结构力学第三章-扭转.

对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2

d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A

O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略

扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m


剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A 2dA
单位：m4
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
d 2 0

O
d
d4
32
T1 M 2 4.78kN m
A 1 B 2 C
n 3 D
T2 M 2 M 3 0 , T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m T3 M 4 0 , T3 M 4 6.37kN m
③绘制扭矩图
1PS=735.5N· m/s ,
1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 截面法求扭矩
M
x
0
T M 0 T M
3 扭矩的符号规定：
M
M
M
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
T

x
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
P2
解：①计算外力偶矩
P3
P1 n
P4
P 500 A 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
WP I p R d 3 16 WP I p R D3 (1 4 ) 16

G
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
钢材的G值约为80 GPa 。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的
三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在关系：
E G 2(1 )
B
C
D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 ,
T1 M 2 0
M2
1
M3
2
M1
3
M4
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
T
– – 9.56
6.37
x
4.78
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面 一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后
仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
d G G dx
代入上式得：
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d 2 G A dA dx
2
Байду номын сангаас

O
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T GI p dx
就可以推算出来。
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
§ 3–3
传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M 9.55 (KN m) n P M 7.024 (KN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大切应力： 由
T Ip
max
T Ip d 2
知：当
R d , max
2
d ) 2

T Ip
T (令 WP I p d WP 2
max
T WP
WP — 抗扭截面系数（扭转截面系数），
几何量，单位：m3。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
GG d tg dx dx
A
E
D D
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离 成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
剪切胡克定律：
G