《狭义相对论》

3狭义相对论
3.1狭义相对论基本假设
1. 有下列几种说法：
(1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的．
(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关．
(3)在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同．
若问其中哪些说法是正确的, 答案是
(A) 只有(1)、(2)是正确的．
(B) 只有(1)、(3)是正确的．
(C) 只有(2)、(3)是正确的．
(D) 三种说法都是正确的．
答案：(D)
参考解答：
光速不变原理和相对性原理是爱因斯坦在创立狭义相对论时提出的两大基本假设。

光速不变原理：在真空中的任何惯性参考系上，光沿任意方向的传播速度都是C；相对性原理：所有物理规律在所有不同惯性参考系中的形式都相同。

所有选择，均给出参考解答，进入下一题。

3.2狭义相对论时空观
1. 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？
(1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速．
(2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的．
(3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的．
(4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些．
(A) (1)，(3)，(4)．(B) (1)，(2)，(4)．
(C) (1)，(2)，(3)．(D) (2)，(3)，(4)．
答案：(B)
参考解答：
在狭义相对论中，根据洛仑兹变换物体运动速度有上限，即不能大于真空中的光速；质量、长度、时间都是相对的，其测量结果取决于物体与观察者的相对运动状态，有动尺收缩和运钟膨胀的相对论效应。

对于所有选择，均给出以下思考题。

1.1相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？
参考解答：
牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的
近似。

牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换
.,,,t t z z y y t x x ='='='-='v
狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换 .1,,
,12
222
2
c
x c t t z z y y c t x x v v v v --
='='='--=
' 比较上述两个变换式可知，在低速时，即c u <<时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。

3.3 同时性
1. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？
(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？
关于上述两个问题的正确答案是： (A) (1)同时，(2)不同时． (B) (1)不同时，(2)同时． (C) (1)同时，(2)同时． (D) (1)不同时，(2)不同时．
答案：(A) 参考解答：
同时性的相对性是指：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

凡选择回答错误的，进入下一题。

1.1 关于同时性的以下结论中，正确的是
(A) 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生．
(B) 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生． (C) 在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生． (D) 在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生．
答案：(C) 参考解答：
如果S 系和S '系是相对于运动的两个惯性系。

设在S '系中同一地点、同一时
刻发生了两个事件，即0,01212
='-'='∆='-'='∆t t t x x x . 将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中
2
212
2
121)(c
x x c t t t t v v
-'-'+
'∆=
-=∆
则可得 012=-=∆t t t ，说明在S 系中也是同时发生的。

这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。

进入下一题。

2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
参考解答：
同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

这个结论与光速不变原理紧密相联。

设相对运动的惯性系是)(x0y S 和)(y 0x S ''''，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0'重合时设为0='=t t 。

由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为
2
221c
x c t t v v -∆-∆=
'∆ 如果在S 系中两事件同时发生，即0=∆t ，那么在S '系中两事件的时间间隔
2
221c
x c t v v -∆-
=
'∆ 与两事件在S 系中发生的空间间隔x ∆有关。

当0≠∆x 时，0≠'∆t 。

即两事件在S '系中不同时发生。

如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。

即洛仑兹变换中的
.0,
0222
==c
c
v
v 则 t t ∆='∆，就不再有同时的相对性。

进入下一题：
3.4 时间膨胀
1. 两只相对运动的标准时钟A 和B ，从A 所在惯性系观察，哪个钟走得更快？从B 所在惯性系观察，又是如何呢？有以下一些说法： (1) 从A 所在惯性系观察，A 钟走得更快． (2) 从A 所在惯性系观察，B 钟走得更快．
(3) 从A 所在惯性系观察，A 钟走得更快；从B 所在惯性系观察，B 钟走得更快． (4) 从A 所在惯性系观察，B 钟走得更快；从B 所在惯性系观察，A 钟走得更快． 上述说法中正确的是
(A) (1)． (B) (2)． (C) (1)，(3)． (D) (2)，(4).
答案：(C) 参考解答：
根据“时间膨胀”或“原时最短”的结论可知，从A 所在惯性系观察，相对静止的时钟A 所指示的时间间隔是原时，它走得“快”些；而时钟B 给出的时间间隔是运动时，因“时间膨胀”而走得“慢”些.同理，从B 所在惯性系观察时，相对静止的时钟B 给出的是原时，它走得“快”些；而时钟A 给出的是运动时，因“时间膨胀”而走得“慢”些。

对于所有选择，均给出以下讨论。

“同时”是相对的，时间间隔的测量当然也应该是相对的。

时间膨胀公式：
2
2
/1c
t t v -'∆=
∆
式中t '∆是在S '系中观察到的两件事情的时间间隔，在S '
系中考察，两件事是在同一地点发生的，这样的时间间隔称为本征时或固有时。

由时间膨胀公式可知：在所有的时间间隔中，本征时（原时）最短，其它参考系中测得的同样两件事情的时间间隔都比本征时长。

如果借用钟的快慢 来说明这种时间测量上的关系即：S 系中观察者觉得：S '系上的那些钟（相对于S '静止，相对于S 系运动）变慢了，S '系上的一段较短的时间相当于S 系上一段较长的时间，这种效应，称为时间膨胀。

值得注意的是：时间膨胀是一种相对效应，在S '系中观察那些静止于S 系上的种，同样会觉得它们走慢了。

进入下一题：
2. 已知S'系以0.8c 的速度沿S 系x 轴正向运动，在S 系中测得相距2⨯108m 的两处，先后发生两事件的时间间隔为s 4=∆t ．则S'系中测得的这两件事的时间间隔
(A) 6.66s ． (B) 5.77s ．
答案：(B) 参考解答：
根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
(s)77.56.01038.0102418
82
22≈⨯⨯⨯-
=-∆-∆='∆c
c x t t v v
凡选择回答错误的，进入下面的分析。

许多同学都采用下面的方式解答：
(s)66.66
.04
/12
2==
-∆=
'∆c t t v 注意：这是不对的！ 时间膨胀公式： 2
2
0/1c
t t v -∆=
∆
式中0t ∆是在某一惯性系中观察同一地点先后发生两件事件的时间间隔，这样的时间间隔称为本征时或固有时，t ∆是在另一惯性系中观察这两件事件的时间间隔。

本题：m,1028⨯=∆x 即在S 系中先后发生两事件不在同一地点，s 4=∆t 不是本征时或固有时，不能直接使用时间膨胀公式。

进入下一题：
3.5 相对论速度变换
1. 在惯性系中，两个光子火箭（以光速c 运动的火箭）相背运动时，一个火箭 对另一个火箭的相对运动速率为
(A) 2c ． (B) 0.5c ． (C) c ． (D) 0.99c ． 答案：(C) 参考解答：
如图所示：两个光子火箭分别用a 、b 表示，设S ' 系被固定在光子火箭b 上，以地面为参考系S 。

令S ' 系相对于地面参考系S 运动速度为u ，地面参考系S 测得火箭a 的速度为v x ，求S ' 系测火箭a 的速度.x v ' 即x x c c u v v '=-=求：,,
.)1(112c c
c c
u u x x x =--+=--=
'v v v 所以一个火箭对另一个火箭的相对运动速率为c ．
凡选择回答错误的，给出下面的分析。

在狭义相对论中讨论速度变换问题的思路如下： 1、确定两个作相对运动的惯性参照系； 2、确定所讨论的运动物体；
3、表示该运动物体分别在两个参照系中的速度分量；
4、用洛仑兹速度变换解答。

相对论速度变换公式：
,12x
x x c
u u v v v --=' ,11222c u c u x y y --='v v v .1122
2c u c u x z z --='v v v 式中：u 是两惯性系相对运动速度，v x ，v y ，v z .与v 'x ，v 'y ，v 'z 为两惯性系分别
测量某物体的运动速度分量值。

进入下一题：
2. 在惯性系中，两个光子火箭（以光速c 运动的火箭）沿相互垂直的方向运动 时，一个火箭对另一个火箭的相对运动速率为
(A) 2c ． (B) 0.5c ． (C) c ． (D) 0.99c ．
答案：(C)
参考解答：
如图所示：两个光子火箭分别用a 、b 表示，设S '
系
被固定在光子火箭b 上，以地面为参考系S 。

令S ' 系相对于地面参考系S 运动速度为u ，地面参考系S 测得火箭a 的速度为v x ，v y ，v z .求S ' 系测火箭a 的速度v 'x ，v 'y ，v 'z . 即.,0,,0,z y x z y x c c u v v v v v v '''====、、求：
.12c c
u u x
x x -=--='v v v ，011222=--='c u c u x y y v v v .01122
2=--='c u c u x z z v v v 所以一个火箭对另一个火箭的相对运动速率为c ．
对于所有选择，均给出以下思考题。

2.1 在相对论中，垂直于两个参考系的相对速度方向的长度的量度与参考系无关，而为什么在这方向上的速度分量却又和参考系有关？
参考解答：
洛仑兹坐标变换式： 2
22221,,,1c x c t t z z y y c t x x v v v v --
=
'='='--=' S 系中的速度定义式是： t
z
t y t x d d ,d d ,d d z y x =
==v v v
S '系中的速度定义式是： t z t y t x '
'
='''='''='d d ,d d ,d d z
y x
v v v 根据上述洛仑兹坐标变换式知，在垂直于两惯性系相对运动方向上的长度测
量与参考系无关，即有 z z y y d d ,d d ='='。

但时间间隔的测量却与参考系有关，即 t t d d ≠'，由分速度的定义式可知
z z y y ,v v v v ≠'≠' 所以在相对论中，虽然在垂直于两个参考系的相对速度方向上的长度的量度
与参考系无关，但是由于时间上的测量与参考系有关，因此在垂直于两惯性系相对运动方向上的速度分量和参考系有关。

进入下一题：
3.6相对论力学的基本方程
1. 根据狭义相对论力学的基本方程t p F d /d
=，以下论断中正确的是
(A) 质点的加速度和合外力必在同一方向上，且加速度的大小与合外力的大 小成正比． (B) 质点的加速度和合外力可以不在同一方向上，但加速度的大小与合外力 的大小成正比． (C) 质点的加速度和合外力必在同一方向上，但加速度的大小与合外力可不 成正比． (D) 质点的加速度和合外力可以不在同一方向上，且加速度的大小不与合外 力大小成正比． 答案：(D) 参考解答：
经典力学: .d d )(d d d d t m m t t P F v v
===狭义相对论力学: ,v v -m v 2
0)/(1c m P =
=
.d d d d )(d d d d t
m t m m t t P F v v v
+===
显然，当速度v
方向与加速度t
d d v 方向不相同时，质点的加速度和合外力就不在同
一方向上；另外，加速度的大小也不与合外力大小成正比。

凡选择回答错误的，进入下一题。

1.1 狭义相对论力学的基本方程若表示为 t m
t
c m F
d d d d /1220
v
v v
=⋅-=
是否正确？
(A) 正确． (B) 不正确．
答案：(B)
参考解答： 不正确．
因为狭义相对论力学基本方程的正确表式为
t
m
t m t m F d d d d d )d(v
v v +== 而本题所给表式只是正确表式中的第一项．进入下一题： 3.7相对论质量和能量
1. 令电子的速率为v ，则电子的动能E K 对于比值v / c 的图线可用下列图中哪一个图表示？（c 表示真空中光速）
答案：(D)参考解答： 相对论质量： 2
0)
/(1c m v -m =
（0m 静止质量），
相对论总能量： 2mc E =， 物体静止时的能量：200c m E =， 相对论动能： )1/11(
2
2
200--=-=c
c m E E E k v .
凡选择回答错误的，进入下一题。

1.1 相对论的质量与能量的关系式是什么？静止质量与静止能量的物理意义是什么？
参考解答：相对论的质量与能量的关系式为E = mc 2，质能关系是原子能利用的重要理论依据之一。

20c m 称为物体的静止能量或固有能，m 0是物体的静止质量。

20c m 和m 0分别是物体速度为零或在物体自身的静止参考系中测得的能量和质量。

自然界所有静止能量和静止质量为零的粒子，运动速度必为光速。

总能量与静止能量之差即为物体的动能，2020c m mc E E E k -=-=.
/c
(A)
/c
(B)
/c
(C)
/c。