⎫⎨⎩⎭均为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则510Sa =（）．A ．1B ．32C ．2D ．527．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，16BB BC AC ===，114A B =，点D 是AB 的中点，点E 是平面11AA C C 的中心，则点E 到平面1B CD 的距离为（）．A．5B．5C．5D．58．已知函数()2ln f x x ax x =--，定义域为1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在其定义域中任取1x ，2x （其中12x x >）都满足()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，则实数a 的取值范围为（）．A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(],e -∞D ．[),e +∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知0a >，0b >，且111a b+=，则下列说法正确的有（）．A ．8ab ≥B ．4a b +≥C ．228a b +≥D ．49a b +≥10．已知椭圆222:12x y C m +=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）．A ．26m =B ．椭圆C 的离心率为3C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN △的周长为11．如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为π2，则下列结论正确的是（）．A ．2ω=B ．π5π,88⎡⎤⎢⎣⎦是()f x 的一个单调递增区间C ．函数()f x 图象的对称中心为点ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．函数tan y x =的图象可由函数()f x 的图象先向右平移π8个单位长度，各点的横坐标再伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的12得到12．现有内部直径为3的球型容器，则以下几何体能够放入该球型容器内的为（）．A ．棱长为2的正方体B ．底面为半径为1的圆，高为2的圆柱体C 的正四面体D ．三棱锥P ABC -，其中2AC BC AB ===，PA PB -=，平面PAB ⊥平面ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a = ，(),1b m = ，满足a b a b +=-，则m =__________．14．某班级数学课上教师随机地从学生甲、乙、丙、丁中选取一名学生回答问题，据了解学生甲、乙、丙、丁答对此题的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6．则此题答对的概率为__________；在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率为__________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF 的斜率为33，则该双曲线的离心率为__________．16．已知数列{}n a 满足以下规律：12，212，222，232，312，322，…，372，…，12n ，22n ，32n ，…，212n n -，…，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则247S =__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．（1）若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；（2）现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为12，王同学每道试题答对的概率均为23，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X 为两名同学在考试过程中合格的人数，求X 的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()121n n S na n n +=-+．（1）证明：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若11a =，43n n b S n=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：2n T <．19．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2c A a b =+．（1）求C ；（2）若sin b A =c 的最小值．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD CD ⊥，22AD BC ==，CD =，PB =．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）棱PC 上是否存在点M ，使得二面角M AB D --的大小为45︒，若存在，求出MB 的长；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>过点()1,p ，直线l 与该抛物线C 相交于M ，N 两点，过点M 作x 轴的垂线，与直线y x =-交于点G ，点M 关于点G 的对称点为P ，且O ，N ，P 三点共线．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()2,0Q 作QH l ⊥，垂足为H （不与点Q 重合），是否存在定点T ，使得HT 为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）证明：()15202xf x x e -⎛⎫--> ⎪⎝⎭．沧州市普通高中2024届高三复习质量监测数学参考答案题号123456789101112答案BCCBDBCABCDACADBCD1．B【解析】根据题意，集合{}0,1A =，集合{}0,1,2,3B =，所以(){} R 2,3A B ⋂=ð，故选B ．【命题意图】本题考查集合的基本运算、不等式的求法，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．2．C【解析】根据题意，i 2i z =+，所以()()()2i i 2i 12i i i i z +-+===-⋅-，故12i z =-=C ．【命题意图】本题考查复数的相关知识，对学生的计算能力及对定义的理解进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．3．C【解析】根据题意分析，对于选项A ，甲同学成绩的极差为13610432-=，乙同学成绩的极差为13211616-=，所以选项A 错误；对于选项B ，甲同学的平均成绩为135104108136136116122.56+++++=，乙同学的平均成绩为116124123120121132122.676+++++≈，所以选项B 错误；对于选项C ，甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为1211231222+=，所以选项C 正确；对于选项D ，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以选项D 错误．故选C ．【命题意图】本题考查统计中样本数字特征的运算与应用，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数据分析、数学运算等数学核心素养．4．B【解析】根据题意，tan α==，所以2t =，所以sin 3α=，cos 3α=，π1cos 332326α-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故选B ．【命题意图】本题考查三角函数的定义与运算，对学生的理解能力、计算能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．5．D【解析】根据题意，3xy 的项为13313541240C xC y C xy ⨯=，故选D ．【命题意图】本题考查二项式定理知识与运算，对学生的分析能力及对二项式定理的深度理解进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．6．B【解析】根据题意，设等差数列()11n a a n d =+-，又()22111n n a n d dn a d=+-+-是关于n 的一次式，可得1a d =，所以()111n a a n d a n =+-=，则5111101253102S a a a a a +++==L ，故选B ．【命题意图】本题考查数列的函数特征，对学生的理解能力、分析能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．7．C【解析】根据题意，连接1AC ，点E 在1AC 上，可以证明1AC ∥平面1B CD ，所以点E 到平面1B CD 的距离等价于点A 到平面1B CD 的距离，设点E 到平面1B CD 的距离为d ，利用等体积法可得11A B CD B ACD V V --=，即111633B CD ACD d S S ⋅⋅=⋅⋅△△，又ACD S =△，CD =，1B D =1B C =，所以1B CD S =△3105d =，故选C ．【命题意图】本题考查空间几何体中的距离问题，对学生的空间想象能力、计算能力进行考查，考查直观想象、数学运算等数学核心素养．8．A【解析】根据题意，()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，则()()212121f x f x x x x x +<+，由于1x ，2x 为函数定义域内任取的两个数，且12x x >，所以函数()()f x h x x x=+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，函数()()ln 1f x xh x x ax x xx=+=--+，则()21ln 10x h x a x -'=-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则21ln 1x a x -+≥，设函数()21ln 1x g x x -=+，则()332ln 0x g x x-+'=<，所以()()min 1g x g e ==，故1a ≤，故选A ．【命题意图】本题考查函数与导数的应用，考查学生对函数结构的理解与应用，对学生的函数构造能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查数学抽象、数学运算等数学核心素养．9．BCD【解析】根据题意，已知2112a ba b+≤≤≤+，根据111a b+=，可得211a b≤+2≥，所以4ab≥，故选项A不正确；由2112a ba b+≤+，得4a b+≥，故选项B正确；由211a b≤+2≥，则228a b+≥，故选项C正确；又()114145494a ba b b aa b⎛⎫⎛⎫+=+++≥+=⎪⎝⎭⎝⎭+，故选项D正确．故选BCD．【命题意图】本题考查基本不等式的应用，对学生关于基本不等式的记忆、理解和应用进行了考查，考查数据分析、数学运算等数学核心素养．10．AC【解析】根据题意，因为焦点在y轴上，所以224m-=，则26m=，故选项A正确；椭圆C的离心率为3cea===，故选项B不正确；根据点差法的结论可得632l OPk k⋅=-=-，所以3lk=-，所以直线l的方程为11322y x⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即320x y+-=，故选项C正确；因为直线l过1F，所以2F MN△的周长为4a=D不正确，故选AC．【命题意图】本题考查椭圆的基本性质，直线与椭圆之间的关系与综合问题，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．11．AD【解析】根据题意，当0x=时，()π02tan24f==，又因为ABC △的面积为π2，所以12π22ABC S AB =⨯⨯=△，则2πAB =，所以函数()f x 的最小正周期为π2，可得ππ2ω=，则2ω=，可得()2tan 2π4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选项A 正确；由ππππ2π422k x k <+<+-+，k ∈Z ，则3822πππ8πk k x -+<<+，k ∈Z ，所以当1k =时，π5π88x <<，故选项B 不正确；由ππ242k x +=，k ∈Z ，则ππ48k x =-，k ∈Z ，故选项C 不正确；将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度，可得2tan 2y x =的图象，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可得tan y x =的图象，故选项D 正确．故选AD ．【命题意图】本题考查正切函数的图象与性质，对学生的数形结合能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查了直观想象、数学运算等数学核心素养．12．BCD【解析】根据题意，对于A ，该几何体的外接球直径为3>，A 不正确；对于B 32=<，B 正确；对于C ，该几何体的外接球半径为342=，C 正确；对于D ，设该几何体的外接球半径为R ，如图，点D 为线段AB 中点，点E 为ABC △中心，所以2CE DE =，点F 为PAB △的外心，且在线段PD 上，设DF OE x ==，又23223AE DE OF ===，PO OA R ==，PF PD DF x =-=，222AO OE AE =+，222PO OF PF =+，计算可得322R =<<，D 正确，故选BCD ．【命题意图】本题考查从实际问题出发判断几何体之间的关系，对学生空间想象能力和计算能力进行了考查，考查直观想象、数学建模等数学核心素养．13．2-【解析】根据题意，a b a b +=- ，则0a b ⋅= ，所以20a b m ⋅=+= ，则2m =-．【命题意图】本题考查向量的运算、向量的模、向量的坐标表示及运算，对学生的向量定义与几何意义的理解、计算能力与分析能力进行了考查，考查数学运算的数学核心素养．14．0.750.2【解析】根据题意，此题答对的概率为0.250.90.250.80.250.70.250.60.75⨯+⨯+⨯+⨯=；设事件A ：此题答错，事件B ：由乙回答此题，所以()()()0.250.20.20.250.10.250.20.250.30.250.4P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯+⨯+⨯．【命题意图】本题考查实际问题中的概率问题、计数原理、条件概率，对学生的计算能力、分析能力、实际问题的解决能力进行了考查，考查数学运算、数学建模、逻辑推理、数据分析等数学核心素养．15．2【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，所以设点P 的坐标为00,b x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为1OP OF =，可得点P 的坐标为(),a b ，又因为直线1PF 的斜率为3，所以3b ac =+a c =+，两边平方得22232b a c ac =++，所以可得2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，即()()210e e -+=，所以2e =．【命题意图】本题考查圆锥曲线中的双曲线的基本性质，双曲线中的离心率的运算，对学生的数形结合能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查直观想象、数学运算等数学核心素养．16．123.5【解析】根据题意，各分母相同的项的个数分别为1，3，7，…，21n -，所以项数之和为()1231212212121212224712n n n n n +--+-+-++-=-=--=-L ，解得7n =．数列()()12112112321122222222n n n n n n n n n --+--++++==-L ，所以016247111222123.5222S =-+-++-=L ．【命题意图】本题考查数列综合问题，对学生的计算能力、分析能力进行了考查，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．17．解：（1）设事件A 为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则有()21783152465C C P A C ==．（3分）（2）设张同学、王同学答对的题数分别为Y ，Z ，张同学在考试中合格的概率为()()()213023331111122322222P Y P Y P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，王同学在考试中合格的概率为()()()21302333212120223333327P Z P Z P Z C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（5分）由题意得X 可取0，1，2，则()120701122754P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12012011112272272P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12010222727P X ==⨯=，（8分）所以X 的分布列为X012P 754121027因此X 的数学期望()7110670125422754E X =⨯+⨯+⨯=．（10分）【命题意图】本题考查统计学中的概率问题、分布列与期望的问题，对学生的理解能力、计算能力、分析能力进行了考查，考查数据分析、数学建模、数学运算等数学核心素养．18．解：（1）根据题意，()121n n S na n n +=-+，所以()()121n n n S n S S n n +=--+，则()()1121n n nS n S n n +-+=+，所以121n n S S n n +-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（5分）（2）因为n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以()11221n S n n n=+-⨯=-，所以22n S n n =-，（8分）所以()42112311n n b S n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，（10分）所以11111221222222311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．（12分）【命题意图】本题考查数列的综合型问题，等差数列，辅助数列，裂项相消法求和，有关数列的不等式判断，对学生的计算能力、分析能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．19．解：（1）由正弦定理，得2cos 2c A a b =+，即2sin cos sin 2sin C A A B =+，（2分）所以()2sin cos sin 2sin C A A A C =++，可得1cos 2C =-，（4分）又()0,πC ∈，所以2π3C =．（5分）（2）根据题意，sin b A =sin 44sin 2b A C =⨯=，（7分）由正弦定理得4ab c =，（8分）根据佘弦定理可得222222cos 312c a b ab C a b ab ab c =+-=++≥=，所以12c ≥，（11分）当且仅当a b =时，等号成立，所以c 的最小值为12．（12分）【命题意图】本题考查利用正、余弦定理解三角形的综合问题，在以解三角形为背景的环境下，利用基本不等式或函数求解最值，对学生的计算能力、分析能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、数学运算等数学核心素养．20．解：（1）证明：如图，取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，∵PAD △为正三角形，2AD =，∴PK =．∵底面ABCD 为直角梯形，CD =，∴BK =又PB =PK BK ⊥．（2分）又PK AD ⊥，BK AD K ⋂=，BK ，AD ⊂平面ABCD ，∴PK ⊥平面ABCD ．∵PK ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（4分）（2）如图，以K 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(P ，()1,0,0A，()B，()C -，（6分）设()01PM PC λλ=≤≤，得()M λ-，∴(1,,MA λ=+-，()AB =- ，设平面MAB 的法向量为(),,m x y z =，由00m MA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得()100x y z x λ⎧++-=⎪⎨⎪-=⎩，令3x =，则y =，1z λ=-，∴1m λ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ，由题意知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，（8分）∴cos ,2n m n m n m ⋅== ，解得12λ=或32λ=（舍），（10分）∴1,,222M ⎛- ⎪⎝⎭，∴2MB ==，∴棱PC 上存在点M ，使得二面角M AB D --的大小为45︒，且2MB =．（12分）【命题意图】本题考查空间几何体中的面面垂直问题，以二面角为背景的存在性问题，对学生的计算能力、空间想象能力、化归转化能力进行了考查，考查数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养．21．解：（1）因为抛物线()2:20C y px p =>过点()1,p ，所以22p p =，所以2p =，（3分）所以抛物线C 的方程为24y x =．（4分）（2）设点211,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立214y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得2211,44y y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（5分）又因为点M 关于点G 的对称点为P ，所以点22111,42y y P y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由O ，N ，P 三点共线，可得ONOP k k =，即21122212244y y y y y --=，化简得()121220y y y y ++=，（7分）设直线l 的方程为x my n =+，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my n --=，可得124y y m +=，124y y n =-，（8分）代入()121220y y y y ++=，可得840m n -=，可得2n m =，（9分）所以直线l 的方程：x my n =+，即2x my m =+，则()2x m y =+，（10分）所以直线l 过定点()0,2E -，（11分）所以点H 的轨迹是以EQ 为直径的圆（除去E ，Q 两点），圆心为()1,1-，半径为，所以存在定点()1,1T -，使得HT．（12分）【命题意图】本题考查圆锥曲线中抛物线的方程、性质以及直线与抛物线之间的关系等综合问题，对学生的计算能力、图形分析与转化能力进行了考查，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养．22．解：（1）根据题意，()ln 1f x x '=+，()0,x ∈+∞，（1分）所以()11f '=，又()10f =，（2分）所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-．（4分）（2）要证明()15202x x e f x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即证15ln 22x x x x e -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由（1）可得ln 1x x x ≥-，（6分）所以只需证明15122x x x e -⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令11t x =->-，即证()1412t t t e ->-，即证2410t te t -+>，（8分）设()241t h t te t =-+，则()()214t h t t e '=+-，()()220t h t t e ''=+>，所以()h t '单调递增，()020h '=-<，()1440h e '=->，所以()h t '有零点0t ，且001t <<，()00h t '=，即()002140tt e +-=，所以函数()h t 在()01,t -上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()0200000min 0142411t t t h t h t t e t t +-==-+=+，又1213402h e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0102t <<，所以200140t t +->，故()()2000min 01401t t h t h t t +-==>+，所以，原不等式成立．（12分）【命题意图】本题考查函数与导数中的恒成立问题，对学生的问题分析能力、化归转化能力进行了考查，考查数学抽象、数学运算等数学核心素养．。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
四川省仁寿2025届高三上学期10月月考数学试题含答案
25届高三10月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{}1,0,1,2A =-，集合{B x y ==，则集合A B = （）A.{}1,0,1,2- B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】由二次根式有意义的条件化简集合B ，结合交集的概念即可得解.【详解】集合{}1,0,1,2A =-，集合{{}1B x y x x ===≥，则集合{}1,2A B = .故选：D.2.平面向量()1,2a = ，(),2b m =- ，若()a ab ⊥-，则实数m =（）A.9-B.9C.7- D.7【答案】B 【解析】【分析】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数.【详解】由()a a b ⊥- ，可知()0,a a b ⋅-= ，()()1,2,1,4a a b m =-=-，即1240m -+⨯=，9m =故选：B3.已知二项式()51ax +的展开式中3x 的系数是80-，则实数a 的值为（）A.4- B.4C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】由二项式定理可列方程求解参数a .【详解】因为二项式()51ax +的展开式中3x 的系数是80-，所以335C 80a =-，解得2a =-.故选：C.4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布()278,4N ．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（）参考数据：若()2~,N ημσ，则)()0.6826P X μαμα-<<+=，()220.9544P X μαμα-<<+=，()330.9974P X μαμσ-<<+=．A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意78,4,903μσμσ===+，所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为10.9974100%0.13%2-⨯=.故选：A.5.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()5f x f x +=，()15f =，则()2024f =（）A.5-B.5C.2024- D.2024【答案】A 【解析】【分析】根据周期性和奇偶性求解即可．【详解】由()()5f x f x +=得，())2024(1f f =-，又因为()f x 为R 上奇函数且()15f =，所以()2024(1)(1)5f f f =-=-=-，故选：A ．6.高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：温度x （℃）6810病毒数量y （万个）302220由上表中的数据求得回归方程为ˆˆy bxa =+，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（）参考公式：()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆy bx a =+A.12 B.10 C.9 D.11【答案】C 【解析】【分析】设回归方程ˆˆy bxa =+，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程，再用方程代入温度预测病毒数量即可.【详解】y 关于x 的线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+，直线过样本中心点(),x y 由表格数据得681083x ++==，302220243y ++==，416308221020556iii x y==⨯+⨯+⨯=∑，4222216810200ii x==++=∑，故根据最小二乘原理知12215563824ˆ 2.520038ni ii ni i x ynx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，所以ˆˆ24 2.5844a y bx =-=+⨯=，即线性回归方程为 2.544ˆyx =-+；将14x =代入方程，得ˆ9y=，即可预测病毒数量为9.故选：C7.设()()224f x x ax x R =-+∈，则关于x 的不等式()0f x <有解的一个必要不充分条件是（）A.20a -<<B.2a <-或2a > C.4a > D.2a ≥【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的判别式求解“关于x 的不等式()0f x <有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.【详解】()2240f x x ax =-+<有解，即对于方程2240x ax -+=的24160a ∆=->，则2a >；可知D 选项为一个必要不充分条件.故选:D.8.体积为4的长方体1111ABCD A B C D -中11AA =，则该长方体的最小外接球表面积为（）A.9π2B.9πC.112π D.11π【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的外接球直径公式结合基本不等式即可得出最小值.【详解】设,,AB a AD b ==又因为体积为4，得出14V ab =⨯=,长方体的外接球直径为23R =≥=则长方体的最小外接球表面积为24π9πR ≥.故选：B.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．）9.设i 为虚数单位，复数z 满足()1i 2z -=，则（）A.z 的虚部为1B.2z =C.z 在复平面内的对应点位于第一象限D.22z =【答案】AC 【解析】【分析】首先求出z ，然后根据虚部的概念、模的计算公式、复数的几何意义以及复数的乘方逐一判断各个选项即可.【详解】对于A ，()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+，它的虚部为1，故A 正确；对于B ，2z ==，故B 错误；对于C ，z 在复平面内的对应点()1,1位于第一象限，故C 正确；对于D ，()221i 2i z =+=，故D 错误.故选：AC.10.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()()2f x f x =-，则（）A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()2=-+f x f xD.()f x 的一个周期为4【答案】ACD 【解析】【分析】由奇函数可得()00f =，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】对于A ，由定义域为R 且函数()f x 为奇函数，可得()00f =，A 选项正确；对于B ，由()()2f x f x =-，可得()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，B 选项错误；对于C ，由()()2f x f x =-以及奇函数性质可知()()2f x f x =--，可得()()()222f x f x f x =--=-++，即可得()()2=-+f x f x ，即C 选项正确；对于D ，根据C 中的结论可知()()24f x f x +=-+，即可得()()4f x f x =+，函数()f x 的一个周期为4，D 选项正确；故选：ACD.11.下列结论中，错误的结论有（）A.()43y x x =-取得最大值时x 的值为1B.若1x <-，则11x x ++的最大值为2-C.函数()2f x =的最小值为2D.若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b +的最小值为3222+【答案】ABC 【解析】【分析】根据二次函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C 、D.【详解】对于A ，因为()22244334333y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则函数的对称轴为23x =，所以()43y x x =-取得最大值时x 的值为23，故A 错误；对于B ，令111111y x x x x =+=++-++，若1x <-，10x +<，()10x -+>，()1121x x -+-≥+，当2x =-时取等号，所以()1121x x ++≤-+，则11131y x x =++-≤-+，则11y x x =++的最大值为3-，故B 错误；对于C ，函数()22f x ==，令2t =≥，当12t t+=时，解得1t =，不满足题意，故C 错误；对于D ，若0a >，0b >，且2a b +=，所以()121121232212222b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2b a a b=时，即2,4a b ==-时取等号，所以12a b +的最小值为32+，故D 正确.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上）12.已知函数()()()00x a x f x x b x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩的零点为3-和1，则a b +=__________．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数函数值求参计算即可.【详解】因为()()30,10f f -==,所以30,10a b -+=-=.所以3,1,a b ==所以4a b +=.故答案为：4.13.口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X 表示取出的两个球中白球的个数，则X 的数学期望()E X =______.【答案】1.2##65【解析】【分析】由题意知X 的可能取值，计算所求的概率值，写出X 的概率分布，求出数学期望值.【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X ，则X 的可能取值是0，1，2；则()023225C C 10C 10P X ⋅===，()113225C C 31C 5P X ⋅===，()203225C C 32C 10P X ⋅===，随机变量X 的概率分布为；X012P11035310所以数学期望()13312012 1.21051010E X =⨯+⨯+⨯==.故答案为：1.2.14.()12,0,x x m ∀∈，12x x ≠，都有122121ln ln 1x x x x x x ->--，则实数m 的取值范围为______.【答案】(20,e ⎤⎦【解析】【分析】把不等式122121ln ln 1x x x x x x ->--成立，转化为函数()f x 的导数小于0在 ‴㠶内恒成立，进而即可求解.【详解】不妨()1212,0,,x x m x x ∀∈<，由题意分式122121ln ln 1x x x x x x ->--转化为122112ln ln x x x x x x ->-，则1212121212ln ln x x x x x x x x x x -->，即2121ln 1ln 1x x x x -->，故函数()ln 1x f x x-=()0,x m ∈单调递增，又因为()()221ln 12ln 0x x x x f x x x⨯---==>'，解得()20,e x ∈，()20,e x ∈，()()0,f x f x '>单调递增，所以20e m <≤.故答案为：(20,e ⎤⎦.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD的中点．（1）证明：1//BD 平面ACE ；（2）求1AC 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，设AC BD O = ，连接EO ，即可证明1//OE BD ，从而得证；（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】连接BD ，设AC BD O = ，连接EO ，则O 为BD 中点，在1BDD 中，因为E 为1DD 的中点，所以1//OE BD ，又因为1⊄BD 平面,ACE OE ⊂平面ACE ，所以1//BD 平面ACE .【小问2详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2A C E C ，()12,2,2AC =-，设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，由()()2,2,0,2,0,1AC AE =-=- ，得0m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得(1,1,2).m = 设1AC 与平面ACE 所成角大小为θ，则1112sin cos ,3623m AC m AC m AC θ⋅====⨯⋅，所以1AC 与平面ACE 所成角的正弦值为23．16.已知等差数列 的公差0d >，且满足11a =，44a =.（1）求数列 的通项公式；（2）记()*11n n n b n a a +=∈⋅N ，求数列{}n b 的前2022项和n T .【答案】（1）n a n =（2）20222023【解析】【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求解通项公式.（2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为11a =，44a =，所以41141a a d -==-，所以()111n a n n =+-⨯=；【小问2详解】11111(1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++，所以数列{}n b 的前n 项和111111(1)()(1223111n n T nn n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++，所以2022T =20222023.17.“十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与A 队和客场与B 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与A 队比赛：胜的概率为12，平的概率为13，负的概率为16；客场与B 队比赛：胜的概率为14，平的概率为12，负的概率为14，且两场比赛结果相互独立．（1）求成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分的概率；（2）用X 表示成都蓉城队七月与A 队和B 队比赛获得积分之和，求X 的分布列与期望．【答案】（1）1124（2）分布列见解析，期望为3712【解析】【分析】（1）由题意可知，成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分包括3种情况，且每种情况之间是互斥事件，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果；（2）由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6，求出相应的概率，从而可求出X 的分布列与期望．【小问1详解】设事件1A =“成都蓉城队主场与A 队比赛获得积分为3分”，事件2A =“成都蓉城队主场与A 队比赛获得积分为1分”，事件3A =“成都蓉城队主场与A 队比赛获得积分为0分”，事件1B =“成都蓉城队客场与B 队比赛获得积分为3分”，事件2B =“成都蓉城队客场与B 队比赛获得积分为1分”，事件3B =“成都蓉城队客场与B 队比赛获得积分为0分”，事件C =“成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分”．则()()()()1213231111111122243424P C P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=．所以成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分的概率为1124．【小问2详解】由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6，()()111111110,1,642434626P X P X ==⨯===⨯+⨯=()()111111112,3,23624646P X P X ==⨯===⨯+⨯=()()111111114,622433248P X P X ==⨯+⨯===⨯=．所以X 的分布列为：X012346P 1241616161318所以X 的期望()11111137012346246663812E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ，y 都满足()()()f x y f x f y +=，且()0f x ≠.当0x >时，()1f x >，且()29f =.（1）求()1f ，()3f 的值；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）若对任意的R x ∈，()()()2223534f x a a f x f x -+≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()13f =，()327f =（2）证明见解析（3）23a -≤≤【解析】【分析】（1）利用赋值法可得()1f 与()3f ；（2）利用赋值法可得()01f =，且当0x <时()0f x >；（3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式22248x x a a -+≥-，即()22min 248x x a a -+≥-，根据二次函数最值可知26a a -≤，解不等式即可.【小问1详解】由()()()f x y f x f y +=，则()()()221191f f f =+==，又当0x >时，()1f x >，则()13f =，()()()()312123927f f f f =+=⋅=⨯=；【小问2详解】令0y =，则()()()00f x f x f +=⋅，即()01f =，当0x <时，0x ->，()1f x ->且()()()()1f x x f x f x +-=⋅-=，即()()10f x f x =>-，即()0f x >在R 上恒成立，由()()()f x y f x f y +=，可知()()()y f x y f f x +=，令1x x y =+，2x x =，且12x x >，即120x x ->，则()()()11221f x f x x f x =->，所以()()12f x f x >，即()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】由已知()()()()2223534349f x a a f x f x f x -+≥--=-，又由（1）得()13f =，所以()()()()()22234914948f x a a f x f f x f x -+≥-=-=-，又函数在R 上单调递增，则22248x a a x -+≥-恒成立，所以22248x x a a -+≥-恒成立，又()222482166x x x -+=-+≥，即26a a -≤，解得23a -≤≤.19.已知函数()()()ln f x ax x a a =-+∈R ．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1f x a a≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）若数列{}n a 满足21121,1n n n a a n a +==+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和．证明：221n S n >-．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫--⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]0,1．（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，（2）根据题意可得()min 1f x a a≥-，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为211ln 0a a a a -+-+≥，构造函数()211ln g a a a a a=-+-+，求导即可求解最值求解，（3）根据（2）的求解可得不等式ln 1x x ≤-和1ln 1t t ≥-，即可根据2111ln ln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1212n n a a n ++≥-，由累加法以及裂项求和即可求证.【小问1详解】当2a =时，()()()2ln 22f x x x x =-+>-，()123222x f x x x '+=-=++故当()()32,,0,2x f x f x ⎛⎫∈--< ⎪⎝'⎭单调递减；当()()3,,0,2x f x f x ∞⎛⎫∈-+> ⎪⎭'⎝单调递增．综上，()f x 的单调递减区间为32,2⎛⎫--⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，0a ≠．()()211ax a f x a x a x a x a'+-=-=>-++．①当a<0时，()f x 在(),a -+∞单调递减，由(),x f x ∞∞→+→-，不合题意；②当0a >时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，1,a a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增．由()1f x a a≥-恒成立，得()min 1f x a a ≥-．()22min 1111ln 1ln f x f a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---+=-+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即211ln 0a a a a-+-+≥．令()211ln g a a a a a =-+-+，()()3232222211121210a a a a a a g a a a a a a ---+-+-'-=-+--==<恒成立，所以()g a 在()0,∞+单调递减，且()10g =．故当(]()0,1,0a g a ∈≥，符合题意，当()()1,,0a g a ∞∈+<，不合题意．综上，a 的取值范围为(]0,1．【小问3详解】由21121,1n n n a a n a +==+，得212a =，且0n a >．由（2）可知，令1a =，有()ln 1x x ≥+可得ln 1x x ≤-，令1x t =可得11ln 1t t ≤-即1ln 1t t≥-．由2121n n n a n a +=+得1211n n a a n+=+即2111n n a a n +=+．两边取对数得2111ln ln n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上述不等式得122111111ln 11,ln 1,1n n n n n a a a a n n a +++⎛⎫≥-=-+≤+- ⎪⎝⎭于是12111n n a a n+-≤+-，所以1212n n a a n ++≥-．当1n =时，212312112S a a =+=>=⨯-，不等式成立；当2n ≥时，21234212n n nS a a a a a a -=++++++ ()222311122223521n ≥+-+-++--()()22231112123521n n ⎡⎤=+--+++⎢-⎢⎥⎣⎦ ()()11112213352321n n n ⎡⎤>--+++⎢⎥⨯⨯--⎢⎥⎣⎦ 111111121223352321n n n ⎛⎫=---+-++- --⎝⎭ ()12121221n n n =-+>--．即当2n ≥时，不等式成立．综上，221n S n >-得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
北京市人大附中2024-2025高三10月月考数学试卷及答案
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（ ） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
2023-2024学年江苏省扬州中学高三上学期10月月考数学试题及答案
高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 36. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]98. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3⨯= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++= C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞ D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +>11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；是B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求21x y+的最小值． 18. 已知函数()e 1exxa f x -=+奇函数. （1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围. 19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；的的为（2）若2c =，求2a b -取值范围． 20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC ∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm ==，正常把合页安装在家具门上时，AOC ∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC 为边长的正三角形ABC 区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC ∠=使，求OB 的长； （2）当AOC ∠为多少时，OBC △面积取得最大值？最大值是多少？ 22. 已知函数sin ()2cos xf x ax x=-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．的高三数学10月考试一、单选题1. sin1050︒=（ ）A.12B. 12-C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】()1sin1050sin 336030sin 302︒︒︒︒=⨯-=-=-.故选：B【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.2. 已知集合{}210xA x =->，{}2230B x x x =+-<，则A B = （ ） A. ()0,3 B. ()0,1C. ()3,-+∞D. ()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】先将集合A 和集合B 化简，再利用集合的交集运算可得答案. 【详解】210x -> ，即0212x >=， 由指数函数的单调性可得，0x >，{}0A x x ∴=>，由2230x x +-<，解得31x -<<，{}31B x x ∴=-<<， {}()010,1A B x x ∴⋂=<<=.故选：B.3. 已知()f x =，则()f x '=（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．【详解】()()124f x x ==+，则()()12142f x x -'=+=．故选：D4. 已知函数()()sin R f x ax x a =-∈，则“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当1a =时，()sin x x x f =-，()1cos 0f x x '=-≥，∴()f x 在R 上单调递增，故充分性成立， 当()f x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，∴()cos 0x a x f '=-≥，即cos a x ≥，∴1a ≥，故必要性不成立， 所以“1a =”是“()f x 在区间π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B5. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3ω=，再解不等式2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得到t 的范围即得解. 【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT ω=，所以2π3ω=， 则2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0.5y >可得2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以π2π5π2π2π636k t k ϕ+<+<+，Z k ∈， 所以13533342π42πk t k ϕϕ+-<<-+，Z k ∈，故531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s. 故选：C.6. 已知α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据α为锐角，π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得到πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式得到πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后再由7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解. 【详解】αQ 为锐角，ππ2ππ4,cos 66365αα⎛⎫<+<+= ⎪⎝⎭， π3sin 65α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且2ππ7cos 22cos 13625αα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故7πππsin 2sin 21234αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2472525=+ 故选：D ．7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,]9B. 48[,]99C. 48(,99D. 8(0,]9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 当k =0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k =1时，得153232ω<<，解得101093ω<<， 综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<， 所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤. 所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题. 8. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则()181k g k ='=∑（ ）A. 18-B. 20-C. 88D. 90【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(6)f x f x =--得()()()266f x f x f x ''''=--=-⎡⎤⎣⎦，()()6f x f x ''=-①，则()f x '关于直线3x =对称.另外()2(4),()(4)2f x f x f x f x ''''=--+-=②，则()f x '关于点()2,1对称. 所以()()()()()4244226f x f x f x f x ''''+=--+=--=-+()()()()()()22462628f x f x f x f x ⎡⎤''''=---+=--=---=+⎣⎦，所以()()4f x f x ''=+，所以()f x '是周期为4的周期函数.()(3)5g x f x =-+，()(3)g x f x ''=--，则(0)(3)1g f ''=-=，由②，令2x =，得()()222,21f f ''==. 所以()()121g f ''=-=-，由②，令1x =，得(1)(3)2,(1)2(3)3f f f f ''''+==-=； 所以(2)(1)3g f ''=-=-，由①，令4x =，得()()421f f ''==；令5x =，得()()513f f ''==. 由②，令0x =，得(0)(4)2,(0)1f f f '''+==；令=1x -，得(1)(5)2,(1)2(5)1f f f f ''''-+=-=-=-， 则(3)(0)1g f ''=-=-，()()411g f '=--=；()()()5221g f f '''=--=-=-，()()()6313g f f '''=--=-=-，以此类推， ()g x '是周期为4的周期函数.所以()()()181131141320k g k ='=---+⨯+--=-∑.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如()()f a x f a x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()2f a x f x +=-，则()f x 关于直线x a =对称；如()()f a x f a x +=--，则()f x 关于点(),0a 对称；如()()2f a x f a x b +=--+，则()f x 关于点(),a b 对称.二、多选题9. 下列求解结果正确的是（ ）A.3= B. ()22lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 256+++=C. 不等式(10x -≥的解集为[)1,+∞D. 若sin 1cos 12αα=--，则1cos 1sin 2αα+= 【答案】AD 【解析】【分析】对于A 选项：把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断A 选项；对于B 选项：利用对数的运算法则化简求值可判断B 选项；对于C 选项：根据根式的定义域和值域，求不等式的解集可判断C 选项；对于D 选项：分子和分母同时乘sin α,再利用同角三角函数关系化简可判断D 选项.【详解】对于A 111111126363223243243232-⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()5151121106636622=33222332332--⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以A 选项正确；对于B 选项：()()()()2222lg 2lg 5lg 20lg 2lg 50lg 252lg 2lg 5lg 210lg 2lg 510lg 5+++=+⨯+⨯+ ()()()22lg 2lg 5lg 21lg 2lg 512lg 5=+++++ ()22lg 22lg 2lg 5lg 23lg 5=+++()()2lg 2lg 2lg 5lg 2lg 52lg 5=++++ ()2lg 2lg 513=++=，所以B 选项错误；对于C 选项：因为0y =≥且2x ≥-，当2x =-时取等号，则(10x -≥，即210x x >-⎧⎨-≥⎩或2x =-，解得：1x ≥或2x =-，所以不等式(10x -≥的解集为{}[)21,-+∞ ，所以C 选项错误； 对于D 选项：若sin 1cos 12αα=--，则cos 1α≠且sin 0α≠，即()()()()()221cos 1cos sin 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 2αααααααααααα-+-+===-=----，所以1cos 1sin 2αα+=，所以D 选项正确.故选：AD.10. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确的是（ ） A. 若sin sin A B >，则A B >B. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形C. 若10a =，8b =，60A =︒，则符合条件的ABC 有两个D. 对任意ABC ，都有cos cos 0A B +> 【答案】ABD 【解析】【分析】由正弦定理边角转化可判断A ；根据两角和的正切公式结合三角形内角和定理可判断B ；由正弦定理及三角形性质可判断C ；由三角形内角性质及余弦函数单调性可判断D. 【详解】对于A 选项，由sin sin A B >，根据正弦定理得22a br r>，（r 为ABC 外接圆半径），即a b >，则A B >， 故A 正确；对于B ，()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-，所以()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-，所以()tan tan tan 1tan tan tan tan 0tan tan tan A B C A B C A C B C +-=++=>， 所以tan ,tan ,tan A B C 三个数有0个或2个为负数，又因,,A B C 最多一个钝角， 所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即,,A B C 都是锐角， 所以ABC 一定为锐角三角形，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin sin 1b A B a ===<， 又b a <，则60B A <= ，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，因为πA B +<，所以0ππA B <<-<，又函数cos y x =在()0,π上单调递减， 所以()cos cos πcos A B B >-=-，所以cos cos 0A B +>，故D 正确； 故选：ABD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xf x a b --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxx a b f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxx a b f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e =e e =e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin A B C =，则下列说法正确的是（ ）A. 2222tan 2b c a A a+-= B. 212ABC S a = C.sin sin sin sin B CC B +有最大值 D. 245a bc ≤【答案】BCD 【解析】【分析】由条件及正弦定理得，2sin a bc A=，再由正、余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的最值等知识逐一判断选项即可．【详解】由sin sin sin A B C =及正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin a bc A=， 对于A 选项：22222222cos 2cos cos sin tan 222sin a A b c a bc A A A Aa a a A+-===≠，故A 错误； 对于B 选项：22111sin sin 22sin 2ABCa S bc A A a A ==⨯⨯= ，故B 正确； 对于C 选项：222sin sin 2cos sin sin B Cbc b c a bc AC B c b bc bc+++=+==sin 2cos sin 2cos )bc A bc A A A A bcϕ+==+=+，其中sin ϕϕ==∴sin sin sin sin B CC B+C 正确； 对于D 选项：因为2sin a bc A =，222b c bc +≥,当且仅当b c =时取等号.所以222sin cos 1022b c a AA bc +-=≥->，两边平方得：22sin cos 1sin 4AA A ≥+-，又22cos 1sin A A =-，化简得：sin (5sin 4)0A A -≤，且(0,π)A ∈，sin (0,1]A ∈,解得4sin 0,5A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以24sin 5sin bc A a bc bc A ==≤，即245a bc ≤成立，故D 正确.故选：BCD ．三、填空题13. 若函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，则实数m 的取值范围是________________．【答案】(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】根据对数函数值域列不等式，从而求得m 的取值范围. 【详解】依题意，函数()2lg 1)f x x mx -+=(的值域为R ，所以240m ∆=-≥，解得(][),22,m ∈-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),22,-∞-+∞U14. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()22x x f x a -=-⋅，当0x <时，()f x =________． 【答案】22x x -- 【解析】【分析】先根据奇函数性质求a ，然后设0x <，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以00(0)220f a =-⋅=，解得1a =.的设0x <，则0x ->，所以()22x x f x --=-， 又()f x 为奇函数，所以()()22x x f x f x -=--=-， 即当0x <时，()22x x f x -=-. 故答案为：22x x --15. 已知lg lg lg 5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.【答案】10或110【解析】【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果. 【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5a b c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =. 故答案为：10或110. 16. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin A a B +=，则ABC 周长的取值范围为______.【答案】+【解析】【分析】由正弦定理及已知可得sin A =，结合锐角三角形得π3A =、ππ62B <<，再由正弦边角关系、三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=+，即可求范围.【详解】由sin sin a bA B=，则sin sin a B b A =，故sin sin 4sin A b A A +==，所以sin A =，又ABC 为锐角三角形，则π3A =，且π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则ππ62B <<，而sin sin sin a b c A B C ==，则sin sin b A a B ==2π3sin()sin 3sin sin B b C c B B -==32=+，所以22cos 91cos 99122sin 222sin cos tan 222B B a b c B B B B +++===+，又ππ1224B <<，且ππtan tanπππ34tan tan(2ππ12341tan tan 34-=-==+，所以tan (22B ∈-，则912tan 2a b c B ++=+∈+.故答案为：+. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得912tan 2a b c B ++=，再求出角B 的范围，利用正切函数的值域即可得到答案.四、解答题17. 已知0x >，0y >，且21x y +=． （1）求xy 的最大值；（2）求21x y+的最小值．【答案】（1）18（2）8 【解析】【分析】（1）由基本不等式得到2x y +≥，从而求出18xy ≤； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.小问1详解】【因为0x >，0y >，由基本不等式得2x y +≥，即1≥18xy ≤， 当且仅当11,24x y ==时，等号成立，故xy 的最大值为18； 【小问2详解】因为0x >，0y >，21x y +=，故()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即11,24x y ==时，等号成立，故21x y +的最小值为8. 18. 已知函数()e 1e xxa f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）若存在实数t ，使得()()22220f t t f t k -+->成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =求解即可.（2）首先利用根据题意得到()()2222f t t f t k ->-+，利用单调性定义得到()f x 是R 上的减函数，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】因()f x 定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a = 当1a =时，()1e 1e xx f x -=+， 所以()()1e e 11e e 1x x xx f x f x -----===-++，所以1a = 【小问2详解】()()22220f t t f t k -+->可化为()()2222f t t f t k ->--，因为()f x 是奇函数，所以()()()2222f t t f t k->-+*为又由（1）知()1e 211e 1ex x xf x -==-+++， 设12,x x ∈R ，且12x x <，则()()()()()211212122e e 221e 1e 1e 1e x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为12x x <，所以21e e 0x x ->，11e 0x +>，21e 0x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >故()f x 是R 上的减函数， 所以（*）可化为2222t t t k -<-+.因为存在实数t ，使得2320t t k --<成立， 所以4120k ∆=+>，解得13k >-.所以k 的取值范围为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭19.在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且____． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围． 【答案】（1）π3（2）()2,4- 【解析】【分析】（1）选①利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出π3C =，选②利用正弦定理和余弦定理求出π3C =，选③利用面积公式和余弦定理求出π3C =．（2）利用正弦定理得,a A b B ==，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果．【小问1详解】若选①：2sin sin 2sin cos A B C B -=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，∴2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-= ∴2sin cos sin 0B C B -=∵()0,πB ∈，sin 0B ≠， ∴1cos 2C =，∵()0,πC ∈，∴π3C =.若选②：()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-， 由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-， ∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 若选③：()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△， 则()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，由正弦定理得()2221122abc c a b c =+-，∴∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,πC ∈，∴π3C =． 【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，,a A b B ==，则π23A B A A a b ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， π2cos 4sin 6A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,662A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π16sin ,12A ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪- ⎝⎭⎝-⎪⎭， ∴()22,4a b -∈-.20. 已知函数()()sin cos 2sin 22f x x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）（1）若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点； （2）若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为2-，最大值为1【解析】【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为t ⎡∈⎣时，()()22120t b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当1a =，0b =时， ())sin cos 2f x x x =+-2x x ⎫=+-⎪⎪⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()3002g =-< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数， ()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点， π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点. 【小问2详解】由（1）知，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣， ∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤()22120b t +--≤恒成立.令()()2212 t b tϕ=+--，则t⎡∈⎣时，()0tϕ≤恒成立()22120t b+--≤，()221t=-，解得t=或.当t=时，解得1a b+≤，取1a=，0b=成立，则()220tϕ=-≤=恒成立，∴()max1a b+=，当t=时，解得2a b+≥-，取43a=-，23b=-成立，则()()224412033t t tϕ⎛=---=-≤⎝恒成立.∴()min2a b+=-，综上，a b+的最小值为2-，a b+的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.21. 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，,OA OC 就是一个合页的抽象图，AOC∠可以在[]0,π上变化，其中28OC OA cm==，正常把合页安装在家具门上时，AOC∠的变化范围是π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以AC为边长的正三角形ABC区域内不能有障碍物.（1）若π2AOC∠=使，求OB的长；（2）当AOC∠为多少时，OBC△面积取得最大值？最大值是多少？.【答案】（1）BO =（2）5π6AOC ∠=，(16+cm 3 【解析】【分析】（1）根据题意利用三角比可得AC AB ==OAB 中，由余弦定理知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠即可得解；（2）设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，利用正余弦定理换算可得28064cos x α=-，248cos 16x xβ+=，代入整理可得=BOC S 16πsin 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用α的范围即可得解. 【小问1详解】如图所示，因为28cm OC OA ==，π2AOC ∠=，易知sin ∠==OAC ，cos OAC ∠=AC AB ==，在OAB 中，由余弦定理易知2222cos BO AO AB AO AB OAB =+-⋅⋅∠， 且π3OAB OAC ∠=∠+，πππcos cos cos cos sin sin 333⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭OAB OAC OAC OAC12== 在OAB 中，由余弦定理可得：所以((222424165BO =+-⨯⨯=+，解得BO =；【小问2详解】设AOC α∠=，ACO β∠=，BC AC x ==，在AOC 中，由余弦定理易知，2222cos AC AO OC AO OC α=+-⋅⋅，即22248248cos x α=+-⨯⨯⨯，28064cos x α=-①，222cos 2AC OC AO ACO AC OC+-∠=⋅，即248cos 16x x β+=②， 由正弦定理易知4sin sin x αβ=③， 将①②③代入下列式子中：21sin 2sin cos 8sin 23πBOC BC CO x S x βββα⎛⎫⋅⋅⋅+=+=++ ⎪⎝⎭=△)8sin 8064cos a α=++-8sin 16si πn 3a a α⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 则当ADC ∠时，BDC S △取最大值，最大值为(216cm +. 【点睛】思路点睛：第二问中由余弦定理得28064cos x α=-，248cos 16x x β+=，由正弦定理得4sin sin x αβ=，三式代入面积公式BOC S ，考查了学生思维能力及运算能力. 22. 已知函数sin ()2cos x f x ax x=-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若0x ∀>都有()0f x >，求a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数；（2）13a ≥. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，再判断导数值正负作答.（2）求出函数()f x 的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答.【小问1详解】当1a =时，函数sin ()2cos x f x x x=-+的定义域为R ， 的2222cos (2cos )sin 32cos cos ()10(2cos )(2cos )x x x x x f x x x ++++'=-=>++， 所以函数()f x 是R 上的增函数.【小问2详解】 函数sin ()2cos x f x ax x=-+，0x >， 求导得22212cos 32111()3()(2cos )(2cos )2cos 2cos 33x f x a a a x x x x +'=-=-+=-+-++++， 当13a ≥时，()0f x '≥，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，0x ∀>，()(0)0f x f >=，因此13a ≥； 当103a <<时，令()sin 3,0h x x ax x =->，求导得()cos 3h x x a '=-， 函数()cos 3h x x a '=-在π(0,2上单调递减，π(0)130,()302h a h a ''=->=-<， 则存在0π(0,)2x ∈，使得0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，因此当0(0,)x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，即sin ()02cos x f x ax x =-<+，不符合题意； 当0a ≤时，ππ1()0222f a =-<，不符合题意， 综上得13a ≥， 所以a 的取值范围是13a ≥. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.。
湖北省襄阳市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
福建省厦门集美中学2025届高三上学期十月月考数学试卷
福建省厦门集美中学2025届高三上学期十月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,52．函数()()2lg 31f x x ++的定义域为（ ）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭3．“2a <”是“函数()()2213f x x a x =--++在(],3-∞-上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．对任意的实数[]0,2m ∈，不等式()()230x x m --+>恒成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1x <或3x >B ．1x <或2x >C ．2x <或3x >D ．R6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是AB AC 、的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则12:V V =（ ）A ．7:5B ．4:3C ．3:1D ．2:17．已知4log 8a =，0.6log 0.4b =，2log 3c =，则（ ） A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．已知()f x 的定义域为()()()(),3f x y f x y f x f y ++-=R ，且()113f =，则20251()k f k ==∑（ ）A ．13-B ．23-C ．13D ．23二、多选题9．已知函数()lg ,0,f x x a b =<<且()()f a f b =，则（ ） A ．1ab =B ．10ab =C ．2+a b 的最小值为D ．22(1)(1)8a b +++>10．已知函数1()13xf x =+，则（ ） A ．31(log 4)5f =B ．()f x 的值域为(,1)-∞C ．()f x 是R 上的减函数D ．不等式(13)()1f x f x ++>的解集为1(,)4-∞-11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，π3BAD ∠=，12AB AA ==，E 为1CC 的中点，点F 满足1DF xDC yDD =+u u u r u u u r u u u u r（[]0,1x ∈，[]0,1y ∈），下列结论正确的是（ ）A ．若12x =，则点F 到平面1DBB B ．若1x y +=，则四面体1-A BEF 的体积是定值C ．若1A F =FD ．若1x =，12y =，则存在点1P A B ∈，使得AP PF +三、填空题12．在空间直角坐标系中，点()0,1,0A ，点()5,4,3B -，点()2,0,1C ，则AB u u u r在CA u u u r 方向上的投影向量的坐标为.13．已知函数()34,132,1x x x f x x +<⎧=⎨-≥⎩，若m n <，且()()f m f n =，则()mf n 的取值范围是.14．若关于x 的不等式()2e e ln xa x x x+≥-恒成立，则实数a 的最大值为．四、解答题15．在区间(2,1)-内，函数32()f x x ax bx =-++在1x =-处取得极小值，在23x =处取得极大值.(1)求a ，b 的值；(2)讨论()f x 在(,)-∞+∞上的单调性.16．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的焦距为.(1)求C 的标准方程；(2)若5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l ：()302x ty t =+>交椭圆C 于E ，F 两点，且AEF △，求t 的值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M 在棱CD 上且2,3CM MD AB ==，2,BC PM PD ==⊥平面ABCD ，在棱PB 上存在一点Q 满足//CQ 平面PAM ．(1)证明：平面PCD ⊥平面PBC ； (2)求平面PAB 与平面ACQ 夹角的余弦值．18．“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=”．若定义在R 上函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++．(1)求()()13f f -+的值； (2)设函数()22xg x x=-． （i ）函数()g x 的图像关于点(,)m n 对称，求,m n 的值．（ii ）若对任意[]10,2x ∈，总存在242,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉u u u r u u u r（O 为坐标原点）．(1)若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；(2)若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；(3)已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得min min (,)(,)d O P D O Q =，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．。
2024-2025学年山东省烟台市龙口一中高三(上)月考数学试卷(七)(10月份)(含答案)
2024-2025学年山东省烟台市龙口一中高三（上）月考数学试卷（七）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−4<x <4}，B ={x|x(x +3)>10}，则A ∩B =( )A. (−4,−2)B. (−2,4)C. (2,4)D. (−4,2)2.若a =(2,1)，b =(−1,2)，(2a +b )//(a−mb )，则m =( )A. −12B. 12C. 2D. −23.已知sin(π12−α)=−35，α∈[0,π2]，则cos(5π6+2α)的值为( )A. 2425B. −2425C. 725D. −7254.材料：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p =a +b +c2，这个公式被称为海伦一秦九韶公式.根据材料解答：已知△ABC 中，BC =4，AB +AC =8，则△ABC 面积的最大值为( )A. 23B. 3C. 43 D. 65.已知函数f(x)=a x−2+2(a >0且a ≠1)过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos(11π2−α)sin(9π2+α)+sin2αcos(π2+α)sin (−π−α)=( )A. 23 B. −23 C. 32D. −326.已知函数f(x)的图象在x 轴上方，对∀x ∈R ，都有f(x +2)⋅f(x)=2f(1)，若y =f(x−1)的图象关于直线x =1对称，且f(0)=1，则f(2023)+f(2024)+f(2025)=( )A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x 都有f′(x)=e −x (2x +52)−f(x)(e 是自然对数的底数)，且f(0)=1，若关于x 的不等式f(x)−m <0的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是( )A. (−e2,0)B. (−e2,0]C. (−3e4,0]D. (−3e 4,92e ]8.已知f(x)是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为f′(x)，且当x >0时，满足f′(x)+2xf(x)>0，则不等式e 1−2x f(x−1)>f(−x)的解集为( )A. (12,+∞)B. (−∞,12)C. (−∞,0)D. (0,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
上海市敬业中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(无答案)
敬业中学2024学年第一学期10月考试高三数学试卷班级 学号 成绩 姓名(完卷时间: 120分钟 满分: 150分)考生注意：1. 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3. 本试卷共21道试题, 满分 150分; 考试时间120分钟.一. 填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)1. 若集合A={x|x-1<2, x∈R},则A∩N= .2. 若复数z 满足 i z−1=12 (i 为虚数单位),则z= .3. 已知圆C :x²+y²=r²与直线3x-4y+10=0相切, 则圆C 的半径r= .4. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线： x 27−y 22=1的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 .5. 在二项式 (x 2−2x )5的展开式中，x 的一次项系数为 .(用数字作答)6. 已知一个圆柱的高为1，底面半径 3₃，则它的侧面积的大小为7. 若α为第四象限角，且 sin α=−13,则tan α的值是 .8. 函数 f (x )=sin π2x,x ∈[π2,π]的严格增区间为 .9.如图: 在△ABC 中, 若 AB =AC =3,cos ∠BAC =1,DC 2BD ,则AD ⋅BC =¯.10. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为 .11. 设a>0,函数f(x)=x+2(1-x) cos( ax), x∈(0,1),若函数y=2x-1与. y =f (x )的图像有且仅有一个公共点，则a 的取值范围是 .12.已知a∈R，若存在定义域为R 的函数y=f(x)同时满足下列两个条件(1) 对任意 x 0∈R,f (x 0)∈{x|x =x k 0,k ∈N ∗};(2) 关于x 的方程f(x)=a 无实数解;则a 的取值范围为 .二. 选择题(本题共有4题,满分 18分, 第13、14每题4分, 第15、16每题5分)13. 已知a、b∈R,若a<b, 则( )A. a<2bB.a³<b³C.ab<b²D.a⁻¹<b⁻¹14. 关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是 ( )A. 若l∥α,α∩β=m,则l∥mB. 若l∥α,m∥α,则l∥mC. 若l⊥α,m∥α,则l⊥mD. 若l∥α,m⊥l,则m⊥α15.“x=kπ+π4(k∈Z)”是“ tanx=1”成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 已知函数f(x)的定义域为D, 值域为A, 函数f(x)具有下列性质:(1) 若x,y∈D,则f(x)f(y)∈A;(2) 若x,y∈D,则f(x)+f(y)∈A.下列结论正确的是 ( )①存在x∈D,使得.f(x)=2021 2020;②对任意x∈D,都有.f²(x)∈A;A. ①②都正确B. ①正确、②不正确C. ②正确、①不正确D. ①②都不正确三. 解答题(本大题共有5题，满分78分)17. (本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分)如图, 四棱锥P-ABC中, PA⊥面ABCD, AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4, M为线段AD上一点,AM=2MD, N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.18. (本题共2小题, 其中第1小题6分, 第2 小题8分, 满分 14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a=3,b=2c.(1)若A=2π3,求△ABC的面积；(2)若2sinB−sinC=1,求 sinA.19. (本题共2小题, 其中第1小题6分, 第2小题8分, 满分14分)已知双曲线C以.F₁(−2,0)、F₂(2,0)为焦点, 且过点P(7,12).(1) 求双曲线C 与其渐近线的方程；(2) 若斜率为1的直线l与双曲线C 相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).求直线l的方程.20.(本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分18分)已知函数f (x)=ax+a−1x2+a,其中a是常数.(1)若a>0, 判断函数f(x)的奇偶性, 并说明理由;(2)若a≥1,且函数f(x)在(1,+∞)严格单调减, 求实数a的最大值;(3)若f(1)=12,且不等式f(t t2+1)+f(cosθ4)≥0对一切实数θ恒成立，求实数t的取值范围.21.(本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分)若函数f'(x)=υ,x∈R的导函数y=f'(x),x∈R是以T(T≠0)为周期的函数, 则称函数y=f(x),x∈R具有“T性质”.(1)试判断函数.y=x²和y=sinx是否具有“2π性质”，并说明理由；(2)已知函数y=h(x), 其中/ℎ(x)=ax²+bx+2sinbx(0<b<3)具有“π性质”, 求函数y=h(x)在[0，π]上的极小值点；(3)若函数y=f(x),x∈R具有"T性质", 且存在实数M>0使得对任意x∈R都有|f(x)|<M成立, 求证: y= f(x),x∈R为周期函数.(提示: 若函数y=f(x),x∈R的导函数满足f'(x)=0,x∈R,则f(x)=C (常数).。
江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案
（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。
十月高三月考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图象开口向上，对称轴为$x = -1$，且过点$(2, 3)$，则下列选项中正确的是（）。
A. $a = 1, b = -2, c = 3$B. $a = 1, b = 2, c = 3$C. $a = -1, b = -2, c = 3$D. $a = -1, b = 2, c = 3$2. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 50$，$S_9 = 90$，则$a_7$的值为（）。
A. 5B. 10C. 15D. 203. 下列命题中正确的是（）。
A. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$B. 若$a^2 > b^2$，则$a > b$C. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$D. 若$a^2 > b^2$，则$a > |b|$4. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$y = x$的对称点为（）。
A. $(2, 1)$B. $(1, 2)$C. $(-2, -1)$D. $(-1, -2)$5. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z + 1| = |z - 1|$，则$\operatorname{Im}(z)$的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$的定义域为______。
7. 等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为______。
8. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x) = ______。
2024-2025学年广西南宁二中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广西南宁二中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+ii ，其中i 为虚数单位，则|z|=( )A. 12B.22C.2 D. 22.已知向量a =(1,3)，b =(t,1)，若(a−b )//b ，则实数t 的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.函数f(x)=x 3+e x −ax 在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin (x +π2)，g(x)=cos (x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y =f(x)⋅g(x)的最小正周期为πB. 函数y =f(x)⋅g(x)的最大值为12C. 函数y =f(x)⋅g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)−1为奇函数，f(x +2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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安徽省滁州中学高三月考数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数ii 3223-+等于（ ）A ．iB ．i -C ．i --1D ．i -12．若全集为实数集R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=2log|31x x M ，则M C R 等于（ ）A ．),91(+∞B ．),91(]0,(+∞-∞ C ．),91[]0,(+∞-∞D ．),91[+∞3．若动点P 到定点F （1，－1）的距离与到直线01:=-x l 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 4．在等比数列{n a }中，若232a a +=，12133a a +=，则2223a a +的值是 （ ）A ．94B ．49C ．92D ．295．甲、乙两个小组各5名同学在某次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若x 甲、x 乙分别表示甲、乙两个小组5名同学的平均成绩，则下列结论正确的是 （ ）A ．x 甲>x 乙，且甲组比乙组成绩整齐B ．x 甲>x 乙，且乙组比甲组成绩整齐C ．x 甲<x 乙，且甲组比乙组成绩整齐D ．x 甲<x 乙，且乙组比甲组成绩整齐6．在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若B E m A B n A C =+，则m n +的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-7．上海浦东新区2008年的生产总值约为6 5 3 00 2 4 6 4 1甲 乙 7 893151亿元人民币，如果从此浦东新区生产 总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早 哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？ 某同学为解答这个问题设计了一个程序框图， 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到 的内容应是 （ ）A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()n a a b =+D ．n a a b =⨯8．函数],0[(1cos sin )(π∈++=x x x x x f 的最大值为 （ ）A ．12+πB ．2C ．1D ．09．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、 10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、 9、16……这样的数称为“正方形数”。
如图可 以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可 以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为 （ ） A ．13=3+10 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．49=18+31 10．双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点),0(b BBF AB b B ⊥且),0(，则此双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．213+D ．215+第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．命题“任意R x ∈，44≤+xx ”的否定是 。
12．已知A B C ∆的三边长分别为3A C =，4B C =，5A B =，在A B 边上任选一点P ，则90APC ∠< 的概率是13．若关于x 的方程3()322x a =-有负数根，则函数log (23)a y x =+在区间[1，4]4=1+3 9=3+6 16=6+10上的最大值是 ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤001),(y x y x y y x 满足，求y x 2123+的最大值是 。
15．若奇函数))((R x x f ∈满足10(),2()()2(,1)1(f f x f x f f 则+=+=，)10(),2()()2(,1)1(f f x f x f f 则+=+== 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知.sin 2sin sin ,12C B A ABC =++∆且的周长为（1）求边AB 的长；（2）若的ABC ∆的面积为,sin 61C 求角C 的度数。
17．（本小题满分12分）设函数)0(211)(≥+-+=a ax x nx x f（1）当)(,0x f a 求时=的单调区间； （2）若.,21]1,0()(的值求上的最大值为在a x f18．（本小题满分12分） 某班数学兴趣小组对人们的休闲方式做了一次调查，女性中有18人（记为A 组）主要的休闲方式是运动，另外36人（记为B 组）主要的休闲方式是看电视；男性中有36人（记为C 组）主要的休闲方式是运动，另外24人（记为D 组）主要的休闲方式是看电视。
（1）根据以上数据完成2× 2列联表；判断休闲方式与性别是否有关系。
（2）为了交流运动对人身心健康的影响，采用分层抽样的方法从A 、B 、C 三个小组抽取5人参加座谈。
座谈结束后，从这5人中随机抽取2人对座谈材料整理汇总，求抽取的2人全是女性的概率。
19．（本小题满分13分） 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ，PD=AB=2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点。
（Ⅰ）求证：PA ∥平面EFG ； （Ⅱ）求三棱锥P —EFG 的体积。
20．（本小题满分13分）已知圆01634),(16)()4(:22=--*∈=-+-y x N m m y x C 直线过椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax E 的右焦点，且交圆C 所得的弦长为532，点)1,3(A 在椭圆E 上。
（Ⅰ）求m 的值及椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AQ AC ⋅的取值范围。
21．已知x x f 2log )(=,若42 )()()(221+⋯n a f a f a f n ，，，，，…（*N n ∈）成等差数列.(1)求数列)}({*∈N n a n 的通项公式；(2)设)(k g 是不等式)(32)3(log log 22*∈+≥-+N k k x a x k 整数解的个数，求)(k g ；(3)在(2)的条件下，设)1()(21+=+n g n g b n n ，试求数列}{n b 的前n 项和n S安徽省滁州中学高三月考数学（文）试卷答案一、选择题： A B A C B D B A C D 二、填空题：11．存在4||4||,>+∈x x x R 12．1625 13．log 11a 14．2 15．10 三、解答题：16．（本小题满分12分）（I ）由题意及正弦定理，得AB AC BC AC BC AB 2,12=++=++，两式相减，得AB=1。
………………6分 （II ）由,sin 61sin 21C C AC BC ABC =⋅⋅∆的面积得.31=+AC BC 由余弦定得，得,2122)(2cos 22222=⋅-⋅-+=⋅-+=BCAC ABBC AC BC AC BCAC ABBCACC所以.60 =C ………………12分 17．（本小题满分12分） 解：对函数求导得：a x x x f +--='2)2(11)(，定义域),2()2,0(+∞ ……2分（I ）当 )2()4)(1(,0)2(11)(,022=---=--='=x x x x x x x f a 得令时0)2()4)(1(,0)2(11)(,022=---=--='=x x x x x x x f a 得令时0)2()4)(1(,0)2(11)(,022=---=--='=x x x x xx f a 得令时…………4分 为减区间和当为增区间和当6.0)(),4,2()2,1(0)(),,4()1,0( <'∈∈<'+∞∈∈x f x x x f x x >0 为减区间和当为增区间和当6.0)(),4,2()2,1(0)(),,4()1,0( <'∈∈<'+∞∈∈x f x x x f x x增区间为（0,1）和（4，+∞），减区间为（1,2）和（2,4）…………6分 （II ）当0)2(11)(],1,0(2>+--='∈a x xx f x 为单调递增.23,211)1()(max =∴=-==a a f x f ………………12分18．解：（1）2× 2的列联表：假设“休闲方式与性别无关”635.6107.860546054)18243636(11422>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有99%以上的把握认为“休闲方式与性别有关”。
（2）A,B,C 三组的总人数为18+36+36=90，样本空量与总体中个体数的比为,181905=所以从A 、B 、C 三组抽取的人数分别为1、2、2设从A 组抽得的1人记为A ，从B 组抽得的2人记为B 1，B 2，从C 组抽得的2人记为C 1 ,C 2，从这5人中随机抽取2名，所有可能的结果是： )(21B A B A ，）（，)(21C A C A ，）（，)(21B B ，)(11C B ，)(21C B ，)(12C B ，)(22C B ，)(21C C ，共有10种，其中全是女性的结果有)(21B A B A ，）（，)(21B B ，，共3种，所以所求事件的概率310P =。
19．（本小题满分13分） 解：（1）证法1，如图，设AD 的中点H ，连接GH ，FHE ，F 分别为PC ，PD 的中点，//E F C D ∴G ，H 分别为BC ，AD 的中点，//.G H C D ∴ //,EF GH ∴∴E ，F ，H ，G 四点共面。
F ，H 分别为DP ，DA 的中点，//P A F H ∴ PA ⊄ 平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， //P A ∴平面EFG …………4分证法2： E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点，//,//EF CD EG PB ∴ //,//.CD AB EF AB ∴,,PB AB B EF EG E ⋂=⋂=∴ 平面EFG//平面PAB 。
PDFE G BCPA ⊂ 平面PAB ，//P A ∴平面EFG 。
…………4分（2）P D ⊥ 平面ABCD ，G C ⊂平面ABCD ，.G C P D ∴⊥ ABCD 为正方形，.G C C D ∴⊥ ,PD CD D GC ⋂=∴⊥ 平面PCD ， 111,122P F P D E F C D ==== ，1122P E F S E F P F ∆∴=⨯=111111,1.23326P E F G G P E F P E F G C B C V V S G C --∆==∴==⋅=⨯⨯=……13分20．（本小题满分13分）解：（1）因为直线43160x y --=交圆C 所得的弦长为325所以圆心(4,)C m 到直线43160x y --=125=即|44316|1255m ⨯-⨯-=所以4,4m m ==-或（舍去）…………3分又因为直线43160x y --=过椭圆E 的右焦点，所以右焦点坐标为2(4,0),F 则左焦点F 1的坐标为（-4，0），因为椭圆E 过A 点， 所以12||||2AF AF a +=|所以22218,2a a ab =+====故椭圆E 的方程为：221.182xy+=…………6分（2）法一：(1,3)A C =，设(,)Q x y则(3,1),(3)3(1)36AQ x y AC AQ x y x y =--⋅=-+-=+-因221182xy+=所以22(3)18,18618.x y xy +=∴-≤≤36])3([2)3(222=+≤+y x y x636≤+≤-∴y x 06312≤-+≤-∴y x 36AC AQ x y ∴⋅=+-的取值范围是[-12，0]（也可由18=22(3)2|||3|x y x y +≥⋅ ，得18||6≤xy即(3)18,18618.x y xy +=∴-≤≤222(3)(3)6186x y x y xy xy ∴+=++=+的取值范围是[0，36]636≤+≤-∴y x 06312≤-+≤-∴y x ）法二：由法一知 36AC AQ x y ∴⋅=+-t y x =-+63设代入221.182xy+= 消x 得01812)6(61822=++++-t t y t y由于直线t y x =-+63与椭圆E 有公共点，所以0≥∆整理得0122≤+t t012≤≤-t 21．（本小题满分13分）解：(1)242(1),2n n d d +=++∴= ()2(11nf a n n =++-=+ 1)22(n f a n n =++-=+ 即222log 22,2n n n a n a +=+∴=(2)22log ()23x k -+≥+， 2)232k x+∴-+≥，得，23220,k k x x +++-+≤×12(1)13220,k k x x +++-+≤即2322(2)0,k k x x ++-+≤ ×1322(2)k k x x ++-+≤ ×122(2)0,k x +++≤1(2)(22)0,22k k k k x x x ++++∴--≤∴≤≤ ×11(2)(22)0,222k k k x x x ++++∴--≤∴≤≤ ×1(2)(22)0,222k k k k xx x ++++--≤∴≤≤ 则1()21k g k +=+ (3) =+=+)1()(21n g n g b n n =+++++)12)(12(2211n n n -++)12(11n )12(12++n-+=)12(12n S )12(13++-+)12(13)12(14++…+-++)12(11n )12(12++n51=)12(12+-+n。