§12.7 条件概率与事件的独立性汇总

第十二章 统计与概率

§12.7 条件概率与事件的独立性

【知识回顾】

1．条件概率及其性质

(1)相互独立的定义：事件A 是否发生对事件B 发生的概率__________，即__________这时，称两个事件A ，

B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式：

3.(1)独立重复试验：

①定义：在__________条件下，__________做n 次试验，各次试验的结果__________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．

②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发

生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －

k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数

第170页设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝__________，其中k ＝0,1,2，…，n .于是X 的分布列：

若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．

参考答案：1．事件A 发生，事件B 发生，P (B |A )，P (A )，A ∩B 2.(1)没有影响，P (B |A )＝P (B )．

3.(2)概率公式：P (A )×P (B )，P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) 3.(1)①相同的，重复地，相互独立，

(2)C k n p k q n －

k ，C 0n p 0q n C 1n

pq n

－1

C n n

p n q 0 X ～B (n ，p )．

【基础训练】

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)

(2)相互独立事件就是互斥事件．(×)

(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．(×)

(4)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率．(√)

2．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37

解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.

答案 B

3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的

概率是( )

A.12125

B.16125

C.48125

D.96125

解析 每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次重复试验，用X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布，即B ～⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫452

×⎝⎛⎭⎫151

＝48125. 答案 C

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312

解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为223

30.60.40.6C ⨯+=0.648.

答案 A

5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为1

4，假定二人的行动相互

之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －

B －

)＝P (A －

)·P (B －

)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12

，

甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为1－P (A －

B －

)＝1－12＝1

2

.

答案 12

【例题分析】

例1．(1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12

(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.827 D.924

解析 (1)法一 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25

＝410＝25，

P (AB )＝C 22

C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）

＝1

10410

＝14.

法二 n (A )＝C 23＋C 2

2＝4，n (AB )＝1，

∴P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14

.

(2)设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝

42＋4＝2

3，P (B |A )＝3＋18＋1＝49

， ∴P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝8

27，

所以两次都取到红球的概率为8

27.

答案 (1)B (2)C

规律方法 条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

.这

是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝

n （AB ）

n （A ）

.

变式练习1： 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1