离散数学ch7[3]关系的合成

合成关系
定理
给定集合X,并且R是 X 中的二元关系，设m,nN。 于是应有： (1)RmºRn=Rm+n (2)(Rm)n=Rmn
合成关系
定理
证明(1) RmºRn=Rm+n 根据定义 Rm+1=RmºR1 即n=1时成立
假设Rm+n-1=RmºRn-1成立
则有 Rm+n=Rm+n-1ºR =(RmºRn-1)ºR =Rmº(Rn-1ºR)
合成关系
合成关系的结合率
证明 : (R1ºR2)ºR3=R1º(R2ºR3) <x,w>(R1ºR2)ºR3 (z)((<x,z>R1ºR2)∧(<z,w>R3) (z)((y)(<x,y>R1∧<y,z>R2)∧(<z,w>R3)) (z)(y)((<x,y>R1∧<y,z>R2)∧(<z,w>R3)) (z)(y)((<x,y>R1)∧(<y,z>R2∧<z,w>R3)) (y)(z)((<x,y>R1)∧(<y,z>R2∧<z,w>R3)) (y) ((<x,y>R1)∧(z)(<y,z>R2∧<z,w>R3)) (y) ((<x,y>R1)∧(<y,w>R2ºR3)) <x,w>R1º(R2ºR3)
Rº(SºR)= {<3,2>} 结合率 ?
RºR={<1,2>,<2,2>}
SºS={<4,5>,<3,3>,<1,1>}
合成关系
关系的幂
定义 给定集合X，并且R是 X 中的二元关系。
设n N={0,1,2,...}，于是可把R的n次幂 Rn定义成：
(1)R0=Ix={<x,x>|xX}, 亦即R0是集合X中的恒等关系Ix. (2)Rn+1=RnºR
合成关系
例3: 设A={1,2,3,4,5} A上的二元关系R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
则 RºS= {<1,5>, <3,2>, <2,5>}
SºR= {<4,2>, <3,2>, <1,4>} 合成关系的交换率？
(RºS)ºR= {<3,2>}
合成关系
合成关系的分配率
定理 给定集合 X,Y,Z 和 W。设R1是从 X 到 Y 的关系；R2 和R3都是从Y到Z的关系，R4是从Z到W的关系,于是应有：
(1) R1º(R2∪R3)=(R1ºR2)∪(R1ºR3)
(2) (R2∪R3 )ºR4=(R2ºR4)∪(R3ºR4) (3) R1º(R2∩R3) (R1ºR2) ∩(R1ºR3) (4) (R2∩R3)ºR4 (R2ºR4)∩(R3ºR4)
=RmºRn
合成关系
定理
证明(2)(Rm)n=Rmn
根据定义 (Rm)1=Rm 假设(Rm)n-1 =Rm(n-1)成立 即n=1时成立
则有
(Rm)n=(Rm)n-1ºRm =Rm(n-1)ºRm =Rm(n-1)+m =Rmn
合成关系
例4: 集合X={a,b,c},并且X中有关系: R1={<a,b>,<a,c>,<c,b>} R2={<a,b>,<b,c>,<c,a>} 求得关系的各次幂
离散数学
第二部分 集合论 关系论3 关系的合成
关系的合成
本节主要内容: 关系的合成
x是y的父亲 y是z的母亲 x是z的什么关系？
关系的逆
x是y的父亲 y是x的什么关系？
合成关系
关系的合成
定义 设 R 是从集合 X 到集合 Y 的关系， S 是从集合 Y 到集合 Z 的关系。 于是，可把从 X 到 Z 的关系 RºS 定义成:
逆关系
定理
设 R 是从集合 X 到 Y 的关系， 并且 S 是从集合 Y 到 Z 的关系。 于是有： 证:
~ ~ ~ R S S R
R~ S <x,z> RºS
设<z,x>是 R ~ S 的任一元素，则
<z,x>
wenku.baidu.com
y(<x,y>RΛ<y,z>S) ~ ~ y(<y,x>RΛ<z,y>S) ~ ~ <z,x> SºR
合成的表达
矩阵表达
设集合 X、Y、Z的基数分别为 m、n、p。
R 是 X 到 Y 的关系，S 是 Y 到 Z 的关系 MR表示R的关系矩阵 (m×n)
Ms表示S的关系矩阵 (n×p) (m×p)
MRºS表示合成关系RºS的关系矩阵
合成的表达
矩阵表达
例 1.
设x={1,2} y={a,b,c} z={,}
则在R的图形上从a到b有一条长度为2的路径
在Rn 的图形上，有一条 a到 b的弧，则在R 的图形上从 a到b有一条长度为n的路径
关系的逆
逆关系
给定任意两个集合 X 和 Y,如果 R 是个从 X 到 Y 的关系, 则从 Y 到 X 的关系
~ R ={<y,x>|<x,y>R}
称为 R 的逆关系.
关系的逆
合成关系
合成关系的分配率
证明 : (1) R1º(R2∪R3)=(R1ºR2)∪(R1ºR3)
即证明两个序偶集合相等
<x,z>R1º(R2∪R3) (y)((<x,y>R1)∧(<y,z> R2∪R3)) (y)((<x,y>R1)∧(<y,z>R2∨<y,z>R3))
(y)((<x,y>R1∧<y,z>R2)∨(<x,y>R1∧<y,z>R3)) (y)((<x,y>R1∧<y,z>R2))∨(y)(<x,y>R1∧<y,z>R3)) <x,z>R1ºR2 ∨<x,z>R1ºR3 <x,z>R1ºR2∪R1ºR3
演 稿
示
文
1 2 3 后
等
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合成关系
合成关系的结合率
定理 给定集合 X,Y,Z 和 W。
设R1是从 X 到 Y 的关系 R3是从Z到W的关系,
于是有：
R2是从Y到Z的关系，
(R1ºR2)ºR3=R1º(R2ºR3)
2
合成关系
定理
证明: 抽屉原理 (box principle) 又称鸽笼原理 。
Rs=Rt和0≤s<t≤2n
2
在k个抽屉放多于k只苹果， 不论怎么放，至少有一个抽屉中至少有2只苹果的事实 。
合成关系
定理
Rs=Rt和0≤s<t≤2n
2
证明: 由关系定义可知 集合X中的每一个二元关系都是X2的子集 即，R0，R1 ， R2 …X2 2 2 n 2 2 |X |的元素个数是n 个 ρ(X )的元素个数是2 个 把2n个不同的二元关系作为抽屉 把Ri 0≤i≤2n
合成关系
关系的合成
例1: I是整数集合，R,S是I上的关系
RºS的关系图
合成关系
关系的合成
例2: P是所有人的集合，R和S是P上的关系
R={<x,y>|x,yPx是y的父亲} S={<x,y>|x,yPx是y的母亲} (1)RºR表示的关系是: xRºRy表示x是y的祖父 (2)RºS表示的关系是: xRºSy表示x是y的外祖父 (3){<x,y>|x,yPx是y的祖母}的集合表示为: SºR
R12= {<a,b>}
R13 =Φ
R14=R15=……=Φ
R22= {<a,c>, <b,a>, <c,b>}
R23= {<a,a>, <b,b>, <c,c>} R24= {<a,b>, <b,c>,<c,a>} = R2
R25= R24ºR2 =R22 ……
合成关系
定理
设 X 是个有穷集合， 并且|X|=n和nN， R 是 X 中的二元关系， 于是，必定存在这样的 s 和 t,能使 Rs=Rt和0≤s<t≤2n
R={<1,a>,<1,b>,<2,c>} S={<a, >,<b,>,<c,>} 1 1 0 则 MR= 0 0 1 MRºMS= 0 1 MS= 0 1 0 1 0 1
0 1
合成的表达
矩阵表达
定理 设R 是 X 到 Y 的关系，S 是 Y 到 Z 的关系
MR表示R的关系矩阵 (m×n)
Ms表示S的关系矩阵 (n×p) MRºS表示合成关系RºS的关系矩阵
合成关系
关系的合成
注
①若R1的值域与R2的定义域的交集为空，则R1ºR2为空关系 ②设IA、IB分别为A和B上的相等关系，R是A到B的二元关系 则IAºR=RºIB=R 但 RºIA,RºIB无意义
③在关系图上，R1ºR2是由<a,c>这样的序偶组成，从 aA到cC有一长度为2的路径，其中第一条弧属于R1第二 条弧属于R2.
则MRºS=MRºMS MRºMS中的元素 Cij=
R=1
(m×p)
(aikbkj)
n
合成的表达
矩阵表达
证明定理 MRºS=MRºMS MRºMS中的元素 Cij=
(aikbkj) R=1
n
证： 若Cij =1 则存在某k使 aik∧bkj=1， ∵aik=1xiRyk bkj=1ykSzj
∴xi(RºS)zj
∴ MRºMS = MRºS 注： 若存在多个k，使aik、bkj都为1，则Cij仍为1，
只是从xi到zj存在多条长度为2的路径，
此时等式仍然正确
合成的表达
矩阵表达
例 2.
设x={1,2} y={a,b,c} z={,}
R={<1,a>,<1,b>,<2,c>} S={<a, >,<b,>,<c, >} 1 1 0 0 1 则 MR= MS= 0 0 1 0 1 0 1 MRºS= MRºMS= 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
~ MR
1 0 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
0 1 0
关系的逆
逆关系 注：
（1） xRyyRx
~
（2）互换R 的关系矩阵的行和列，即得R的关系矩阵。
T ~ MR MR
~
（3）颠倒R的关系图中每条弧线的箭头方向，即得R的关系图
~
关系的逆
逆关系
例2: 写出以下关系的逆关系
整数集上的 ‘<’ 关系的逆是:‘>’ 关系 集合族上的 ‘’ 关系的逆是‘: ’ 空关系的逆是: 空关系
2 2 2
作为苹果。
苹果个数为2n+1个，大于抽屉数 所以至少有一个抽屉中至少有2只苹果 即 Rs=Rt和0≤s<t≤2n
2
合成关系
例5: R是X上的二元关系，试证R是传递的充要条件是RºRR
证：
‘’ <x,z>RºR y使得 <x,y>R，<y,z>R ∵R是传递的 ∴<x,z>R
BA的全域关系
AB的全域关系的逆是:
关系的逆
逆关系
例3: P是所有人的集合，R和S是P上的关系
R={<x,y>|x,yPx是y的父亲} S={<x,y>|x,yPx是y的母亲} ~ ~ (1)RºS表示的关系是: xRºSy表示x是y的丈夫 ~ (2)RºS表示的关系是: Φ ~ ~ (3){<x,y>|x,yPy是x的外祖母}的集合表示为: SºS
RºS={<x,z>|(xX)Λ(zZ)Λ(y)((yY) Λ(<x,y>R)Λ(<y,z>S))}
通常称 RºS 是关系 R 和 S 的合成关系。 从 R 和 S 求得 Rº S 的运算，称为关系的合成。
合成关系
关系的合成
例1: I是整数集合，R,S是I上的关系 R={<x,3x>|x,yI} S={<x,5x>|x,yI} (1)RºS= {<x,15x>|xI} (2)SºR= {<x,15x>|xI} (3)RºR= {<x,9x>|xI} (4)SºS= {<x,25x>|xI}
‘’ 若<x,y>R, 且<y,z>R ∵RºRR ∴<x,z>R
∴RºRR
则<x,z>RºR
∴由x,y,z任意性知 xyz （<x,y>R∧<y,z>R<x,z>R） ∴R是传递的
合成的表达
关系可以用矩阵和关系图来表示， 而合成关系仍是关系， 因而关系的合成也可以用矩阵和关系图来表达。
=
0 1
合成的表达
用关系矩阵表达关系运算后的新关系
① MR∪S=MR∪MS 其中cij=aij ∨ bij ② MR∩S=MR∩MS 其中cij=aij∧ bij
③ M~R=[cij]
其中cij=┐aij
④ MR-S=MR∩M~S 其中cij=aij ∧(┐bij)
合成的表达
Rn的关系图的意义
在R2的图形上，有一条a到b的弧，
逆关系
例1: 集合X={0,1,2,3}，
X中的R={<0,0>,<0,3>,<3,2>,<2,3>,<2,0>,<2,1>} ~ ~ 写出逆关系R,写出R和R的关系矩阵 解: ~ R ={<0,0>,<3,0>,<2,3>,<3,2>,<0,2>,<1,2>} 1
MR
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 0