独立性检验(上课)

(3)如果 k k0 ，就以(1 P(K 2 k0 )) 100%的把握认为“X
与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系” 的充分证据。
在实际应用中，独立性检验临界值将给出：
P(K2 k0 )
k0
0.50 0.455
P(K2 k0 ) 0.05
k0
3.841
0.40 0.708
在H
成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，
0
因此我们有99%的把握认为H
不成立，即有99%的把握认为“吸烟
0
与患肺癌有关系”。
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独立性检验的定义
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两 个分类变量的独立性检验。
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【示例】 某小学对232名小学生调查中发现：180名男
生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名
女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用
独立性检验方法判断多动症与性别是否有关系？
解： 由题可列出如下列联表：
多动 无多动 总 k＝23120×0×9183×2×501－802××58222
秀
差
计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚 22
的
73
95
判断学生的总数计学成绩好坏86与对学习1数03学的兴18趣9 是否有关？
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成绩优秀 成绩较差 总计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
总计
86
103
189
解 由公式得 K2 的观测值 k＝189× 86×641×037×3－952×2×94302≈38.459.
0.25 1.323
0.15 2.072
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 6.635 K 2 2.706 K 2 2.706
1%把握认为A与B无关
99%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关 90%把握认为A与B有关
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回顾：
独立性检验的步骤：
1、写出列联表； 2、作出假设； 3、求出 K2 的值． 4、下结论（利用临界值的大小来判断假设是否成立）．
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题型 独立性的检验 【变式】 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，
对某年级学生作调查得到如下数据：
成绩优 成绩较 总
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
其中A:吸烟 ，B：患肺癌
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思考
如果K
2

6.635，就断定H
不成立，这种判断出错的可能性有多大
0
?
答：判断出错的概率不超过0.01。
现在观测值k 9965(7775 49 42 2099)2 56.632太大了， 7817 2148987491
所以有 99.9%的把握认为多动症与性别有关系．
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[29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02
，
，
，
，
，
29．90) 29．94) 29．98) 30．02) 30．06)
06 ，
30 ．
10 ，
30 ．
10) 14)
频 数
29
71
85
159
76 62 18
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(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的 把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
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(2) 甲厂 乙厂 总计
优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320
总计 500 500 1 000
k＝1 0005×003×605×001×806－803×203×201402≈7.353＞6.635， 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
总计
9874
91
9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。
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上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和 患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点 来考察这个问题。
[30.0 [30.1
[29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02
分
6， 0，
，
，
，
，
，
组 29．90) 29．94) 29．98) 30．02) 30．06) 30． 30．
10) 14)
频
数
12
63
86
182
92 61 4
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乙厂
[30. [30.
分 组
总计 a+b c+d a+b+c+d
若“吸烟与患肺癌没有关系”，则吸烟样本中患肺 癌的比例应该与不吸烟患肺癌的比例差不多，即：
b d 即ad bc
ab cd
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
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独立性检验
1.2独立性检验的基本思想 及其初步应用
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两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、

宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？
k 9965(7775 49 42 2099）2 56.632 （2） 7817 2148987491
那么这个值到底能告诉我们什么呢？
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独立性检验临界值表： 例题中，K 2 56.632
P(K2 k0 ) 0.50
k0 0.455
0.40 0.708
解：列出2×2列联表： 有兴趣 无兴趣 总计
理 文 总计 138 73 211 98 52 150 236 125 361
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解 列出2×2列联表
总 理文
计
有兴 138 73 211
趣
代入公式得 K2 的观测值
无兴
k＝36123×6×13182×5×522－117×3×159082≈1趣.871×
甲乙总 厂厂计 优质品 非优质 品 总计
附：
K2＝a＋bnc＋add－ab＋cc2b＋d，
P(K2≥k0) 0.05 0.01
k0
3.841 6.635
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解：(1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品，从而甲厂生产的零件 的优质品率估计为356000＝72%； 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品，从而乙厂生产的零件的优质 品率估计为352000＝64%.
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分 析，我们构造一个随机变量：
K2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
（1）
其中n a b c d为样本容量。
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
98 10－4.
52
150
∵1.871×10－4＜2.706，∴可以认总为计学生23选6 报12文5、3理61科与对外语的
兴趣无关．
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题型 独立性检验的基本思想 【例】 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：
mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产 的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表： 甲厂：
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
பைடு நூலகம்
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
a
b
a+b
吸烟
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
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不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
患肺癌 b d b+d
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归纳：
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列 联表）为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
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具体作法是：
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值
k
；
0
(2)计算得到随机变量 K 2的观测值；
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研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
变量

相关指数R2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
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列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
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独立性检验临界值表：
P(K2 k0 ) 0.05
k0
3.841
0.025 5.024
0.010 6.636
0.005 7.879
0.001 10.828
且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879， 这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立 的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为 “喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．
∵38.459＞10.828，∴有 99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数
学成绩是有关的．
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【例】 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关， 某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科 对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语 有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、 理科与对外语的兴趣是否有关？
体育 文娱 总计 男生 21 23 44 女生 6 29 35 总计 27 52 79
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[思路探索] 可用数据计算 K2，再确定其中的具体关系． 解 判断方法如下： 假设 H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若 H0 成立， 则 K2 应该很小． ∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79， ∴k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d ＝21＋237×9×6＋212×9×29－212＋3×66×223＋29≈8.106.
症
症
计
≈42.117＞10.828. 男
生 98
82 180 所以有 0.1%的把握认为多动症
女
生
2
与性别有关系．
50
52
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解：由题目数据列出如下列联表：
多动症 无多动症 总计
男生 98
82 180
女生 2
50
52
总计 100 由表中数据可得到：
132 232
k＝23120×0×9183×2×501－802××58222≈42.117＞10.828.
0.025 5.024
0.25 1.323
0.010 6.636
0.15 2.072
0.005 7.879
0.10 2.706
0.001 10.828
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题型一 有关“相关的检验” 【例1】 某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：
试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过 0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？