有限群的几乎次正规子群与可解性
关于c-正规与有限群的可解性
２ 主 要 结 果
定 理 １ 设 Ｇ是有 限群 ， Ｇ可 解 当且仅 当它 的每 个极 大子 群 的 Ｃ 截 是 ｃ 正 规． 群 Ｊ一 一
＊
收 稿 日期 ：０ ０一Ｏ —２ ２１ ６ ５ 基 金 项 目 ： 南 省 科 技 厅 专 项 计 划 科 研 课 题 （ ０ ９ Ｊｏ ｏ 湖 ２０Ｆ４６） 作 者 简 介 ： 建 平 （９ １一 ， ， 南 永 州 人 ， 南 科 技 学 院助 教 ， 士 ， 要从 事 有 限 群 研 究 ． 吴 １８ ） 男 湖 湖 硕 主
小 性． （ ）Ｎ 是 Ｐ群 ． ３ 假设 命题不 真． Ｎｐ ｓ ｌ（ ， Ｆ ａｔ ｉ 断［ Ｇ— ＮＮＧ Ｎｐ ． ＮＧ Ｎｐ ： Ｇ， 令 ∈ ｙｐ Ｎ） 由 ｒｔ ｎ 论 ｉ ， （ ）若 （ ）＝ ＝ 贝 Ｎ Ｇ， Ｎ 的唯一 极小 正规性 知 ， — Ｎ Ｎ 为 Ｐ 群 ， Ⅱ 由 Ｎ ， 矛盾． 于是 Ｎ Ｎ ＜ Ｇ， （ ） 则存 在极 大子群 Ｍ ， 使 得 Ｎｃ Ｎｐ （ ）≤ Ｍ ， — ＮＮｃ Ｎｐ Ｇ （ ）一 Ｎ ， Ｍ Ｎ Ｍ ， １ Ｎ Ｎ ， Ｎ ≠ １ 由 Ｎ 的唯一极 由 ≠ ≤ ｎＭ 有 ｎＭ ，
（ Ｉ ／ Ｋ／ 是 Ｇ／ 的 主因子 ，Ｎ Ｎ Ｎ） （ Ｎ）是 Ｍ／ 的一 个 ＣＩ一 ， Ｎ Ｎ） （ Ｎ） Ｎ （ ／ ｎ Ｍ／ ／ Ｋ／ Ｎ 截 由同构 定 理 ， ｎ Ｍ
Ｎ Ｋ 兰 （ Ｎ 、 Ｍ Ｎ） （ Ｎ、． ｆ Ｎ１ ７ ｃ ＼ ７ ／ Ｋ／ ）
引理 ３ 设 Ｇ是 有 限群 ， 以下结 论成 立 ： 则 （ ）如果 Ｈ 在 Ｇ 中 ｆ 正规 且 Ｈ ≤ Ｋ ≤ Ｇ， 么 Ｈ 在 Ｋ 中 ｆ 正 规 ； １ 一 那 一
定 义 ３２ 给定 群 Ｇ及 Ｇ 的极 大子 群 Ｍ ． Ｎ／ 是 Ｇ 的一个 主 因子 ， ≤ Ｍ 而 Ｎ Ｍ ， Ｍ Ｋ ［ 令 Ｋ Ｋ 称 ｎ Ｎ／
有限群的超可解和可解性
６
扬州大学学报 （ 显然 Ｚ 在 Ｇ中不是 正规 和 ｃ正 规 的 ， 而不是 ｕ 一 补充 的［ 实上 ， 。 一 从 可 事 Ｇ是 Ｇ 的唯一 正规子 群使 得 Ｚ Ｇ—Ｇ且 （ ） 一１ 但 是 ｚ ｎＧ—Ｚ ｚ Ｇ） ． ３ Ｇ ， 。 ３ Ｚ（ ］
在 群论研 究 中 ，人们通 常利 用群 的子 群 的性 质 来刻 画 有 限群 的结 构 ．王 燕 鸣教 授 曾引进 ｃ正 一 规 的概念 ： Ｇ是 一个 群 ， 果存 在 Ｇ 的一个 正规 子群 Ｋ 使得 Ｇ—ＨＫ， 如 并且 Ｈ ｎＫ≤ Ｈｃ 其 中 Ｈ。是 ，
包含 在 Ｈ 中 Ｇ 的最大正 规子 群 ， 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ正规 ．最 近 ， 一 杨南 迎 等［ 引入 Ｆ 一 补充 的概 ２ 可 念： 如果存 在 Ｇ的一 个正 规子 群 Ｔ 使 得 Ｇ—ＨＴ，并且 （ Ｎ Ｔ） ／ Ｈ Ｈ Ｈ 包 含 在 Ｇ／ Ｈｃ的 Ｆ 超 中心 － Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， （ ／ ） 则称 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 可补 充．显然 ，一 Ｃ 正规 子群都 是 Ｆ 一 可补 充子群 ． 用上述 这些 利 子群 ， 们 获得 了一 系列重 要结果 ．ｌ 本文 中 ， 们给 出下 面新 的概念 ． 人 【 刮 我 定义 １ 设 Ｆ是一 个群类 ， Ｇ是 一个 有限群 ．如果 存在 Ｇ的一 个正规 子 群 Ｔ 使得 ＨＴ是 Ｇ 的正 规子 群 ，并且 （ ｎ丁 Ｈ Ｈ。包含 在 Ｇ／ Ｈ ） ／ Ｈ。的 超 中心 Ｚ Ｇ Ｈ 中 ， 称 子 群 Ｈ 在 Ｇ 中 Ｆ 一 三（ ／ ） 则 正
Ｆ一 正规 的．例如 ， 子群 Ｈ 在 Ｇ 中 ｃ 正规 ， 存在 正 规 子 群 Ｋ 使得 Ｇ＝ＨＫ 且 （ ｎ Ｔ） ／ 一 若 一 则 Ｈ Ｈ Ｈｃ
极大子群的次正规完备与有限群的可解性
极大子群的次正规完备与有限群的可解性
杨立英; 宋玉
【期刊名称】《《四川师范大学学报（自然科学版）》》
【年(卷),期】2011(034)005
【摘要】利用有限群的特殊极大子群的正规完备和次正规完备对有限群可解性进行研究,给出了有限群可解的几个充分必要条件,这些结论是对已有的有限群刻画的补充和推广.
【总页数】4页(P655-658)
【作者】杨立英; 宋玉
【作者单位】广西师范学院数学科学学院广西南宁530001; 广西职工体育运动技术学校广西南宁530031
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限群极大子群的s-θ-完备与π-可解性 [J], 钟祥贵;单俊辉;张洪
2.极大子群的s-θ-完备与有限群的可解性 [J], 杨立英;宋玉;刘媛
3.几类特殊极大子群的极大完备与有限群可解性 [J], 杨立英;宋玉
4.有限群极大子群的正规指数与群的可解性 [J], 唐再良
5.极大子群的次正规完备与有限群的可解性 [J], 杨立英;宋玉
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一个关于极小子群与超可解性的注记
子群都在其 中心里 ， 那么 Ｇ为幂零群 ； ｕｋ ｙ Ｂ ｃｌ 在文献 ［］ ｅ ３ 中得到 ： 如果一个奇阶群 Ｇ 的所有极小子群都正规 ， 那 么 Ｇ为超可解群 ；ｈａ ｎ Ｓ ａｌ 在文献 ［］ ａ ４ 中证明了： 如果一个群 Ｇ 的所有极小子群和 ４阶循环子群在 Ｇ 中都是 ｓ 拟 一
文献标志码 ： Ａ
中 图分 类 号 ： ５ ． Ｏ１２ １
１ 引言 及 引理
文 中所 指 的群 都是 有 限群 ， 所用 的符 号都是 标 准 的 ， 可参 见文献 ［ ］ １。 群 Ｇ 的两个 子 群 Ｈ 与 Ｋ 称 为可换 的 ， 如果 ＨＫ ＝ＫＨ。显 然 若 集合 ＨＫ 是 Ｇ 的子 群 ， 么 Ｈ 与 Ｋ 是 可 换 那 的 。群 Ｇ 的一 个子 群称 为拟 正规 ， 果它 与 Ｇ 的 每一 个 子 群 可交 换 。群 Ｇ 的 子群 称 为 ７拟 正 规或 Ｓ 拟 正规 如 ｃ 一 一 的， 如果 它 与 Ｇ 的每一 个 ｚ 子 群可 交换 【 删 。 很 多 的群论 学者 都讨 论过 极小 子群 与有 限群 结构 的关 系 ， 如 Ｉ 例 ｔ ｏ曾经证 明 ： 如果 一个 奇 阶群 Ｇ 的所 有极 小
引理 １２ 设 Ｇ 为群 ， 么 １ ｊ 那 （） １如果 Ｈ≤ Ｋ≤ Ｇ 并且 Ｈ 在 Ｇ 中 ７拟 正规 ， 么 Ｈ 在 Ｋ 中 丌拟 正规 ； 【 一 那 一 （ ） Ｋ Ｇ， ２设 如果 Ｈ 在 Ｇ 中 一 正规 ， 么 ＨＫ／ 在 Ｇ／ 中 ７拟 正规 。 拟 那 Ｋ Ｋ ｃ 一 引理 ２５ 设 Ｇ 为群 ， 么 ［ Ｊ 那 （ ） 果 Ｈ≤ Ｋ≤ Ｇ 并 且在 Ｇ 中具有 半覆 盖远 离性 ， 么 Ｈ 在 Ｋ 具 有半 覆盖 远离 性 ； １如 那 （ ） Ｋ Ｇ 并 且 Ｋ≤ Ｈ≤ Ｇ， ２设 如果 Ｈ／ 在 Ｇ／ 中具 有半 覆盖 远离性 ， 么 Ｈ 在 Ｇ 中具有 半 覆盖 远离 性 。 Ｋ Ｋ 那
【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性
【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
有限群的极大子群的正规指数
Ｇ 且 ｌ Ｍ Ｇ： ｌ ＝１ ｝
＝
小正规 子 群 满 足 Ｎ≤ Ｍ ， 有 呀 Ｇ／ Ｍ／ 则 （ Ｎ： Ｎ）＝ 竹 Ｇ： ） （ Ｍ ．本文 利用极 大子 群的 正规指 数 的概 念得 到有 限群 为可解 、 可 解 、 幂 零 、 零 等 若 干 充要 超 幂 条件 ， 从而推 广 了文献 ［ —４ 中的相 关定理 ， ２ ］ 得到 了 若干新 的结论 ．
ｒ ｓ ｌ ｒ ｅ ｅ ａｉｅ ｅ ｕ ｔ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｄ． ｓ ｚ Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｉ ｒ ｕ ；ｎ ｒ ｌ ｎ ｅ ；ｓ ｌ ａ ｌ ｇ ｏ ｐ；ｓ ｐ ｒｓ ｌａ ｌ ｒ ｕ ｙ ｗｏ ｄ ：ｆ ｔ ｇ ｏ ｐ ｏ ｍａ ｄ ｘ ｏ ｖ ｂ ｅ ｒ ｕ ｎ ｅ ｉ ｕ ｅ — ｖ ｂ ｅｇ ｏ ｐ；ｎ ｌ ｏ ｅ ｔ ｒ ｕ ｏ ｉ ｔｎ ｏ ｐ ｐ ｇ
补 ， 呀 Ｇ： ） 示 Ｍ 在 Ｇ 中 的正 规 指 数 ．显（ Ｍ 由 并 如果 Ｎ 为 Ｇ 的极
｛ Ｉ 为 Ｇ 的 ｃ极大子群 ｝ ＝｛ Ｉ ＜ Ｍ Ｍ － ， Ｍ Ｍ ｛ ｌ 为 Ｇ 的包 含某 Ｓ ｌｗ子 群正 规化 Ｍ Ｍ ｙｏ （ ＝ｎ ｛ ｆ ∈ Ｇ） Ｍ Ｍ
—
—
—
— —
Ｖ １２ Ｎ Ｏ． ｏ ３ ３
．
Ｓ ｐ ２０ ｅ ０７
有限群的子群的性质对群结构的影响和有限群的π-齐次性与π′-闭性的关系
中山大学博士学位论文有限群的子群的性质对群结构的影响和有限群的π-齐次性与π′-闭性的关系姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：***2002.5.30有限群的子群的性质对群结构的影响和有限群的丌。
齐次性与丌７一闭性的关系李样明（中山大学数学系，广州，５１０２７５）摘要全文共分四个部分，第一，二部分研究有限群的子群的性质对群结构的影响，第三部分讨论有限群的”齐次性与”，－闭性的关系，第四部分给出睇群的一个特征子群及其应用．嗅体按排如下：第零章，介绍问题的背景，基本概念．第一章，讨论有限群的部分子群的极大子群及极小子群的”一拟正规性对群结构的影响，主要是用广义Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｐ（Ｇ）代替Ｆ（Ｃ）的方法，将国际上此方向上最新结论中的“可解性”的假设去除，于此得到一系列超可解群，幂零群的新的刻划，最后用”一拟正规可嵌入子群在ｆｏｒｍａｔｉｏｎ的理论中作进一步的推广．第二章，讨论有限群的部分子群的极大子群、极小子群的Ｃ．可补性对群结构的影响，推广了现有的最新的结论．第三章，讨论有限群的ｎ齐次性与”闭性的关系，得到了一个“有限群的”一齐次性等价于”Ｌ闭性”的充分条件，推广了Ａｒａｂ、杜兆伟等人二十多年前的工作．第四章，讨论曰群的一个特征子群，将著名Ｇｌａｕｂｅｒｍａｎ的ｚＪ一定理推广至睇群中，并获得了两个有趣的应用：—是给出著名的Ｗｉｅｌａｎｄｔ定理的奇阶情形的简证；二是得到了睇群为”一可解群的充分必要条件．上，关键词：”．拟正规子群；Ｃ－可补子群ｉ”一齐次性”，＿闭性；睇群ＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅＯｆＴｈｅＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓＯｆＳｕｂｇｒｏｕｐｓｏｎＴｈｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅＯｆＦｉｎｉｔｅＧｒｏｕｐＡｎｄＴｈｅＲｅｌａｔｉｏｎＯｆ７ｒ·ＨｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙＡｎｄ７ｒ—ＣｌｏｓｕｒｅＯｆＦｉｎｉｔｅＧｒｏｕｐＬｉＹａｎｇｍｉｎｇＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈｏｎｇｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＧｕａｎｇｚｈｏｕ，５１０２７５，ＰＲ．Ｃｈｉｎａ（Ｆ，ｍａｉｌ：ｌｉｙａｎｇｍｉｎｇ＠ｇｄｅｉ．ｅｄｕ．ｃｎ）ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｗｈｏｌｅｔｈｅｓｉｓ，ｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ，ｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｆｏｕｒｐａｒｔｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔａｎｄｓｅｃｏｎｄｐａｒｔ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｓｕｂｇｒｏｕｐｓｏｎｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｆｉｎｉｔｅｇｒｏｕｐ；ｉｎｔｈｅｔｈｉｒｄｐａｒｔ．ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆ”一ｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙａｎｄ”一ｃｌｏｓｕｒｅｏｆｆｉｎｉｔｅｇｒｏｕｐ；ｉｎｔｈｅｌａｓｔｐａｒｔ，ｗｅｄｅｆｉｎｅａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆ睇ｇｒｏｕｐａｎｄｇｉｖｅｔｗｏｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｉｓｓｕｂｇｒｏｕｐ．Ｆｏｒｄｅｔａｉｌ．ｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｓｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｅｅｄｌｎＣｈａｐｔｅｒＺｅｒｏ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ０Ｄｅ．ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｔｈⅡ一ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｉｔｙｏｆｍａｘｉｍａｌｏｒｍｉｎｉｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐｓｏｆｓｏｍｅｓｕｂｇｒｏｕｐｓｏｆａｆｉｎｉｔｅｇｒｏｕｐｏｎｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐ．ＴｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓｏｆｓｏｍｅｒｅｃｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｉｓｆｉｅｌｄｂｙｒｅｐｌａｃｉｎｇＦｉｔｔｉｎｇｓｕｂｇｒｏｕｐＦ（Ｇ）ｗｉｔｈｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｉｔｔｉｎｇｓｕｂｇｒｏｕｐＦ４（Ｇ）ｆｏｒｔｈｅｐｕｒｐｏｓｅｏｆｄｅｌｅｔｉｎｇｔｈｅｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｏｆ”ｓｏｖａｂｉｌｉｔｙｏｆｇｒｏｕｐ”ｏｆｐｒｅｖｉｏｕｓｒｅｓｕｌｔｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒＴｗｏ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｓｉｍｉｌａｒｐｒｏｂｌｅｍｓｗｉｔｈＣｈａｐｔｅｒ０ｎｅ，ｂｕｔｕｓｅＣ－ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｓｕｂｇｒｏｕｐｉｎｓｔｅａｄｏｆ”．ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐ．Ａｓｅｒｉｅｓｏｆｎｅｗｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｓｕｐｅｒｓｏｖａｂｌｅｇｒｏｕｐａｎｄｎｉｌｐｏｔｅｎｔｇｒｏｕｐａｒｅｇｉｖｅｎ．ＩｎＣｂａｐｔｅｒＴｈｒｅｅ．ａｓｎ币ｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆ＂一ｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙｏｆａｇｒｏｕｐｂｅｉｎｇｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏ”－ｃｌｏｓｕｒｅｉｓｇｉｖｅｎ．ｗｈｉｃｈｉｓｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆａｒｅｓｕｌｔｏｆＡｒａｄａｎｄＺ．Ｄｕｏｆｔｗｅｎｔｙｙｅａｒｓａｇｏ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒＦｏＵＦ．ｗｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｔｈｅｗｅｌｌ．ｋｎｏｗｎＧｌａｕｂｅｒｍａｎ’ＳＺＪ．Ｔｈｅｏｒｅｍｔｏ印ｇｒｏｕｐ，ｗｈｉｃｈｉＳａｐｐｌｉｅｄｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｗｈｅｎｔｈｅＥ：ｇｒｏｕｐｉＳ＂一ｓｏｌｖａｂｌｅａｎｄｓｈｏｒｔｅｎｔｈｅｐｒｏｏｆｔｈｅＷｉｅｌａｎｄｔＴｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｃａ．Ｒｅｏｆｏｄｄｏｒｄｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ＂一ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐ．ｃ—ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔｅｄｓｕｂｇｒｏｕｐ，Ⅱ一ｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ，Ⅱｃｌｏｓｕｒｅ睇ｇｒｏｕｐ２第零章绪论５０．１引言全文共分为四个部分，第一、二部分是有限群的子群的性质对有限群的结构的影响的研究，第三部分讨论有限群的”一齐次性与”，－闭性的关系．第四部分给出研一群的一个特征子群．周知，代数是从解方程发展起来的．１８３２年，法国天才数学家Ｇａｌｏｉｓ指出：“一个方程对应一个群（现称为Ｇａｌｏｉｓ群），一个方程可根式求解等价于相应的群可解”（从而证明了５次及５次以上方程不可根式求解）．故有限群的可解与不可解一直主宰着群论研究的方向，给出有限群为可解的刻划一直是群论研究中的一个十分活跃的中心课题．另一方面从刻划有限群的结构的观点考虑，Ｊｏｒｄａｎ—Ｈｏｌｄｅｒ定理揭示：一个有限群可由一些合成因子合成，这些合成因子由此群唯一确定（不计次序，在同构意义下）．合成因子即为单群，这样非交换单群的分类引起了人们的特别兴趣．但在有限单群分类完成之后，可解群的自身结构的研究就更显突出．幂零群、超可解群等重要的可解群的子类的研究，由于其理论及应用上的背景，也一直是重要的研究内容．研究有限群的一个重要的方法是ｔ通过对群的部分子群加一定的条件（限制）来刻划整个群的结构．这牵涉两个问题ｔ第一，对群的怎样的子群加条件？第二，加什么条件？在第一个问题上，人们通常考虑的是群的极大子群，极小子群，Ｓｙｌｏｗ．子群，Ｆｉｔｔｉｎｇ子群等．因为这样的子群是抓得住的，即存在的．在第二个问题上，最初人们考虑的是设这些子群是正规的或在群的中心内．几个经典的结果是：Ｂｕｃｋｌｅｙ在［７］中证明了：设Ｇ为奇阶的有限群，如果Ｇ的所有极小子群在Ｇ中正规，则Ｇ是超可解的．Ｓｒｉｎｉｖａｓａｎ在［８］中证明了：设有限群Ｇ的所有的Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群在Ｇ中正规，则Ｇ是超可解的．１ｔｏ［１］得出：设Ｇ为奇阶的有限群，如果Ｇ的所有极小子群在Ｇ的中心内，则Ｇ是幂零群．近年来，许多学者在此方向做了大量的工作，见［１１，１２，１４，１７，１８，２２，２３，…］，将上述结果都推广了．人们一方面将“正规子群”推广为“拟正规子群”、“”一拟正规子群”、“Ｃ一正规子群”…，如Ｓｈａａｌａｎ在ｆ１２１中证明了，如果Ｇ的每一个极小子群及４阶循环群在Ｇ中”．拟正规，则Ｇ是超可解的，王燕鸣（［２７］）证明了；设有限群Ｇ的所有的Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群在Ｇ中ｃ．正规，则Ｇ是超可解的．另一方面，人们也尝试将受限制的子群的数目尽量减少如：Ａｓａａｄ，Ｓｈａａｌａｎ，Ｒａｍａｄａｎ在［１１，１２］中证明了ｔ设Ｇ为可解群，如果Ｇ的Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｆ（ａ）的极小子群及４阶循环群或者Ｆ（ａ）的Ｓｙｌｏｗ．子群的极大子群在Ｇ中”一拟正规，则Ｇ是超可解的；李德玉，郭秀云（［３１，３１］）证明了：设Ｇ为可解群，如果Ｇ的Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｆ（Ｇ）的极小子群及４阶循环群或者Ｆ（Ｇ）的Ｓｙ／ｏｗ－子群的极大子群在Ｇ中ｃ－正规，则Ｇ是超可解的．显然，将上述结论中“Ｇ可解”这个条件去除是一个十分有意义的课题．但注意到，若Ｇ为单群，则Ｆ（ａ）＝１，故对一般的群Ｇ的Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｆ（ａ）加条件是得不出Ｇ的可解性方面的什么刻划的．在［２８，２９］中，王燕鸣和Ｂａｌｌｅｓｔｅｒ—Ｂｏｌｉｎｃｈｅｓ提出，用广义Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｆ＋（Ｇ）代替Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｆ（Ｇ）来考虑，并证明了：若Ｆ＋（Ｇ）的极小子群及４阶循环群在Ｇ中ｅ一正规，则Ｇ是超可解的．这就推广了上述结果，因为当Ｇ为可解群时，Ｆ’（Ｇ）＝Ｆ（ｃ），并且此结果具有一般的意义．本文首先继续此方面的工作，在第一３章中，我们主要证明了：设Ｇ为群，如果Ｇ的广义肌ｔｉｎｇ子群Ｐ（Ｇ）的极，Ｊ、子群及４阶循环群或者Ｆ＋（Ｇ）的Ｓｙｌｏｗ一子群的极大子群在Ｇ中”一拟正规，则Ｇ是超可解的．（ｒｅｆ．定理１．２．１及定理１．２．２）．在第二章中，我们运用王燕鸣教授提出的“ｃ．可补子群”的概念代替上“”一拟正规子群”考虑类似的问题，证明了：如果Ｇ的广义Ｆｉｔｔｉｎｇ子群Ｐ（Ｇ）的极小子群及４阶循环群在Ｇ中ｃ－可补，则Ｇ是超可解的（ｒｅｆ．定理２．２．１）．为将理论框架做得更牢固，在应用上寻求更宽泛的推广，我们最后用Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ的观点和工具将上述结果作了进一步的推广．关于有限群的丌＿齐次性与”，－闭性，Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ曾建立了如下著名的结果（ｆ５７，ｃｈ７，Ｔｈ４．５］）ｔ如果Ｉ”１＝１，那么Ｇ为”一齐次的错Ｇ为丌，一闭的．但Ｉ”Ｉ≥２时，结论一般不成立，交错群Ａｓ就是一个反例．Ａｓ是５，－齐次的，但不是５一闭的．这样人们自然问；在附加哪些条件之下，才能保证。
次正规子群对有限群可解性的影响
２０ ０ ７年 ５月 第３ Ｏ卷 第 ３期
四川师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｕｎＮ ｒ ａ Ｕ ｉｅ ｉ （ ａ ｒ ｃｅｃ ） ｏｒａ ｏ Ｓｃ ａ ｏｍ ｌ ｎｖｒｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ ｈ ｓｙ ｕｌ ｎ
（ ） Ⅳ≤ 日≤ Ｇ 且 Ｎ＜ Ｇ 则 Ｎ 日； １若 ， ３ ， ＜ ３ （ ） Ｎ＜Ｇ 且 Ⅳ ２ 若 ３， 】 Ｇ 则 Ｎ Ｎ Ｎ ＜Ｇ Ｎ ， １／ ＜ ３ ／ ； ３
（ ）若 Ｈ ＧＰ ∈ ７ Ｇ ， ３ ３ ＜ ， ｒ ） 则对 任意 Ｇ （ ∈ Ｓｌ Ｇ ．有 日 ｎ Ｇ ∈ Ｓｌ 日 ． 特 别 地 ，若 ｙ （） ｐ ｙ（） ｐ
证 明
Ｈ＜Ｈ ３ １
必要性 假设 Ｇ 不是幂零群 ， 下面分 ３ 步证明
结论 ．
因 Ｈ＜ Ｇ， 故 有 次 正 规 群 列 ： ３
・ ・ ＝Ｇ 设 ＰＭ＿． Ｈ＜ Ｈ ， 以 ． Ｇ 因 ３ １所
（ ） 是 幂 零群．由引理 １１知 的每个 １ ．
Ｓｌｗ 子 群 均在 中次正 规 ， 由引理 １１知 的 ｙｏ 一 再 ． 每个 Ｓ ｌ 一 群均 在 中正规 ， 以 是幂 零群． ｙｏ 子 ｗ 所 （ ）Ｇ是 可解群 ． ＩＧＩ用 归 纳法． Ｍ ∈ ２ 对 设
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日在 Ｇ的某个次正规列 中出现． ＜ Ｇ表示 是 Ｇ的 Ｍ ・
一
极小单群． 引理 １５ 设 Ｉ ＝ｐ ； ． Ｖ （ ） ．¨ Ｉ ｔ Ｇ １ … ｚ ｐ 若 Ｇ
＝
｛ ｝则 ： １，
（ ）ｎ≤ ３时 ， １ １ ∑ｉ ‘＝ｎ ＝ ；
个极大子群． 称群的子群 日为 Ｇ的ｎ 极大子群 ， ． 如
Ｆ ｌＴ ｏ ｓｎ 阶定理知 Ｇ 可解 ， 以 Ｇ可解． ｅｔ ｈ ｍｐ ｏ 奇 — ／ 所
有限群的弱c-正规子群与可解性
作者简介： 刘玉凤（９ ５一 ） 女， １６ ， 山东烟 台人， 副教授 ， 士， 硕 主要从事群论研究．
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１ Ｏ
淮北煤炭 师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ） 引理 ５ 如果 群 Ｇ的 阶不被 ２整除， Ｇ是 可解 群 ． 则
２０ ０ ７生
是 Ｇ的 ｓｌｗ ｙ ２一子群 ． ｏ 否则 ， 必存 在 Ｇ的 ｓｌｗ ｙｏ ２一子 群 （， ／２ （． ； 有 Ｉ＜； 于是 Ｍ２Ｎ￣Ｍ２ ＝（ 肌 （ ） ２ ／ ２ ＜ ｃ （ ） ；ｎ ２ Ｍ２ ：（ｎ Ｍ ＝Ｍ２矛盾 ． ； ２ ， 因此 由条件 及引理 １存 在 Ｇ的次正规 子 群 Ｋ 使 得 Ｇ＝Ｍ２ ， ， Ｋ且 ｎＫ＝（ ）． Ｍ２。 （）若 （ ） ＝１则 由 Ｋ是 Ｇ的次正 规 的 ２ 一Ｈ ｌ子群及 引 理 ４ 知 Ｋ正规 于 Ｇ 从 而 Ｇ Ｍ２而 ａ ｃ ， ａｌ ， ， ／Ｋ ， Ｋ为奇 阶群， 由引理 ５知 ， 故 Ｋ可解， 而 Ｇ可解 ． 从 （ ）若 （ ） ≠ ｌ作 ＝Ｇ （ ）， ｂ 。 ， ／ 。显然满 足定 理条 件 ， 以 可解 ， 而 Ｇ可解 ． 所 从 由以上证 明知 ， Ｇ是可解 群 ． 定理 ２ 设 为群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子群 ， ． ａ ｌ ２∈ 若 幂 零且 在 Ｇ中弱 ｃ 一正规 ， Ｇ是可 解群 ． 则 证 明 由于 在 Ｇ中弱 ｃ 正 规， 由引 理 １存 在 Ｇ的次 正规子群 Ｋ 使得 Ｇ＝Ｈ 一 故 ， ， Ｋ且 肌１Ｋ＝Ｈｃ ． １若 ≠１则考 察 商群 Ｇ ｃ若 ｌ ／Ｈ ｌ 能被 ２整 除 ， 由引理 ５知 Ｇ ｃ ） ， ／Ｈ ． Ｇ ｃ不 则 ／Ｈ 可解 ． 因此 得 Ｇ可解 ． 若 ｌ ／Ｈ ｌ 被 ２整 除 ， Ｇ ｃ能 由条 件 知 ， ／Ｈ 是 Ｇ 肌 的幂 零 一 ｌ子 群 ． Ｈ ｃ ／ Ｈａ ｌ 由引 理 １ Ｈ／Ｈ 在 Ｇ ｃ中弱 ， ｃ ／Ｈ ｃ 一正规 ， 以定 理 的条件对 商群 Ｇ ｃ 承， 所 ／Ｈ 继 由归纳 知 Ｇ 可解 ． 而得 到 Ｇ可 解 ． ／ 从 ２ ）若 Ｈ ＝１ 则 Ｋ是 Ｇ的次 正规 的 一 ｌ子 群， ｃ ． Ｈａ ｌ 由引理 ４ Ｋ正规 于 Ｇ 于 是 Ｇ Ｈ为 幂零 的， ， ． ／Ｋ 从而 可解． 又因为 Ｋ是 Ｇ的 一 ｌ子群 ， ２ ， 以 Ｋ为奇 阶群 ． Ｈａ ｌ 且 ∈ 所 由引理 ５ Ｋ可解 ． ， 因此 Ｇ可解 ． 定理 ３ 设 为 群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子 群， ． ａ ｌ ２∈ 若 幂 零且 指数 为 ２的极 大子 群在 Ｇ中弱 ｃ 一正规 ， 则 Ｇ是 可解 群． 证明 对 Ｇ的阶进行 归 纳． 设 为 的极 大子 群 ， 且 在 中的指数 为 ２ 由条件 ， 在 Ｇ中弱 ｃ ． 一正规 ． 于是 由引理 １存在 Ｇ ， 的次 正规子 群 Ｋ 使得 Ｇ＝ＭＫ且 ｎＫ＝Ｍｃ ． １若 Ｍ。 ， ｌ ＿ｌ Ｉ １由假设 及 ２∈ 有 ｌ ＝ ， 中 ｒ是 奇数 ． ） ：１则 ＧＩ ． Ｍ ｌ ， ＫＩ ２ｔ其 ｒ ｔ 设 ， Ｋ的 ２ 一 ｌ子 为 Ｈａ ｌ 群， 则 ， ｈｒ Ｋ ｃ ａ Ｇ 从 而 ， ， Ｇ 由 于 为 群 Ｇ的 一 ａｌ 群 ， 以 ， 群 Ｇ的 一Ｈ ｌ子 ． Ｈ ｌ子 所 为 ａ ｌ 群． 由引理 ４ ， Ｇ 且 易得 Ｇ＝ＭＫ＝Ｈ ２ 因此 Ｇ ２ Ｈ幂 零， 而 可解 ． 因为 ｌ ＿２ｔｒ是 奇数 ， ， ， Ｋ， ， ／Ｋ， 从 又 ＫＩ ，ｔ ｒ 根据 引理 ６ Ｋ可解 ， ， 故 ， ， 而 Ｇ可解 ． 可解 从 ２ ）若 Ｍｃ １则 Ｍ／Ｍｃ Ｈ／Ｍｃ的指 数 为 ２的极 大 子 群 ， ≠ ， 是 由引 理 １ Ｍ／Ｍｃ Ｇ Ｍｃ 知 在 ／ 中弱 ｃ 一正 规． Ｇ 故 ／Ｍｃ 件继 承， 而 由归纳知 Ｇ 条 从 ／Ｍ。 可解 ． 因此 Ｇ可解 ． 定理 得证 ．
关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定
关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定陈德平;尤泽;李保军【摘要】称群G的一个子群H在G中弱s-置换,如果G中存在一个次正规子群T,使得HT=G且T∩H≤H sG.通过研究弱s-置换子群其对有限群结构的影响,得到了有限群为p-超可解和p-幂零的一些新判定.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】4页(P358-361)【关键词】有限群;弱s-置换子群;p-超可解群;p-幂零群【作者】陈德平;尤泽;李保军【作者单位】成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所研究的群皆为有限群，用G表示一个群，|G|表示群G阶，π(G)为|G|的所有素因子的集合，p为一个素数．文中所用符号和概念大多是标准的，未指明的符号和概念可参见文献［1－2］．群G的子群H与T称为可置换的，如果HT=TH．已知群G的2个子群的乘积仍为子群的充要条件是它们可置换(参见文献［1］的定理1．2)．因此，子群的可置换性为子群的一个重要性质．一个群的正规子群与其所有子群可置换，但反之不然．若群G的子群H与G的所有子群可置换，则称H为G的拟正规子群［3］或置换子群［4］．推广这一概念，群 G的子群H被称为为s－置换子群(或s－拟正规子群)［5－6］，如果 H 与 G 的所有 Sylow 子群可置换．s－置换子群与置换子群有着很多相近的性质，如s－置换子群也是次正规子群以及无核s－置换子群幂零等．近年来，在对置换子群和s－置换子群研究的基础上，一些新的子群广义置换性质被提出并得到了较为广泛的研究，譬如 Guo 等［7－8］对 X－置换子群和c－置换子群的研究;Wang 等［9－10］对 c－正规子群和c－可补子群的研究等．这些广义置换子群也有着很好的性质并深刻的影响着群结构，文献［11］得到群G的无核X－置换子群(其中X为G的某一正规幂零子群)为超可解子群;文献［9］证明所有极大子群皆为c－正规的群一定可解．利用子群各类广义置换性质研究群结构的最为广泛的研究工作是通过极小子群和Sylow子群的极大子群刻画群结构［12－16］．统一和发展这方面的研究．2007 年，Skiba［17］提出了弱s－置换子群的概念，并利用这一概念，给出了一些有意义的研究成果．本文主要研究工作为利用某些子群的弱s－置换性质研究群的p－超可解性和p－幂零性，将得到一些关于群结构的新刻画．1 预备知识首先列出一些文中将会用到的基本概念和引理．定义 1．1［5］群G的一个子群H在G中称为s－置换的，若对G阶的任意素因子p和G的任意Sylow p－子群 P，都有 HP=PH．由定义所有正规子群和置换子群都是s－置换的．根据文献［16］中的引理2．1(5)的证明，容易得到2个s－置换子群的交还是s－置换的．设H、K为G 的2个子群，由于G有限，〈H，K〉一定可分解为有限多个H与K的乘积．因此，如果H与K都是s－置换的，则〈H，K〉也是．定义 1．2［17］群G的一个子群H在G中称为弱s－置换的，如果G中存在一个次正规子群T，使得HT=G且T∩H≤HsG，其中HsG为含于H的G的最大s－置换子群．对弱s－置换子群，有以下基本性质:引理 1．3［17］设H≤K≤G，则有1)如果H在G中s－置换，则H在G中是弱s－置换的;2)假设H是群G的正规子群，则K/H在G/H中弱s－置换当且仅当K在G中也是弱s－置换的;3)如果H在G中弱s－置换，则H在K中也弱s－置换;4)假设H是群G的正规子群，若在G中弱s－置换的子群E满足(|H|，|E|)=1，则商群HE/H在G/H中也弱s－置换．引理 1．4 设H是群G的s－置换子群，P是G的一个 p－子群．若 p|H|，则P≤NG(H)，进而有Oπ (G)≤N(H)，其中π ={p∣ p|H|}．G证明设Gp为G的包含P的一个Sylow p－子群．因为H是群G的s－置换子群，所以HGp=Gp H为G的一个子群．由p|H|知H为HGp的一个Hall子群．另一方面，由于s－置换子群必为次正规子群，得到H次正规于HGp．但次正规的Hall子群必然正规，因此HHGp．于是P≤Gp≤NG(H)．由 P 的任意性，立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P为准素子群且(|P|，|H|)=1〉≤NG(H)．引理1．5 设G有唯一极小正规子群N．若N为初等交换 p－群且N ≤/Φ(G)，则N=O p(G)=F(G)=C G(N)．证明因为N≤/Φ(G)，所以存在G的极大子群M使得N≤/M．因此G=NM．由N交换，N∩MNM=G．但N极小正规子群，因此N∩M=1．又由N为初等交换 p－群，显然有N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N)．设C=CG(N)，则且C∩MM．于是C∩MNM=G．N的唯一性表明，若C∩M≠1，则N≤C∩M，矛盾于N∩M=1．因此C∩M=1．于是，C=C∩NM=N(C∩M)=N．因此N=Op(G)=F(G)=CG(N)，引理成立．2 主要结果定理2．1 设G为p－可解群．若对于G的任一非Frattini p－主因子 H/K，存在G的 Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p －超可解的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K 为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换．显然，P1 N/N为G/N的一个Sylow子群的极大子群．又由HP1 K有所以P1 N/N不覆盖 H/N/K/N．又因为 N为 p'－子群，由引理1．3的 4)，有P1 N/N 在 G/N 中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N 是p－超可解的，故G也是p－超可解的，矛盾．2)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且N=Op(G)=F(G)=CG(N)．设N是G的任意极小正规子群，由1)及G的p－可解性知N为一个初等交换p－子群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1为Sylow p－子群的一个不覆盖H/K的极大子群，即P1H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为 G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．因此|P1 H ∶P1 K|=1，即P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．由引理1．3的2)，P1 N/N在G/N中是弱s－置换的．显然P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)，因此条件对G/N成立．于是G/N是p－超可解的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p－超可解，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－超可解群的群类是一个饱和群系，可知G为p－超可解，因此NΦ(G)．由引理 1．5 有3)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由2)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群，矛盾．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s－置换的．因此由引理1．4有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由P1是Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是 NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1．于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由 G/N 是 p－超可解，N是p阶的，说明了G也是p－超可解的．这一最后矛盾表明定理成立．注 2．1 定理2．1中G为p－可解群的条件不可去掉．事实上，设G为5次交错群A5，则G的Sylow 3－子群的极大子群都为1，从在A5内是弱s－置换的，但显然A5不是3－超可解的．定理2．2 设p是群 G阶的素因子且(p－1，|G|)=1．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p－幂零的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N，设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K 且在 G 中弱 s－置换．由引理1．6，P1 N/N 为 G/N的一个Sylow子群的极大子群．由HP1 K有H/NP1 K/N=(P1 N/N)(K/N)，所以 P1N/N不覆盖(H/N)/(K/N)．又因为 N 为 p'－子群，由引理 2．3的4)，有P1N/N在G/N中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N是p －幂零的，故G也是p－幂零的，矛盾．2)G的极小正规子群N是p－群．设N是G的任意极小正规子群，由1)知，N 是一个 pd－群．若p2N，则N为p－幂零的，由N的极小性且Op'(G)=1，知N是p－群．又若N≤Φ(G)，则N显然为p－群．设p2 N且NΦ(G)，由定理条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．若 N 不是 p－群，则N=Op(N)≤Op(G)≤L，所以P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理1．4，可得P1∩N≤Op(G)．由 p2|N，P1∩N≠1，从而于是N≤Op(G)，此矛盾说明2)成立．3)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且设N是G的任意极小正规子群，由2)知，N为一个p－群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1不覆盖 H/K，即P1 H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．则|P1 H ∶P1 K|=1，即 P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．又显然有P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)并且根据引理1．3的2)，可得定理条件G/N仍成立．由G的极小性，G/N是p－幂零的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p －幂零，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－幂零群的群类是一个饱和群系，可知G为 p－幂零群，因此NΦ(G)．由引理 1．5，N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立．4)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由3)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G 中弱s－置换．即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理 1．4 有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由 P1是 Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1，于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由N/C 定理，G/CG(N)同构于Aut(N)一个子群．因此但由条件(|G|，p－1)=1，因此 G/CG(N)=1．再由G/N是p－幂零，有G是p－幂零的．推论2．3 设p是群G阶的任意一个素因子．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换且H/KP1K/K，则G是超可解的．证明设p是群G阶的极小素因子，必然有(p－1，|G|)=1，由定理 2．2 以及 Feit －Thompson 奇阶群可解定理，知G是可解的．再由定理2．1，对于任意素数p，G是p－超可解的，因此G为超可解．参考文献【相关文献】［1］徐明曜．有限群导引(上)［M］．北京:科学出版社，1999．［2］GUO W B．The Theory of Classes of Groups［M］．Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，2000．［3］ORE O．Contributions in the theory of groups of finite order［J］．Duke Math J，1939，5(2):431－460．［4］DOERK K，HAWKES T．Finite Soluble Groups［M］．New York:Walter de Gruyter，1992．［5］DESKINS W E．On qusinormal subgroups of finite groups［J］．Math Z，1963，82(2):125－132．［6］KEGEL O H．Sylow－Gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］．Math Z，1962，78(1):205－221．［7］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．X－permutable maximal 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有限群的几乎s-半置换子群
第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04001204有限群的几乎s-半置换子群①郭纪莲,李金宝,陈贵云西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:群G的子群H称为在G中几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=HT,且HɘT在T中是s-半置换的.利用子群的几乎s-半置换性,得到了有限群G为超可解群的一些充要条件.关键词:有限群;几乎s-半置换子群;超可解中图分类号:O152.1文献标志码:A在有限群的研究过程中,正规子群起着十分重要的作用,许多群论研究者从不同的角度对正规子群进行了推广.文献[1]引入了s-半置换子群的概念.文献[2-4]对s-半置换子群进行了研究.文献[5-6]介绍了弱s-半置换子群的概念并对其进行了研究.本文在此基础上,给出了几乎s-半置换子群的概念,并利用其性质来研究它对有限群结构的影响,得到了有限群为超可解群的一些充要条件.定义1设H是群G的子群.称H在G中是几乎s-半置换的,如果G中有一个子群T,使得G=H T,且HɘT在T中是s-半置换的.显然,s-半置换子群为几乎s-半置换子群.反之不然.例1设G=S4,H=<(12)>,T=A4.则G=H T,HɘT=1,且H在G中几乎s-半置换.另一方面,设P3=<(234)>,则P3HʂH P3,且H在G中不是s-半置换的.另外,弱s-半置换子群和几乎s-半置换子群是两个不同的概念.例2设G=C3~S3,H是S3的一个S y l o w3-子群,T=K C2,其中K=C3ˑC3ˑC3,C2是S3的一个S y l o w2-子群.则G=H T,HɘT=1.因为T在G中不是次正规的,所以H在G中是几乎s-半置换的,但不是弱s-半置换的.引理1设G为有限群,HɤG,若H为G的几乎s-半置换子群,则(i)若HɤKɤG,那么H在K中几乎s-半置换;(i i)若N◁_G,H是一个p-群,pɪπ(G),(p,|N|)=1,那么H N/N在G/N中几乎s-半置换;(i i i)若N◁_G,H是一个p-群,NɤH,那么H/N在G/N中几乎s-半置换.证(i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.从而有K=KɘH T=H(KɘT)Hɘ(KɘT)=HɘTɤKɘTɤT由文献[3]知HɘT在KɘT中是s-半置换的.因此H在K中几乎s-半置换.(i i)由假设知,G有子群T,使得G=H T,且HɘT在T中s-半置换.因为(p,|N|)=1,所以NɤO p(G)ɤT.从而有①收稿日期:20120327基金项目:重庆市自然科学基金项目(C S T C,2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:郭纪莲(1986),女,山西吕梁人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:陈贵云,教授.G /N =(H N /N )(T /N ) (H N /N )ɘ(T /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H N /N 在G /N 中几乎s -半置换.(i i i )由假设知,G 有子群T ,使得G =H T ,且H ɘT 在T 中s -半置换.从而有G /N =(H /N )(T N /N ) (H /N )ɘ(T N /N )=(H ɘT )N /N 由文献[3]知,H /N 在G /N 中几乎s -半置换.引理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有正规子群N 使得G /N 超可解,且N 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在G 中是几乎s -半置换的.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例.任取G 的一极大子群M .因为M /(M ɘN )≅MN /N ɤG /N ,所以M /(M ɘN )超可解.由引理1知M ɘN 的每个非循环S yl o w 子群的极小子群或4阶循环群在M 中几乎s -半置换,因此M 满足条件假设,故M 是超可解的.从而G 为极小非超可解群.由文献[7]的定理3.4.2和定理3.11.8知:(a )对于素数p ɪπ(G ),G 有非循环的正规S y l o w p -子群P =G U ,使得P /Φ(P )是G 的一个主因子;(b )若p =2,则e x p (P )ɤ4;若p >2,则e x p(P )=p .设x ɪP \Φ(P ),则|x |=p 或|x |=4.由假设知,G 有子群T ,使得G =<x >T ,且<x >ɘT 在T 中s -半置换.假设T <G .因为P /Φ(P )是G 的一个主因子,所以P /Φ(P )是G /Φ(P )的交换的极小正规子群.从而有(P ɘT )Φ(P )/Φ(P )◁_P T /Φ(P )=G/Φ(P )由P /Φ(P )的极小正规性知(P ɘT )Φ(P )=Φ(P )或(P ɘT )Φ(P )=P .若(P ɘT )Φ(P )=Φ(P ),则P ɘT ɤΦ(P ),从而有P =P ɘ<x >T =<x >(P ɘT )=<x >,矛盾;若(P ɘT )Φ(P )=P ,则P ɘT =P ,P ɤT ,G =<x >T =T ,矛盾.所以G =T ,则<x >在G 中s -半置换.设Q ɪS y l q (G ),其中q ʂp .则<x >Q =Q <x > <x >=<x >(P ɘQ )=P ɘ<x >Q ◁_<x >Q 所以Q ɤN G (<x >).由P /Φ(P )的交换性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_P /Φ(P ).由q 的任意性知<x >Φ(P )/Φ(P )◁_G /Φ(P )所以<x >Φ(P )/Φ(P )=P /Φ(P ),<x >Φ(P )=P ,<x >=P ,矛盾.因此极小反例不存在,故G 超可解.定理1 设G 是一个群,那么G 是超可解群当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极大子群在G 中几乎s -半置换.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,设G 为极小反例,设P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_G .(1ʎ)P ɘΦ(G )=1.假设P ɘΦ(G )ʂ1.记R =P ɘΦ(G ).由假设知G /R 有可解的正规子群N /R ,且(G /R )/(N /R )≅G/N 是超可解的.由于R ɤΦ(G ),所以F (N /R )=F (N )/R .设P 1/R 是F (N /R )的任一非循环的S y l o w 子群的极大子群,则由假设和引理1知,P 1/R 在G /R 中几乎s -半置换.因此G /R 满足条件假设.由G 的选择知,G /R 是超可解的,从而G 是超可解的,矛盾.故P ɘΦ(G )=1.(2ʎ)P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 素数阶的极小正规子群.由步骤(1ʎ)和文献[7]的定理1.8.17知,P =R 1ˑR 2ˑ ˑR m ,其中R i (i =1,2, ,m )是G 交换的极小正规子群.下证|R i |=p .因为R i ⊈Φ(G ),于是G 有一极大子群M ,使得G =M R i 且R i ɘM =1.设M p 是M 的S y l o w p -子群.则G p =M p R i =M p P 是G 的一个S yl o w p -子群.设P 1是G p 的一个包含M p 的极大子群,且令P 2=P 1ɘP ,则|P ʒP 2|=|P ʒP 1ɘP |=|G p ʒP 1|=p于是P 2是P 的极大子群.由假设可知,G 有子群T ,使得G =P 2T ,且P 2ɘT 在T 中s -半置换.任取T的一个S y l o w q -子群T q ,其中p ʂq ,则T q 是G 的一个S y l o w q -子群,且(P 2ɘT )T q =T q (P 2ɘT ).因为P 2ɘT =(P 2ɘT )(P ɘT q )=P ɘ(P 2ɘT )T q ◁_(P 2ɘT )T q 31第4期 郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以T q ɤN G (P 2ɘT ).另一方面,由于G =P T ,且P 是交换的,P ɘT ◁_G ,从而P 2ɘT =P 1ɘP ɘT ◁_P 1.因此P 2ɘT ◁_P P 1=G p由上面的讨论,我们有P 2ɘT ◁_G ,因此P 2ɘT ɤ(P 2)G .假设P 2ɘT <(P 2)G ,设N =(P 2)GT ,则G =P 2T =P 2(P 2)G T =P 2N P 2ɘN =P 2ɘ(P 2)G T =(P 2)G (P 2ɘT )=(P 2)G于是存在K ɤG ,使得G =P 2K ,P 2ɘK =(P 2)G .因为P 2是P 的极大子群且P 交换,所以P 2(P ɘM )=P 或P 2(P ɘM )=P 2.若P 2(P ɘM )=P ,则G =P 2(P ɘM )M =P 2M ,从而P =P ɘP 2M =P 2(P ɘM )=P 2(P ɘM p )=P 2(P ɘP 1ɘM )=P 2(P 2ɘM )=P 2矛盾.故P 2(P ɘM )=P 2,因此P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK .假设K <G ,设K ɤK 1且K 1是G 的极大子群,则G =P K 1且P ɘK 1◁_G ,从而(P ɘK 1)M ɤG .由M 的极大性知,(P ɘK 1)M =G 或(P ɘK 1)M=M .若(P ɘK 1)M =G ,则由P ɘM ɤ(P 2)G =P 2ɘK <P ɘK 1知P =P ɘ(P ɘK 1)M =(P ɘK 1)(P ɘM )=P ɘK 1于是P ɤK 1,G =P K =K 1,矛盾.故(P ɘK 1)M =M .从而P ɘK 1ɤM P 2ɘK ɤP ɘK ɤP ɘK 1=P ɘK 1ɘM ɤP ɘM ɤP 2ɘK 故P 2ɘK =P ɘK .因为G =P K =P 2K ,所以|G ʒP |=|G ʒP 2|,矛盾.这一矛盾表明G =K ,从而P 2ɘK =P 2=(P 2)G ◁_G .因此P 2ɘR i ◁_G .由R i 的极小性知,P 2ɘR i =R i 或P 2ɘR i =1.若P 2ɘR i=R i ,则R i ɤP 2,与R i ɤ/P 1矛盾.故P 2ɘR i =1,|R i |=|R i ʒP 2ɘR i |=|R iP 2ʒP 2|=|P ʒP 2|=p(3ʎ)极小反例不存在.由步骤(2ʎ)知,G /C G (R i )是交换的,其中i =1,2, ,m .因此G ᶄɤC G (R i ),于是G ᶄɤC G (F (N )).从而G ᶄɘN ɤC G (F (N ))=F (N ),且G ᶄɘN 的每个G -主因子都是循环的.又因为G /(G ᶄɘN )是超可解的,所以G 是超可解的,矛盾.故极小反例不存在,定理1得证.定理2 设G 是一个群,那么G 是超可解的当且仅当G 有一个可解的正规子群N ,使得G /N 是超可解的,且F (N )的每个非循环的S y l o w 子群的极小子群或4阶循环子群在G 中几乎s -半置换.证 必要性是显然的,只需证充分性.假设充分性不真,且设G 为极小反例.设p 是|F (N )|的最小素因子,P ɪS y l p (F (N )).因为P c h a r F (N )◁_G ,所以P ◁_N .(1ʎ)F (N )ʂN ,C N (F (N ))ɤF (N ).若F (N )=N ,由引理2知G 超可解,矛盾.因为N 是可解群,所以C N (F (N ))ɤF (N ).(2ʎ)设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V ),q ɪπ(V /P ),那么p ʂq .若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.因为V /P 是幂零群,Q P /P c h a r V /P ◁_N /P ,所以Q P ◁_N .若p =q ,则Q P ɤF (N ),与P ɪS y l p (F (N ))矛盾.由引理2知P Q 是超可解的.若p <q ,则Q c h a r P Q ◁_N ,从而Q ɤF (N );若p >q ,则p >2.因为p 是|F (N )|的最小素因子,所以F (N )是q ᶄ群.设R ɪS y l r (F (N ))且r ʂp .则r ʂq 且[R P /P ,Q P /P ]=1,从而[R ,Q ]ɤP .假设有x ɪQ ,则x ɪC N (P ).因为V /P 幂零,由文献[8]的定理5.3.6知[R ,<x >]=[R ,<x >,<x >]=1,从而x ɪC N (F (N )).由步骤(1ʎ)知C N (F (N ))ɤF (N ),所以x ɪF (N ),与F (N )是q ᶄ-群矛盾,从而Q ɘC N (P )=1,即C Q (P )=1.(3ʎ)p >2.若p =2,由步骤(2ʎ)知,当p <q 时,Q ɤF (N ).所以F (N /P )=F (N )/P 且2⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N )/P 的任意极小正规子群,则|x |=r ,r ʂ2.由假设和引理1知,F (N /P )的每个极小子群在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(4ʎ)极小反例不存在.设V /P =F (N /P ),Q ɪS y l q (V )且q ɪπ(V /P ).由步骤(2ʎ)知,若p <q ,则Q ɤF (N );若p >q ,则C Q (P )=1.当p >q 时,由步骤(3ʎ)和文献[7]知Q 是循环的.由步骤(2ʎ)知p ⫮|F (N /P )|.设<x >P /P 是F (N /P )的非循环S y l o w 子群的极小子群.则<x >也是F (N )的非循环S y l o w 子群的极小子群.由假设和引理1知<x >P /P 在G /P 中几乎s -半置换,因此G /P 满足条件假设.由G 的选择知G /P 是超可解的.由引理2知G 是超可解的,矛盾.因此极小反例不存在,定理2得证.参考文献:[1]陈重穆.关于S r i n i v a s a n 的一个定理[J ].西南师范大学学报:自然科学版,1987,12(1):1-4.[2] C H E NZ h o n g -m u .G e n e r a l i z a t i o n o f t h e S c h u r -Z a s s e n h a u sT h e o r e m [J ].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s ,1988,18(3):290-294.[3] Z HA N G Q i n -h a i ,WA N GL i -f a n g .T h e I n f l u e n c e o f s -S e m i p e r m u t a b l eS u b g r o u p s o n t h eS t r u c t u r e o fF i n i t eG r o u p [J ].A t c aM a t h e m a t i c sS i n i c a ,2005,48(1):81-88.[4] WA N G L i -f a n g ,WA N G Y a n -m i n g .O n s -S e m i p e r m u t a b i l i t y M a x i m a l a n d M i n i m a lS u b g r o u p so fF i n i t eG r o u p s [J ].C o mm A l ge b r a ,2006,34(1):143-149.[5] 祝 明,曹洪平.s *-半置换子群与有限群的p -幂零性[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):17-20.[6] X U Y o n g ,L IX i a n -h u a .W e a k l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s o f F i n i t eG e o u p s [J ].F r o n t C h i n a ,2011,6(1):161-175.[7] 郭文彬.群类论[M ].北京:科学出版社,2000.[8] G O R E N S T E I N D.F i n i t eG r o u p s [M ].N e w Y o r k :H a r pe r a n dR o wP u b l i s h e r s ,1968.N e a r l y s -S e m i p e r m u t a b l e S u b g r o u p s of F i n i t eG r o u ps G U OJ i -l i a n , L I J i n -b a o , C H E N G u i -y u n S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :As u b g r o u p H o f a g r o u p G i s s a i d t on e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e i n G i f G h a s a s u b g r o u p T s u c h t h a t G =HT ,a n d H ɘT i s a n s -s e m i p e r m u t a b l e o f T .W i t hn e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e s u b g r o u p s ,s o m e s u f -f i c i e n t a n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n s o f s u p e r s o l u b l e g r o u p s a r e o b t a i n e d i n t h i s p a pe r .K e y w o r d s :f i n i t eg r o u p ;n e a r l y s -s e m i p e r m u t a b l e ;s u p e r s o l u b l e g r o u p 责任编辑 廖 坤51第4期 郭纪莲,等:有限群的几乎s -半置换子群Copyright ©博看网. 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次正规嵌入子群与有限群的可解性(II)
２０１４年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版S e p．２０１４第３１卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３１N o．３文章编号:１００２Ｇ８７４３(２０１４)０３Ｇ００１８Ｇ０５次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I)∗黄㊀琼１,２,姚盛贵１,韦华全１,杨立英１,刘㊀丹１,任素梅１(１．广西师范学院数学科学学院,广西南宁５３００２３;２．广西体育运动学校,广西南宁５３００１２)摘㊀要:群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G)或MɪF２(G)或存在G的可解极大子群M,存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．关键词:可解群;次正规嵌入子群;S y l o w２－子群;极大完备;强θ－完备中图分类号:O１５２．１㊀㊀文献标识码:A１㊀引㊀言本文之群皆指有限群,所用术语和符号都是标准的．有限群的可解性和非可解性是有限群论的两个主要的研究方向．由于许多群论工作者的努力,可解群的研究有了非常大的发展:新概念的引入,新工具和新方法(包括纯群论方法与表示论方法)的采用,新方向的开拓等不断地增强它的生命力．１９９８年赵耀庆在[１]中提出了θ－完备的概念．２００４年,李世荣和赵耀庆[２]通过定义sＧ完备削弱了极大完备,并得到了有限群可解的若干个结论．２００６年,杜妮和李世荣在[３]中提出了强θＧ完备的概念,这一概念的提出,去掉了θＧ完备的 极大 这一条件,并得到有限群可解的一些新的判别准则,推广了一些相关定理．２００７年,宋玉和韦华全在[４]中给出了一些关于极大完备,θＧ完备,sＧ完备和强θＧ完备等的相关定理的证明,进一步在较弱的条件下,研究有限群的可解性．本章利用极大完备,正规完备和强θＧ完备对有限群的S y l o w２Ｇ子群的极大子群和循环子群的次正规嵌入性进行研究,得到了有限群可解的一些结果．２㊀定义及引理定义２．１([５])㊀设H是群G的子群．H称为G的次正规嵌入子群,若H的S y l o w子群也是G的某个次正规子群的S y l o w子群．引理２．２㊀设G是群,则(１)若H◁◁G,MɤG,则HɘM◁◁M;(２)若N G,且H◁◁G,则HN/N◁◁G/N．引理２．３([５])㊀设N是群G的正规子群,H是G的次正规嵌入子群,则(１)若HɤMɤG,则H在M中次正规嵌入;(２)HN/N在G/N中次正规嵌入．定义２．４([６])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个完备,如果C ⊈M,而C的每个GＧ不变真子群都在M中．若用K(C)表示C的所有GＧ不变真子群之积,则K(C)＜收稿日期:２０１４Ｇ０７Ｇ１０∗基金项目:国家自然科学基金(１０９６１００７,１１１６１００６);广西自然科学基金(０９９１１０１,０９９１１０２)作者简介:黄琼(１９８４－㊀),女,硕士,主要从事群论研究．E m a i l:４１８０６８０６６＠q q．c o m第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) １９㊀ C且K(C)◁G,M在G中的所有完备作成一个集合,记为I(M),叫做M在G中的指数复合．I(M)按集合包含关系作成一个偏序集,其极大元称为M的极大完备．注２．５([７])㊀若CɪI(M)且C◁G,则称C为M的正规完备．显然,正规完备必为极大完备．注２．６([７])㊀对于群G的任一极大子群M,I(M)必有正规完备．定义２．７([８])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个θＧ完备,如果C满足:(１)C⊈M;(２)M G⊆C;(３)C/M G不真含G/M G的异于１的正规子群．定义２．８([３])㊀设C是关于M的θＧ完备,称C为关于M的强θＧ完备,如果C＝G或存在G的子群B,使得(１)C是B的极大子群;(２)B不是关于M的θＧ完备．注２．９([３])㊀极大θＧ完备必定是强θＧ完备,但强θＧ完备未必是极大θＧ完备．定义２．１０([９])㊀设G是群．记F(G)＝{M M＜ G},F p(G)＝{M MɪF(G)且M非pＧ幂零},F c(G)＝{M MɪF(G)且GʒM是合数},F d(G)＝{M MɪF c(G)且对任意pɪπ(G),GʒMʂp２},F p(G)＝{M MɪF(G)且有PɪS y l p(G)使N G(P)ɤM},F p d(G)＝F p(G)ɘF d(G)ɘF p(G),F o d(G)＝ɣpɪπ(G)－２F p d(G)．定义２．１１([９])㊀若F p(G)非空,S p(G)＝ɘ{M MɪF p(G)};否则S p(G)＝G．若F o d(G)非空, S o d(G)＝ɘ{M MɪF o d(G)};否则S o d(G)＝G．引理２．１２([１０,定理１．７])㊀设G为有限群,则下述两条均为G可解之充要条件:(１)G的合成因子皆为素数阶循环群;(２)G的主因子皆为素数幂阶的初等交换群．引理２．１３([９])㊀设G是群,则S２(G)和S o d(G)都是可解群．引理２．１４([１１])㊀设G是一个群,N◁G使得G/N有唯一极小正规子群U/N．令M是G的一个极大子群且满足:M包含N,但不包含U．并且令C是I(M)的一个极大元．进一步假设U/N不是C/K (C)的截断,那么(１)N＝K(G);(２)C是U C的极大子群．引理２．１５([１２])㊀设M为群G的幂零极大子群,若M的S y l o w２Ｇ子群的极大子群都在G中次正规嵌入㊁则G可解．引理２．１６([１２])㊀若群G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群均在G中次正规嵌入,则G可解．３㊀主要结果定理３．１㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集合{U U G且G＝UM}中取极小者C,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜２０㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K(C)．取P１/K (C)＜ P/K(C),那么P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF o d(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM但U M而MɪF o d(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．２㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集{U U G且G＝UM}中取极小者C,显然C G,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K (C)．取P１/K(C)＜ P/K(C),则P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM,但U M而MɪF２(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．３㊀群G可解当且仅当存在G的可解极大子群M及I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀必要性是显然的．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．若NM＝G,则G/N≅M可解,与G/N非可解矛盾．故NM＜G．第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) ２１㊀ 因M＜ G,故NɤM．若U⊆M,则U可解,可推出U/N可解,矛盾,所以U⊈M．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．因此U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．４㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G 的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,K(C)⊆M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,M G⊆M,故M GɤK (C)ɤM．又因K(C)G,所以K(C)ɤM G,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零．设P/M GɪS y l２(C/ M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G 在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF o d(G/N)使得U/N M/N．故存在M＜ G,使得NɤM,但U⊈M而MɪF o d(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．５㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,则由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,C/M G不真含G/M G异于１的正规子群,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零,设P/M GɪS y l２(C/M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是２２㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．故存在M＜ G 使得NɤM,但U⊈M而MɪF２(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．参考文献:[１]㊀Z HA O Y Q．O n t h e i n d e x c o m p l e xo f am a x i m a l s u b g r o u p a n ds u p e r s o v a b l eo f a f i n i t e g r o u p[J]．C o mm A l g e b r a,１９９６,２４:１７８５Ｇ１７９１．[２]㊀L I SR,Z HA O Y Q．O n sＧC o m p l e t i o n s o fM a x i m a l S u b g r o u p s o f F i n i t eG r o u p s[J]．A l g e b r aC o l l o q u i u m,２００４,１１(３):４１１Ｇ４２０．[３]㊀杜妮,李世荣．关于有限群极大子群的强θＧ完备[J]．数学年刊:A,２００６,２７(２):２７９Ｇ２８６．[４]㊀宋玉．极大子群特性与有限可解群[D]．南宁:广西师范学院,２００７．[５]㊀黄琼,韦华全,杨立英,等．次正规嵌入子群与有限群的pＧ幂零性[J]．广西科学,２０１１,１８(４):３２５Ｇ３２８．[６]㊀D E S K I N S W E．O nm a x i m a l s u b g r o u p s[J]．P r o cS y m p o sP u r eM a t h,１９５９,１:１００Ｇ１０４．[７]㊀杨立英,宋玉．极大子群的次正规完备与有限群的可解性[J]．四川师范大学学报:自然科学版,２０１１,３４(５):６５５Ｇ６５８．[８]㊀Z HA O Y Q．O nt h eD e s k i n s c o m p l e t i o n s,t h e t ac o m p l e t i o n sa n dt h e t a p a i r s f o rm a x i m a l s u b g r o u p s(I)[J]．C o mmA l g e b r a,１９９８,２６:３１４１Ｇ３１５３．[９]㊀韦华全．子群特性与有限群结构[D]．广州:中山大学,２００６．[１０]D O E R K K,HAWK E ST．F i n i t eS o l v a b l eG r o u p s[M]．B e r l i nＧN e w Y o r k:W a l t e r d eG r u y t e r,１９９２:５３Ｇ６０．[１１]徐明曜．有限群导引(下册)[M]．北京:科学出版社,１９９９．[１２]杨立英,韦华全,黄琼,等．次正规嵌入子群与有限群的可解性(I)[J]．广西师范学院学报:自然科学版,２０１３,３０:１８Ｇ２１．S u b n o r m a l l y E m b e d d e dS u b g r o u p s a n dS o l v a b i l i t y o f F i n i t eG r o u p sH U A N GQ i o n g１,２,Y A OS h e n gＧg u i１,W E IH u aＧq u a n１,Y A N GL iＧy i n g１,L I UD a n１,R E NS uＧm e i１(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a;２．G u a n g x i S p o r t sS c h o o l,N a n n i n g５３００１２,C h i n a)A b s t r a c t:G i s s o l v a b l e i f a n d o n l y f o r e a c h MɪF o d(G)o r e x i s t i n g s o l v a b l em a x i m a l s u b g r o u p M i n G, t h e r e i s am a x i m a l e l e m e n t C i n I(M)s u c h t h a t C/K(C)i s n i l p o t e n t a n d o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i s c o n t e n t e d．(１)A m a x i m a l s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G;(２)A c y c l i c s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G．K e y W o r d s:s o l v a b l e g r o u p;s u b n o l r e a l l y e m b e d d e ds u b g r o u p;S y l o w２Ｇs u b g r o u p;m a x i m a l c o mＧp l e t e;s t r o n gθＧc o m p l e t e[责任编辑:班秀和]。
所有极大子群皆交换或正规的有限群
所有极大子群皆交换或正规的有限群雒晓良;秦鑫【摘要】本文研究了极大子群或者交换或者正规的有限群的结构.首先我们证明了这类群为可解群并且G/f(G)幂零.其次通过分析这类群的子群,给出了这类群的一个充要条件以及一些结构性质.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】3页(P1-3)【关键词】可解群;极大子群;幂零长;A-群;非幂零群【作者】雒晓良;秦鑫【作者单位】吕梁学院数学系,山西离石,033000;吕梁学院数学系,山西离石,033000【正文语种】中文【中图分类】O152.1每个极大子群都交换的有限非交换群即内交换群由陈重穆老师在文献［1］已经给出了完全的刻画，而每个极大子群都正规的有限群是幂零群，因此自然地我们考虑极大子群或者交换或者正规的有限群.因为幂零群的每个极大子群都是正规的，所以我们在本文中只讨论非幂零的情形.为了证明本文的结论，我们需要一些引理.引理1［2］(Feit-Thompson)设G是有限群，若G是奇数阶群，则G是可解群.引理2设G是有限群，如果G是2-幂零的，则G为可解群.证明已知G是2-幂零的，从而G中存在正规的Hall 2'-子群设为H.此时H是奇数阶群，由引理1知H为可解群，而G/H是2-群且2-群都是可解群，从而G为可解群.引理3［3］设G是有限群，N◁G且N为交换群，若N∩Φ(G)=1，则N在G中有补.引理4［2］设G是有限群，K◁G，则Φ(K)≤Φ(G).引理5［2］［P.Hall三子群引理］设A，B，C是有限群G的子群，N◁G.若［B，C，A］≤N，［C，A，B］≤N，则［A，B，C］≤N.引理6［2］(Deskins，Janko和Thompson)设H是有限群G的极大子群.若H为幂零群，且H的Sylow 2-子群的幂零类小于2，则G为可解群.引理7设G是有限群，H是G的Hall π-子群且NG(H)≤M，则M=NG(M).证明令N=NG(M)，此时M◁N，H≤M且H是M的Hall π-子群，从而由Frattini论断，有N= MNN(H)≤MNG(H)≤M，故可得M=NG(M).定理1如果有限群G的每个极大子群或者交换或者正规，则(1)G是可解群;(2)G的幂零长nl(G)不超过2(即G/F(G)幂零).证明(1)如果存在G的可解正规子群N，而显然G/N满足假设条件，则由归纳法可知G/N可解，从而G可解.故以下假设G中没有可解的正规子群.如果G的所有极大子群都非交换，则由题设可知G的极大子群都正规，即G幂零.从而假设G中存在交换的极大子群M.若M是奇阶群，则由Thompson定理即引理6得G可解.M是偶阶群时，取M的Sylow 2-子群P，显然NG(P)≥CG(P)≥M.而因G中没有可解的正规子群即NG(P)＜G.而又因M是G的极大子群，故NG(P)=CG(P)=M.由Burnside定理得G是2-幂零的，从而由引理2得G可解.(2)设G是极小阶反例.取G的极小正规子群N，因为G/N仍然满足引理条件，所以由G的极小性得nl(G/N)≤2.若M是G的另一极小正规子群，则也有nl(G/M)≤2，于是nl(G)≤max{nl(G/N)}，{nl(G/M)}≤2，矛盾.故我们可设G只有唯一的极小正规子群N.若N∩Φ(G)≠1，则因N∩Φ(G)◁G，由N的极小正规性得N≤Φ(G)，于是nl(G)=nl(G/N)≤2，矛盾.若N∩Φ(G)=1，由引理3可知存在M≤G使得G=M∝N(N和M的半直积).因为N是G的唯一极小正规子群，所以M在G中不正规.此时可证M是G的极大子群，否则存在G的极大子群H，使得M＜H，显然H∩N◁H，而N是可解群G的极小正规子群，即N交换，从而H∩N◁N，于是H∩N◁HN =G，故得H∩N=1，即H与M均为N在G中的补且M＜H，矛盾.从而由引理条件推出M一定是交换群.于是G的幂零长nl(G)≤2，矛盾.引理8设H是有限群G的Hall子群.若G的极大子群或者交换或者正规，则H或者交换或者在G中正规.证明若H在G中不正规，则存在G的极大子群M使得NG(H)≤M.由引理7知M 在G中不正规，即M交换.从而H交换.称有限群G是A-群，如果G可解且其所有Sylow子群都是交换群.Huppert在文献［3］中系统地研究了A-群的性质.引理9设有限群G是非幂零A-群.如果G的每个极大子群或者交换或者正规，则存在G中正规的Sylow子群P使得G/P交换.证明设p∈π(G)，P∈Sylp(G).假设P在G中不正规，则存在G的极大子群M使得NG(P)≤M.由引理7知M在G中不正规，即M交换.从而NG(P)交换，故NG(P)=CG(P)，于是由Burnside定理得G是p-幂零的.故对任意素数p∈π(G)，或者G的Sylow p-子群正规或者G是p-幂零的.令π={p∈π(G)|G的Sylow p-子群正规}.显然π不是空集.设H和K分别为G的Hallπ-子群和Hallπ'-子群，则H是G的幂零的正规子群.对∀q∈π'有G是q-幂零的，从而K是q-幂零的，因此K也是幂零的.因为G非幂零，必然存在H的Sylow子群R，使得KR≤G非交换，由引理8即KR在G中正规即KR/R，◁G/R，而因KR/R≅K幂零，故有G/R=H/R×KR/R幂零，而由题G为A-群，故G/R为A-群.于是G/R交换.定理2设有限群G是非幂零的，则G的每个极大子群或者交换或者正规当且仅当G满足下述条件:(1)存在G中正规的Sylow p-子群P使得G/P交换;(2)令M为G的极大子群，则或M◁G或M=A Z(G)p，其中A是G的某个Hallp'-子群，Z(G)p是Z(G)的Sylow p-子群.证明充分性显然，下证必要性.若G是A-群，则由引理9知G中存在正规的Sylow p-子群P使得G/P是交换的.若G中存在非交换的Sylow子群P，不妨设为Sylow p-子群.由引理8有P◁G.取G的Sylow q-子群Q，其中q≠p.因PQ非交换，由引理8得PQ◁G.故G/P是幂零的.如果G中存在另一个非交换的Sylow子群R，则类似可知G/R幂零，从而G是幂零的，矛盾.因此P是G的唯一的非交换Sylow子群，从而G/P交换.总之，存在G中正规的Sylow子群P使得G/P交换，令P为Sylow p-子群.因为G非幂零，则G/Z(G)非幂零，从而存在G/Z(G)的非正规的极大子群，令为M/Z(G).此时M在G中不正规，从而M是交换的.如果|G/Z:M/Z|是p'-数，则P≤M.从而因G/P是交换群可得M◁G，矛盾.而由定理1知G可解，即G/Z(G)可解，故|G/Z(G):M/Z(G)|是p的幂.令A是M的Hall p'-子群，Mp是M的Sylow p-子群，易知A同样是G的Hall p'-子群并且是交换群.从而G=PA.因G的Sylow p-子群正规，则M=MpA和Mp=Cp(A).结合引理4和P◁G，我们有Φ(P)≤Φ(G)≤M，从而Φ(P)≤Cp(A).此时Cp(A)◁P.此时易知［A，Cp(A)，P］=1和［Cp(A)，P，A］=1.从而由三子群引理5有［P，A，Cp(A)］=，1则因为P=Cp(A)［P，A］得Cp(A)≤Z(P).故Cp(A)≤Z(G)，于是Cp(A)=Z(G)p.因此M=AZ(G)p.【相关文献】［1］陈重穆.内外Σ群与极小非Σ群［M］.重庆:西南师范大学出版社.1988.［2］徐明曜.有限群导引(上，下)［M］.北京:科学出版社.2001.［3］Huppert B.Endliche gruppen I［M］.Berlin and New York:Springer-Verlag.1967. ［4］李晓华，肖光灿.子群皆次正规或自正规的有限群［J］.四川师范大学学报(自然科学版).2000，23(5):479～481.［5］Luo X L，Guo X Y.Finite groups in which every non-abelian subgroup is s-permutable［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2009，33 (6):1143～1147.。
利用极大子群的正规指数判定有限群的可解性
且 当（ Ｎ ｌ声 一１ 等号成 立． １ ，） 时 引理 １ ３ 群 Ｇ可解 当且仅 当对 于 Ｇ 的每 一个极 大子 群 Ｍ 都有 刁 Ｇ ： 一 Ｉ ： Ｊ ．口 （ Ｍ） Ｍ Ｇ ． 引理 １ ４ ０ 设 Ｇ是含 有幂 零极 大子 群 Ｍ 的非 可解 群 ， 为 Ｍ 的 ２ 补 ， Ｕ Ｇ， （ Ｚ（ ， ． ｎ］ Ｕ 一 则 Ｚ Ｕ） Ｇ）
有限群 ； 大子群 ； 极 正规 指 数 ； 解 性 可 Ｏ ５ ． １３１ 文 献标 志码 Ａ
中图 分 类 号
１ 引言 与 定 义
极 大子 群在讨 论有 限群 的结构 中有 着非 常重要 的作 用 ， 通过 赋予有 限 群 的极 大 子群一 些 条 件 ， 察 考 这些 条件对 群结 构 的影响 ， 单群 分类 定理 完 成 之后 其研 究 地 位 更显 突 出． ｓ ｉｓ１ ５ 在 Ｄｅｋｎ ９ ９年 在 文献 ［ ］ １
利用 归纳法 证 明 限群 的性 质 提 供 了 理论 依 据． ｋ ｅｊｅ Ｐ ａ ｉ Ｂ ａｔｈ ｒａ在 文 献 ［ ］ 文 献 Ｎ Ｐ Ｍｕ ｈ ｒ ， ｒｂｒ ｈ ｔ ａｙ ｅ ａ ３及 Ｉ ］ 文 中利用正 规指 数对有 限群 的可 解 ， 可解 ， － 两 ４ 幂零 ， 幂零 及超 可解 等性 质作 了广泛 的研究 ． 本 文 中从几类 特殊 的极 大子 群 出发 ， 用 极 大子 群 的 正 规 指数 来 刻 划 有 限 群 Ｇ 的可 解 性 ， 到 几 利 得
其 中 ｝ ： ｝ 表示 ｝ ； ｝ Ｇ Ｍ Ｇ Ｍ 的 部分 ； 。 Ｇ） ｛ ｝ 为 Ｇ 的 ｃ极 大子 群 且 Ｍ 非幂 零 ） 其 中 Ｍ 为 Ｇ Ｆ（ 一 Ｍ Ｍ 一 ，
的 ｃ极大 子群表 示 ｉ ： ｌ 一 Ｍ 为合数 ； Ｇ） Ｍ ｝ 为 Ｇ 的 ｃ极 大 子群 且 Ｉ ： Ｉ ＝１ Ｐ为 ｌ 中最 大 Ｇ Ｆ （ ＝｛ Ｍ 一 Ｍ ＝ ， Ｇ ＝ Ｇ｝ 素 因子 ） Ｆ （ 一 ｛ ＜ ・ ｌ ： ｆ Ｐ ， ； Ｇ） Ｍ Ｇｌ Ｇ Ｍ ≠ Ｖ素数 Ｐ，一１ ２ ． ｉ ，｝ 定义 Ｇ 的 ５个 特征 子 群 如 下 ： Ｇ） Ｎ｛ ｌ ∈Ｆ （ ｝ （ 一 Ｎ｛ ｌ ＥＦ （ ｝ （ 一 ｊ（ ＝ ＆ Ｍ Ｍ Ｇ） ， Ｇ） Ｍ Ｇ） ， Ｇ） Ｍ ｎ｛ ｌ ∈Ｆ （ ｝ （ 一 Ｎ｛ ｌ ∈Ｆ （ ） （ 一 Ｎ｛ Ｍ Ｍ 。Ｇ） ， Ｇ） Ｍ Ｍ Ｇ） ， Ｇ） Ｍ＜ ・ ∈Ｆ （ ） ． Ｇｌ Ｍ ｓＧ ）
弱c-正规子群与有限群的可解性
（ ）对每 个 素数集 合 ７， ２ ｒＧ都是 ７ 可解群 ； ｒ 一
（ ）对 每个 素数 Ｐ Ｇ都 是 Ｐ 可解 群． ３ ， 一 引理 ６ 设 Ｇ为群 ， Ｇ中存 在弱 Ｃ 正规 Ｓ ｌｗ 则 一 ｙｏ
２ 主 要 结 果
定理 ｌ ［ 设 Ｈ为群 Ｇ的子群 ， Ｈ的每 一个 若
１ 引言 及 预 备 知 识
２０ ００年 ， ［ ］ 文 １ 引进 了弱 Ｃ 正规 子 群 的概 念 ， 一 并 利 用 弱 Ｃ 规 子 群 研 究 群 的 结 构．本 文 在 文 一正 ［４］的基 础上 运用 弱 Ｃ正 规子 群对 有 限群 的结构 ２ 一 进行 了讨论 ． 。Ｇ）表示 Ｇ中 的最 大 正 规 Ｐ 子 群． Ｄ（ 一 其 它符 号见 文 ［ ］本 文 中 的群均 为有 限群． ５．
Ｊ ｎ ．０ ８ ａ ．２ ｏ
Ｖｏ ． １ ３１． Ｎｏ． １
弱ｅ 一 正规子群 与有限群 的可解性
陈德 勤 ， 刘仕 田 ， 苏跃 斌
（ 四川理工学院 数学系 ，四川 自贡 ６ ３０ ） ４０ ０
摘要 ： 讨论 了弱 ｃ 正规子群的性质 ， ・ 并利用其性质给出 了一个群可解 的一些充分条件． １ （ ）设 日为 群 Ｇ
正 规于 Ｇ， 则 ｑ ． Ｇ 引理 ３ 奇数 阶群 必 为可解 群． 引理 ４ 设 Ｇ为有 限群 ， Ｈ为 Ｇ的一个子 群． 那
Ｇ ＝Ｋ Ｐ， Ｐ ｎ Ｋ ＝ Ｏ （ ｐ Ｇ）＝Ｐ ， ｃ 则 Ｐ为 Ｇ中弱 Ｃ 正规 Ｓ ｌｗＰ 子群． 一 ｙｏ 一
设 Ｇ中存在 弱 Ｃ 正规 ＳｌｗＰ 子 群 ， 一 ｙｏ 一 由充分 性 证 明知 ： Ｐ 幂零 群 ， 由于 Ｏ （ ）为 Ｐ 群 ， 以 Ｇ为 一 又 ｐＧ 一 所
关于正规子群的可解性
摘
８５ ０ ） ３ ００
要 ： 讨 了 日 Ｍ ， 为 Ｇ的极 大子 群 ， ｎ Ｍ 满 足 一 定 条件 时 ， 规 子 群 Ｈ是 可 解 的 ． 探 Ｍ ３ － ＂ Ｈ 正 文献标识码 ： Ａ 文 章编 号 ： ６２ １３ ２１ ）２ ０６ ２ １７ —８７ （０ １０ —０２ —０
引理 １ １ 如果 群 Ｇ有 一个可 解正 规子群 Ｈ， ． Ｅ 并且 商群 ＧＨ 是可 解 的 ， 么 Ｇ也是 可解 的 ． ／ 那 引理 １ ２ （ ｅ —Ｔ ｏ ｐｏ ） ． … Ｆ ｉ ｈｍ ｓｎ 奇数 阶群 必可解 ． ｔ
引理 １ ３ （ ｒｔｎ 论 断 ） ． Ｆａ ｉｉ ｔ 没 ｑ ， ∈ ｓｌ（、 则 Ｇ： Ⅳｃ Ｐ）Ｎ ． Ｇ Ｐ ｙｐ 』）， Ｉ ， （ 引理 １ ４ （ ． 第一 同构 定理 ） Ｈ ≤ Ｇ， ３ 则 （ ｎ Ｋ） ， Ｈ ／ 兰 Ｈ／Ｈ 设 Ｋ＜ Ｇ， ｑ Ｈ 且 Ｋ Ｋ （ ｎ Ｋ）． ２ 主 要 结 果 定 理 １令 Ｇ是 有 限群 ，Ｈ＜ Ｇ ， 对 每一个 满足 Ｈ Ｍ 的极大 子群 Ｍ， Ｍ 可解 ， Ｈ可解 ． ３ 若 有 ｎＨ 则 证： 假设命 题不 真 ， （ Ｈ） 极小 阶反 例 ． 可 以假 设 Ｈ ＞ １ Ｈ非 可解 ． Ｎ是含于 Ｈ的 Ｇ的极 Ａ 设 Ｇ， 是 故 且 设 ｑＥ
收 稿 日期 ：０ ０ ９ ６ ２ １ —０ —２
基 金 项 目 ：０９年 度 大 学 生科 研 课 题 （０ ９ｓ３ ２０ ２０ ｘ１ ）
作 者 简 介 ： 启 发 （９５ ， ， 徽 安 庆 人 ， 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： 与 代 数 乔 １８ 一） 男 安 硕 研 环
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２ ６ ・
关于有限群的可解性
ｎ Ｈ＜Ｇ， 称 Ｍ 在 Ｇ 内是几 乎正规 的， 则 亦称 Ｍ 是 Ｇ的几 乎正规子群． Ｈ 称 为 Ｍ 在 Ｇ 将 内的一个几 乎正规补 ． 在 Ｇ 内的几 乎正规补 的全 体所 成集合记 作 Ａ （ ． Ｍ Ｎｙ Ｍ） 显然， 正规子群 一定是 几乎 正规 的 ， 反之未必 ， ３ 对称群 ＆ 的子群 《１ ） 就是 但 如 次 （２ ＞ Ｓ 的 几 乎 正 规 子 群 ， 却 不 是 正 规 的 ． 但
（３ 当 ＭＧ １ Ｍ 必为 Ｇ的 Ｈ ｌ子群 ．事实上， ２ ＝ 时， ａ ｌ 任取素数 ＰｌＭ ＩＭ ｌｐ ， ， Ｅｓ Ｍ ｌ ｙ
则 Ｍ Ｇ中不 正规 ．因Ｍ 幂 零 ， Ｍ — 在 故
一
（ ３ Ｎｃ Ｍｐ ， Ｍ 为极太 子群 ， 以 Ｍ Ｍ ≤ （ ）而 所 Ｅｓ￣． ｙＧ ｌ
Ⅳ （ ） 必有 Ｍｐ ｓ — ． Ｇ珥 ， ∈ Ｉ Ｇ 若不然， ｙ 存在 Ｇ ∈ ｓ Ｇ 使得 Ｍｐ Ｐ ， ＜ ， 而 Ｍｐ 从 ＜
ＮＧ（ ） ｐ ≤ （ ）又 Ｎ￣ ， ／Ｍｐ 一 ） ｎＮｃＭｐ ＝ ｆ Ｍ ＝ ， （ ） ｌ 矛盾 ． 故
ｉ ｉ．设对任 取 Ｌ∈ Ｒ ， ： １Ｐ为 Ｉ ： 的公共素 因子 ．因而 Ｎ Ｌ 则 Ｇ ＝ ｉ ） ） ｋ ， Ｇ ＬＩ ，
收精 日期 ： ０ １１ －８ ２ ０ —０ ０ 基 金项 目： 烟台 师 范学 院中青 年 自然科 学基 金资 助谭 题． 作 者 简介 ： 晓静 （ ９ ２ ） 女 ， 师． 王 １７ － ， 讲 硕士 ， 主要 从事 有限 群 论方 面的研 究．
令Ｆ Ｇ＝ ｛ Ｉ 为 Ｇ的包 含某 Ｓ ｉ Ｍ Ｍ ｙｏ ｗ子群 正规化子 的极 大子群 ｝ ． 定义 ２ 一 若 Ｒ ≠ ， 令 －Ｇ） Ｎ ｛ Ｉ ∈ Ｒ ）否则令 （ （ 一 Ｍ Ｍ ， Ｇ）＝ Ｇ ． 由定 义 容 易得 到 （） 。Ｇ） １ （ Ｇ， Ｇ） （ ≤ （ ，２ Ｇ为 幂 零 群 的 充 要 条 件 是 Ｇ Ｇ） （ ）
判定有限群可解性的一种方法
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界可解群是一类常见的群,在Galois 方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G 的可解性的问题转化成寻找G 的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G 是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1设G 为任意群.a,b ∈G ,令[a,b ]=a -1b -1ab ,称为元素a ,b 的换位子.令G ′=〈[a ,b ]|a,b ∈G 〉,称为G 的换位子群.归纳定义G 的n 阶换位子群:G (0)=G ,G (n )=(G (n -1))′,n ≥1.称群G 为可解群,如果存在正整数k 使G (k )=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1(1)设G=M 1×M 2,则G ′=M 1′×M 2′.(2)设H ≤G ,g ∈G ,则(H g )(n )=(H (n ))g ,n ≥1.(3)设H ≤G ,,则(HN /N )(n )=H (n )N /N ,n ≥1.证明(1)∀(a 1,b 1),(a 2,b 2)∈G ,其中a 1,a 2∈M 1,b 1,b 2∈M 2,[(a 1,b 1),(a 2,b 2)]=(a 1,b 1)-1(a 2,b 2)-1(a 1,b 1)(a 2,b 2)=(a 1-1a 2-1a 1a 2,b 1-1b 2-1b 1b 2)=([a 1,a 2],[b 1,b 2])故G ′=M 1′×M 2′.(2)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1g,h 2g]=(h 1g )-1(h 2g )-1h 1gh 2g=(h 1-1h 2-1h 1h 2)g=[h 1,h 2]g,于是(H g )′=(H ′)g .假设(H g )(n -1)=(H (n -1))g ,于是(H g )(n )=((H g )(n -1))′=((H (n -1))g )′=((H (n -1))′)g =(H (n ))g (3)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1N ,h 2N ]=(h 1N )-1(h 2N )-1h 1Nh 2N =h 1-1h 2-1h 1h 2N =[h 1,h 2]N ,于是(HN /N )′=H ′N /N .假设(HN /N )(n -1)=H (n -1)N /N ,于是(HN /N )(n )=((HN /N )(n -1))′=(H (n -1)N /N )′=(H (n -1))′N /N=H (n )N /N .引理2设有限群G ≠1为可解群,则存在p -群M ≠1且M .证明取G 的极小正规子群M (即:1≠M ,∀N ,N ⊆M ,则N =1或M ).∀HcharM ,由M 知,H .由M 的极小性知,H =1或M .故M 为特征单群.有限特征单群是同构单群的直积.[1]设M=M 1×…×M s ,其中M i (i =1,...,s )是同构的单群.因为M ≤G ,所以M (n )≤G (n ),n ≥1,由G (k )=1可得M (k )=1.由引理1(1),M (k )=(M 1×…×M s )(k )=M 1(k )×…×M s (k )=1.于是M i (k )=1(i =1,...,s ).又由M i′M i 及M i 是单群知,M i ′=1.故M i 交换.交换单群是素数阶循环群.故M i 是素数阶循环群.又M i (i =1,...,s )是同构的.故M 是p -群.下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形.引理3设G 是有限群,H ≤G ,K ≤G ,若G ∶H 与G ∶K 互素,则G=HK .证明首先,子集HK 中包含H 的右陪集个数(姑且记作HK ∶H )等于K 中包含H ∩K 的陪集个数K ∶H ∩K .[2]这是因为Hk 1=Hk 2⇔k 1k 2-1∈H ⇔k 1k 2-1∈H ∩K ⇔(H ∩K )k 1=(H ∩K )k 2.于是,G ∶H ≥HK ∶H =K ∶H ∩K .从而,G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K ≤G ∶K G ∶H .又G ∶H 与G ∶K 都是G ∶H ∩K 的因子,且G ∶H 与G ∶K 互素,有G ∶H G ∶K G ∶H ∩K .故G ∶H ∩K =G ∶H G ∶K .而G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K =G ∶K HK ∶H ,于是G ∶H =HK ∶H .故G=HK .引理4若K G ,且K 和G /K 都是可解的,则G 是可解的.[3]证明令ν是G 到G /K 上的自然同态,则ν(G ′)=(ν(G ))′.假设ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),则ν(G (i +1))=ν((G (i ))′)=(ν(G (i )))′=((ν(G ))(i ))′=(ν(G ))(i +1).于是ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),i ≥1.又ν是满同态,从而ν(G(i ))=(G /K )(i ),i ≥1.因此,由G /K 可解知,存在k ≥1使ν(G (k ))=1.于是G (k )⊆K .由K 可解知,存在l ≥1使K (l )=1.于是G (k+l )⊆K (l )=1,从而G 是可解的.定理1设有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.证明对G 用归纳法.G =1显然成立.假设对小于G 成立.下证对G 成立.断言H 1≠1,否则(G ∶H 1,G ∶H 2)=(G ,G ∶H 2)=G ∶H 2≠1(假如G ∶H 2=1,则G =H 2可解),与互素矛盾.断言成立.又H 1可解,由引理2,存在p -群M ≠1且M H 1.因为(G ∶H 2,G ∶H 3)=1,所以p 至多整除G ∶H 2,G ∶H 3中的一个.不妨设G ∶H 2.但由于p H 1,于是p G ,又G =H 2G ∶H 2,故p H 2.设P 是H 2的Sylow p -子群.由于G ∶H 2,H 2∶P ,G ∶P =G ∶H 2H 2∶P ,于是G ∶P ,故P 是G 的Sylow p -子群.由Sylow 定理,任二Sylow p -子群共轭,任一p -子群含于一Sylow p -子群.存在g ∈G ,使M ≤P g ≤H 2g.由G ∶H 2g=G ∶H 2知,G ∶H 1与G ∶H 2g互素,由引理3,G=H 1H 2g.∀x ∈G ,x=x 1x 2,x 1∈H 1,x 2∈H 2g.由M H 1,M ≤H 2g 知,M x=Mx x =M x ≤H 2g.令N =〈M x |x ∈G 〉,于是N ≤H 2g,1≠N G .H 2可解,对某正整数k ,H 2(k )=1,由引理1(2),(H 2g )(k )=(H 2(k ))g=1,故H 2g可解.从而N 可解.由引理1(3),(H 2N /N )(k )=H 2(k )N /N=1,故H 2N /N 可解.同理H 1N /N ,H 3N /N 可解.又G /N ∶H 1N /N =G /N ·(H 1∩N N )/(H 1N )G ∶H 1.同理G /N ∶H 2N /NG ∶H 2,G /N ∶H 3N /NG ∶H 3.故G /N ∶H 1N /N ,G /N ∶H 2N /N ,G /N ∶H 3N /N 两两互素,又G /N <G ,由归纳假设,G /N 可解,由引理4,G 可解.以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.参考文献[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11(1):198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京:科学出版社,1999:6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.[责任编辑:汤静]判定有限群可解性的一种方法崔雪晴陈仁霞(中原工学院理学院,河南郑州450000)【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia(College of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou Henan 450000,China)【Abstract 】It studies the properties of commutator groups,and gets some conclusions about commutator groups.It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime.On the basis,it gives an decision method of the solvability of finite groups,that is,if a finite group G has three solvable subgroups H 1,H 2,H 3,and the indexes G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3are relatively prime,G is solvable.【Key words 】Finite group;Solvability;Solvable subgroups 作者简介:崔雪晴(1984—),女,硕士研究生,助教,研究方向为代数。
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有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g 中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g 表示h是g的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集； (g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参考文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
引理1 若群g的子群h在g中几乎次正规，(1)k是g的子群并且h≤k,则h也k是的几乎次正规子群。
(2)t是g的正规子群且t≤h，则h/t在g/t中几乎次正规当且仅当h/t在g/t中几乎次正规。
证明 (1)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h ∩n g。
注意到k∩n k，我们有(k∩n)h=nh∩k k且(k∩n)∩h=h ∩n k,故h是k的几乎次正规子群。
(2)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h∩n g。
同时注意到nt/t为g/t的次正规子群，我们有(nt/t)∩(h/t)=(n ∩h)t/t g/t且(nt/t)(h/t)=nh/t g/t,即h/t在g/t中几乎次正规。
反之若h/t在g/t中几乎次正规，那么存在s/t g/t使得(s/t)(h/t)=sh/t g/t,且(s/t)∩(h/t)=s∩h/t g/t。
显然s,sh,s∩h都是g中的次正规子群，即h在g中几乎次正规。
引理2 如果群g的阶是奇数阶或为2n阶, 为奇数，则g是可解群。
引理3 (1)若n≤h≤g，且n g，则n h。
(2)若n g，且n1 g,则n1n/n g/n。
(3)若k g,p∈ (g),则对任意gp∈sylp(g)，有k∩gp∈sylp(k)。
从而有h包含g的某个sylowp-子群，则k∩h包含k的某个sylowp-子群。
引理4 如果h是g的次正规子群，那么soc(g)≤ng(h)。
引理5 设g为有限群，m为g的极大子群。
如果m是g的次正规子群，则m是g的正规子群并且|g:m|=p,p为素数。
证明显然m是g的正规子群。
若|g:m|是合数，则g/m必有非平凡子群a/m，由此得到m＜a＜g,与题设矛盾，故有|g:m|=p。
引理 6 设g为有限群，如果g存在极大且幂零子群m，|m|为奇数，则g为可解群。
2 主要结果定理1 设g为有限群,g的任一极大子群在g中几乎次正规，则g为可解群。
证明如果g的任一极大子群在g中指数均为素数，由文献[4]下册p59得g为超可解群，故g为可解群。
设m为g的有合数指数的极大子群，由题设知存在g的次正规子群k使得mk和m∩k均为g的次正规子群。
由极大性知必有m=mk或mk=g。
若m=mk由引理5得m是g的正规子群并且|g:m|是素数，这与假设矛盾，所以mk=g，由文献[8]知g是可解群。
定理2 设g为有限群，若g的所有2-极大子群在g中几乎次正规，则g为可解群。
证明假设定理不成立，设g为极小阶反例。
由定理1和引理1（1）即可得到g的任一极大子群都是可解的，故g是内可解群。
设n是g的一个极小正规子群，若n＜g,则n是可解群。
考虑商群g/n。
由引理1（2）可知g/n满足题设条件，故g/n是可解群，因此g也是可解群。
若n=g，则g是同构单群的直积，设g=n?譔1?譔2?住瓈譔k其中nii=1,2,…,k是与n同构单群，而n=g，故g是单群。
由题设条件可知，g的所有2-极大子群为1，从而g的极大子群为素数阶群。
因此g的所有sylow子群均为素数阶群，由[4,第v章，定理6.2]可知g是可解群。
定理 3 设g为有限群，h为g的可解子群而且包含g的某个sylow2-子群或某个sylow2-子群的极大子群。
若h在g几乎次正规，则g为可解群。
证明 h在g几乎次正规，那么存在g的次正规子群k使得hk和h∩k均为g的次正规子群。
令k0=k∩h,若k0=1则k是奇数阶或2n 阶，n为奇数，由引理2得k是可解群。
若k0≠1，(1)如果h包含g的某个sylow2-子群，由引理3知k0包含k的sylow2-子群，而k0是可解群并且也是k的次正规子群，故有次正规列k0 k1 … kn=k,其中ki-1是ki的最大正规子群,而ki/ki-1是奇数阶（i=1,2,…,n），故都是可解群，所以k也是可解群。
(2)如果h包含g的某个子群sylow2-的极大子群，令p1为包含在h中的g的某个sylow2-子群的极大子群，p为包含p1的g的sylow2-子群，由引理3得p∩k为k的sylow2-子群。
易知2=|p:p1|≥|p∩k:p1∩k|，从而有p1∩k包含k的某个sylow2-子群或k的某个sylow2-子群的极大子群,所以k0=h∩k包含k的某个sylow2-子群或k的某个sylow2-子群的极大子群，并且k0≤h故k0是可解群。
由引理3知k0是k的次正规子群，故有次正规列k0 k1 … kl=k,其中ki-1是ki的最大正规子群, 其中ki/ki-1是奇数阶或2n阶, n为奇数（i=1,2,…, l），故都是可解群，从而k也是可解群。
由引理3知k是hk次正规子群，有次正规列k=h0 h1 h2 … hn-1 hn=hk，其中hi-1是hi的最大正规子群（i=1,2,…,n）,注意到hk=hhn-1，我们有hn/hn-1=hk/hn-1=hhn-1/hn-1 h/h∩hn-1，即hn/hn-1为可解群。
同样有hn-1=hn-1∩(hk)=(hn-1∩h)=h’k,其中h’=hn-1∩h为可解群，我们得到hn-1/hn-2=h’k/hn-2=h’hn-2/hn-2 h’/h’∩hn-2为可解群。
同理可证ki/ki-1（i=1，2，3……n）均可解群，而k也是可解群，从而得到hk是可解群。
由条件hk是g的次正规子群，同样有次正规列g0=hk g1 g2 …gm-1 gm=g，其中gi/gi-1（i=1,2,3,…m）都是奇数阶或2n阶, n 为奇数，故都是可解群，所以g是可解群。
推论1设g为有限群，如果g的某个sylow2-子群或某个sylow2-子群的极大子群在g中几乎次正规，则g为可解群。
推论2 设g为有限群，h为g的可解子群而且包含g的某个sylow2-子群。
若ng(h)在g中几乎次正规，则g为可解群。
证明ng(h)/h是奇数阶从而是可解群，由题设h是可解从而ng(h)是可解群。
由定理3即可得到。
定理4设g为有限群，如果g的sylow2-子群的循环子群在g中几乎次正规，则g是可解群。
证明若定理不成立，设g为极小阶反例。
任取g的真子群h，则由引理1知的sylow2-子群的循环子群在h中几乎次正规。
由极小阶反例可知h可解，从而g为内可解群，由文献[9]得g/ (g)为极小单群。
设p为g的sylow2-子群。
若p≤ (g)，则g/ (g)为奇数阶群，由引理2知g/ (g)可解，从而g可解。
若p g，取x∈p使得x (g)，从而有＜x＞ (g)。
由条件＜x＞在g中几乎次正规，故存在g的次正规子群k使得＜x＞∩k g，＜x＞k g。
若＜x＞∩k=＜x＞，则存在次正规列＜x＞=k1 k2 … kn-1 kn=g，其中kn-1是g的极大正规子群。
而kn-1 (g)是g的正规子群并且有kn-1≤kn-1 (g)≤g,从而得到kn-1 (g)=g或kn-1 (g)=kn-1。
若kn-1 (g)=g得kn-1=g，这与kn-1是g的极大正规子群矛盾。
若kn-1 (g)=kn-1,即得到 (g)≤kn-1。
而x (g)故有 (g)是kn-1的真子群，从而得到kn-1/ (g)是g/ (g)的非平凡正规子群，这与g/ (g)为极小单群矛盾。
故有＜x＞∩k≠＜x＞，这表明k是g真子群，由于g为内可解群得知k为可解群。
若＜x＞k=g,则存在次正规列k=k1 k2 … kn-1 kn=g,并且|ki+1/ki|=2 i，(i=1,2…,n-1)，故ki+1/ki都是可解群，从而g 也是可解群。
若＜x＞k≠g,由于＜x＞k g，所以存在次正规列＜x ＞k=n1 n2 … nn-1 nn=g，其中nn-1是g的极大正规子群。
因为nn-1 (g)是g的正规子群并且有nn-1≤nn-1 (g)≤g,所以得到nn-1 (g)=g或nn-1 (g)=nn-1。
若nn-1 (g)=g得nn-1=g，这与nn-1是g的极大正规子群矛盾。
若nn-1 (g)=nn-1,即得到 (g)≤nn-1。
而x (g)所以 (g)是nn-1的真子群，从而nn-1/ (g)是g/ (g)的非平凡正规子群，这与g/ (g)为极小单群矛盾。
综合以上得知极小阶反例不存在，从而得到g为可解群。
定理5 设g为有限群，m是g的极大且幂零子群，m2∈syl2(g),若m2或m2的极大子群在g中几乎次正规，则g为可解群。
证明若定理不成立，设g为极小阶反例。
首先m2≠1且m2不正规于g。
事实上，若m2=1,则|m|为奇数，由引理6知g是可解群，与假设矛盾。
若m2 g,作商群g=g/m2,则m为g的极大且幂零子群，且|m|为奇数,再由引理6知g是可解群，又m2是可解群，从而g为可解群，矛盾。
我们断言m2∈syl2(g)。
因为m2正规于m,所以m ≤ng(m2)＜g,由m的极大性得m=ng(m2)。