-学年高一上学期期末考试数学试题及答案

２0１７－2０１8学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题（每题5分，共计60分)
1.已知集合}5,4,3,2,1{=A ,}03|{2<-=x x x B ，则B A 为（ ） A ．}3,2,1{ Ｂ.}3,2{ ﻩ Ｃ.}2,1{ ﻩD.)3,0(
2.设函数⎩⎨⎧≤>=-0
,20,log )(2x x x x f x
,则)3log ()2(2-+f f 的值为（ ) A.4 B.3
4
C. 5 D ． 6
3.斜率为4的直线经过点A(3,5),Ｂ(a,7），Ｃ(－１,b)三点，则a ，b 的值为 ( )
A. a ＝72 ,b=0 Ｂ． a ＝－7
2,b=－１1
C ． ａ＝72,b=-1１ D. ａ＝－7
2
，b ＝11
4.直线05)2()2(073)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直,则m 的值（ )
A ．2
1ﻩ B ．-２ Ｃ．-2或2 D ．2
1
或－2 5．已知a ＝
1
3
2-,b =21log 3，c =12
1log 3，则( ） A. a b c >> Ｂ. a c b >> C ． c a b >> D. c b a >> 6． 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4, 该几何体的表面积为（ ）
Ａ. (442)π+ Ｂ. (642)π+ C. (842)π+ D. (1242)π+
7.若当时,函数始终满足,则
函数的图象大致为（ )
x R ∈()x
f x a =0()1f x <≤
8．()f x 满足对任意的实数,a b 都有)()()(b f a f b a f ⋅=+,且(1)2f =. 则
(2)(4)(6)
(2018)
(1)(3)(5)
(2017)
f f f f f f f f ++++
=（ )
A.2017
B.2018 C ． 4034 D.4036 9．已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( ） A 3ﻩ ﻩB 3π ﻩ
5
ﻩﻩ 5π
1０.设m 和n 是不重合的两条直线，α和β是不重合的两个平面,则下列判断中正确的个数为（ )
①若m ∥n ,m α⊥则n α⊥；②若m ∥n ，m ∥α,则n ∥α; ③若m α⊥,n α⊂则m n ⊥;④若m α⊥,m β⊂,则αβ⊥.ﻩ ﻩﻩ
Ａ. 1 B. 2 C. 3 D.
4
11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上,AB ⊥平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若AB=4,则球O 的表面积为( )
Ａ.π36 B.π28 C ．π16 D ．π4 12.直线3y kx =+与圆()()2
2
234x y -+-=相交于M N 、两点,若23MN ≥k 的取值范围是( )
A.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,3⎡-⎣ D.33⎡⎢⎣⎦
二、填空题(每小题５分,共20分）
１3.函数2
2log (4)y x x =-的增区间为 ;
1４.经过点(3,1)P -,且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是＿_＿＿＿＿___＿＿__＿___＿_＿_;
15.如图，在四面体A －BCD 中，已知棱ＡC 的长为2 ，其余各棱长都为1， 则
二面角A-C Ｄ－B 的平面角的余弦值为_______＿;
16．已知两点()()0,4,3,1B A ，直线012:=+-+a y ax l .当直线l 与线段AB 相交时, 试求直线l 斜率的取值范围_____＿_＿___.
三、解答题（共70分) 1７.（本小题满分１０分)
已知集合{}3222
1|A ≤≤=x
x ,函数2lg(4)y x =-的定义域为B .
(Ⅰ）求B A ；
(Ⅱ)若{1}C x x a =≤-，且C A ⊆,求实数a 的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知ABC ∆的顶点()5,2A -,()7,3B .且边AC 的中点M 在y 轴上,边BC 的中点
N 在x 轴上.
（Ⅰ)求顶点C 的坐标； （Ⅱ)求直线MN 的一般式方程.
19． (本小题满分12分） 已知函数13(),(0,),(2)2
m f x x x f x =-
∈+∞=且。

（１)用定义证明函数()f x 在其定义域上为增函数; （2)若0a >，解关于x 的不等式2(31)(91)x ax f f --<-。

20.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中,PA AB ⊥,PA BC ⊥,AB BC ⊥，2PA AB BC ===,
D 为线段AC 的中点，
E 为线段PC 上一点.
(Ⅰ)求证: PA BD ⊥;
(Ⅱ)求证：平面BDE ⊥平面PAC ;
(Ⅲ)当PA ∥平面BDE 时,求三棱锥E BCD -的体积.
21.（本小题满分1２分）
已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线02:=++a y ax l ． (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切.
(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且ＡB=22时，求直线l 的方程.
2２.(本小题满分1２分）
已知函数对一切实数y x ,均有()()(22)f x y f y x y x +-=+-成立,且0)1(=f . （１）求函数()f x 的解析式; （2)设x
x
x f x g 2)()(-=
,若不等式02)2(≤⋅-x x k g (k 为常数）在[]2,2-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围．
()f x
2017高一上学期期末考试----数学（参考答案)
一、选择题(每题５分，共计60分）
二、填空题(每小题5分,共计２0分)
13. (0,2); 1４. ｘ+2ｙ-1=0,x ＋３ｙ=0; １5.
3
； 16(]⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡+∞-∞-,2
14, .
三、解答题(共70分. 第１７题－－--1０分；第１８—第2２题,每题12分) 17. （Ⅰ)求解. ...．.．.2分 当， ．..．...４分 所以 ....．..6分
（Ⅱ）又C A ⊆，则51≥-a ． ...．．.１0分 即6≥a .
１8.(Ⅰ)设(),C x y ,()0,M m ,(),0N n .
因为()5,2A -，()7,3B 且边AC 的中点M 在y 轴上,边BC 的中点N 在x 轴上. 由已知可得
502x +=,302
y
+=, ..．..．.４分 解得5x =-,3y =-,所以顶点C 的坐标为()5,3--. .．..．..６分
(Ⅱ）由(Ⅰ)可知()()2352
2
m -+-==-,5712
n -+==.故50,2M ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
,()1,0N
．....．．9分
所以直线MN 的方程为1
512
x y
+=-． .．.....１1{}51≤≤-=x x A 042>-x {}
22>-<=x x x B 或{}52≤<=x x B A
分
即5250x y --=. ．......1２分
1９.(1）由3(2)2f =
得m ＝1， 1
()(0)f x x x x
∴=->。

对任120x x <<，有()212121212112
(1)11
()()()()0x x x x f x f x x x x x x x -⋅+-=-
--=>,即21()()f x f x >, 故()f x 在定义域(0,)+∞上为增函数;
（2)由（１)知，2(31)(91)x ax f f --<-等价于203191,x ax -<-<-即
()2
,(0)122x a a x >⎧⎪>⎨
-<⎪⎩。

当120a ->即102a <<
时,由于2212a >-，此时2
212x a
<<-;
当120a -=即12a =时,2x >;当120a -<即12a >时，2212x x a >⎧⎪⎨>⎪-⎩
,此时2;x >
所以当102a <<时，不等式解集为2(2,
)12a -;当1
2
a ≥时;解集为()2,+∞。

２０.(Ⅰ)因为PA AB ⊥,PA BC ⊥,且AB BC B =,所以PA ⊥平面ABC .
又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥. ......．３分
(Ⅱ)因为AB BC =,D 为AC 的中点，
所以BD AC ⊥． .......５分 由(Ⅰ)知,PA BD ⊥,所以BD ⊥平面PAC .
又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC . .......7分 (Ⅲ)因为PA ∥平面BDE ,平面PAC ∩平面BDE DE =,所以PA ∥DE . 又因为D 为AC 的中点,所以1
2
DE =
1PA =,2BD DC ==1222
1
21S BCD =⨯⨯=⋅=
∆CD BD . ...．...10分
由(Ⅰ）知,PA ⊥平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC . .....．.11分 则三棱锥E BCD -的体积3
1113131=⨯⨯=⋅=∆-DE S V BCD BCD E . ..．.．..12分
21．(１）把圆C:012822=+-+y y x ，化为4)4(22=-+y x ,得圆心)4,0(C ，半径
2=r ，再求圆心到直线02:=++a y ax l 的距离d ,21
|24|2
=++=a a d ,解得
4
3
-=a . …………………5分
（2）设圆心到直线02:=++a y ax l 的距离d ,则24222d -=2=⇒d ,则
21
|24|2
=++⇒a a ，得1-=a 或7-=a ,
直线l 的方程为：02=+-y x 或0147=+-y x 0
22.解：(1）令1=y ,所以x x f x f )22()1()1(-+=-+,又0)1(=f ,所以
2)1(x x f =+．
令1+=x t ,所以1-=t x ，所以2)1()(-=t t f ,即2)1()(-=x x f .(5分)
(2)x x x f x g 2)()(-=
x x x x x x x 1421222+-=-+-=41
-+=x x ，所以 0242
1
22)2(≤⋅--+
=⋅-x x x x x k k g ，所以0124)2()1(2≤+⋅-⋅-x x k ,令x t 2=, []2,2-∈x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41t ，即⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈4,41t 时,014)1(2≤+--t t k 恒成立，即 2141t t k -≤-2114⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t 恒成立,因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,411t ，所以0114min
2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ， 所以01≤-k ，即1≥k .（12分)。