离散数学(第38讲)

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可以验证，在布尔代数<B,∨, ∧,ˉ,0,1> 上的布尔表达式
定义了书上表17.1中的从{0，1}3到{0，1}的函 数。 然而，是否任意一个从Bn到B的函数都一定 能列出一个在布尔代数<B,∨，∧,ˉ,0,1>上的
布尔表达式呢？这个问题的回答是否定的。
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个，则称这种布尔表达式为合取范式。
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例17-5.4
书上表17.2中所确定的从B2到B的函数
g，其中B={0，1，2，3}，证明g不是布尔函数。 证明：（反证法） 如果是布尔函数，那么它的布尔表达式必可 以表示成析取范式为：
从表17.2可知
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
才是布尔表达式。
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例17-5.1
<{0，1，2，3},∨，∧,ˉ,0,1>
是一个布尔代数，那么
都是布尔表达式，
并且分别称为含有单个变元 ，含有两个变元 个变元 的布尔表达式
的布尔表达式和含有三 的布尔表达式。
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定义17.13
一个含有n个相异变元的布尔表
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习题十七
21、23、24、26、28
通知
下周二请交实验报告。
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f 1 0 1 0 0 0 0 1
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因为函数值为 1 所对应的有序三元组分别 为 <0 ， 0 ， 0> ， <0 ， 1 ， 0> 和 <1 ， 1 ， 1> ，于是 可分别构造小项为 和
。因此，函数 f 所对应的析取范 式为
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因为函数值为 0 所对应的有序三元组分别 为<0，0，1>，<0，1，1>，<1，0，0>，<1，0 ，1>和<1，1，0>，于是可分别构造大项为
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开关代数可以用布尔代数<{断开，闭合}, 并联，串联,反向,0,1>来描述，一个开关就是 一个变元，它的取值为“断开”或“闭合”， 因此，任一开关线路都可以用代数系统<{断开 ，闭合},并联，串联,反向,0,1>上的一个布尔 函数来表示。
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构造大项
。其中
再由这些大项所组成的合取范式，它就是 原来函数所对应的布尔表达式。
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例17-5.3
讨论下表所给出的函数f的析取范
式和合取范式。
<0，0，0> <0，0，1> <0，1，0> <0，1，1> <1，0，0> <1，0，1> <1，1，0> <1，1，1>
定义17.16
设<B,∨, ∧,ˉ,0,1>是一个布尔
代数，一个由Bn到B的函数f，如果它能够用 <B,∨, ∧,ˉ,0,1>上的n元布尔表达式来表示， 那么，这个函数f就称为布尔函数。
定理17.17
对于两个元素的布尔代数
<{0,1},∨，∧,ˉ,0,1>，任何一个从{0，1}n到
{0，1}的函数都是布尔函数。
冯伟森
Email：fws365@scu.edu.cn 2014年1月20日星期一
布尔表达式
定义17.12 数，则 ① B中任何元素是一个布尔表达式； ② 任何变元是一个布尔表达式； ③ 如果e1和e2是布尔表达式，则e1，(e1∨e2) ， (e1∧e2)都是布尔表达式； 只有经过有限次使用②和③得到的符号串 设<B,∨, ∧,ˉ,0,1>是一个布尔代
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证明：含有 n 个变元 x1 ， x2 ，„， xn 的布尔表达式 ，如果它有形式 ，其中 是x i或 xi中任一个，则我们称这个布尔表达式为小项。 一个在<{0,1},∨，∧,ˉ,0,1>上的布尔表达式， 如果它能表示成小项的并，则称这个布尔表达式 为析取范式。对于一个从{0，1}n到{0，1}的函数 ，先用那些使函数值为1的有序n元组分别构造小
则称这两个布尔表达式是等价的。记作 E1(x1，x2，„xn）=E2(x1，x2，„xn）
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对于布尔代数 <B, ∨，∧,ˉ,0,1> 上的任 何一个布尔表达式。由于运算∨，∧,ˉ在B上 的封闭性，所以对于任何一个有序 n 元组 x1 ， x2，„xn，xi∈B，可以对应着一个表达式 E(x1 ， x2 ，„xn ）的值，这个值必属于 B 。由此可 见，我们可以说布尔表达式 E(x1 ， x2 ，„xn ） ，确定了一个由Bn到B的函数。
函数f所对应的合取范式为
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下面，将布尔代数<{0,1},∨，∧,ˉ,0,1> 上的布尔表达式的析取范式和合取范式的概念扩 充到一般的布尔代数上。 设布尔代数<B,∨, ∧,ˉ,0,1>上的一个布 尔表达式E(x1，x2，„xn）。如果这个布尔表达 式能够表示成形如 ，其中 是B中的一个元素， 的并 是x i或 x i
所以
对于布尔格
由图可知
，可用哈斯图来表示。
与表17.2中的
相矛盾，所以表
17.2中的函数不是布尔函数。
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布尔代数的应用
命题逻辑可以用布尔代数 <{F ， T}, ∨， ∧,～,0,1>来描述，一个原子命题就是一个变 元，它的取值为T或F，因此，任一复合命题都 可以用代数系统<{F，T},∨，∧,～,0,1>上的 一个布尔函数来表示。
中任一个，则称这种布尔表达式为析取范式。
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我们有以下结论: 定理17.18 设E(x1，x2，„xn）是布尔代数
<B,∨, ∧,ˉ,0,1>上的任意一个布尔表达式,则 它一定能写成析取范式。 类似地，我们可以证明任何布尔表达式能够 表示成形如 是B中的一个元素， 的交，其中 是xi或xi中任一
达式，称为含有n元的布尔表达式。记为 E(x1，x2，„，xn），其中x1，x2，„，xn为变元。 定义17.14 布尔代数<B,∨, ∧,ˉ,0,1>上的 一个含有n元的布尔表达式E(x1，x2，„xn）的值 是指：将B中的元素作为变元xi(i=1，2， „n)的 值来代替表达式中相应的变元（即对变元赋值）
，从而计算出表达式的值。
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例17-5.2
设布尔代数<{0，1},∨, ∧,ˉ,0,1>
上的布尔表达式为
如果变元的一组赋值为
那么便可求得
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定义17.15
设布尔代数<B,∨, ∧,ˉ,0,1>
上的两个n元的布尔表达式为E1(x1，x2，„xn） 和 E2(x1，x2，„xn），如果对于n个变元的任意 赋值xi= ， ∈B时均有
项
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。
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其中
再由这些小项所组成的析取范式，它就是原 来函数所对应的布尔表达式。 类似地，含有n个变元x1，x2，„，xn的布尔 表达式，如果它有形式
其中
是xi或xi中任一个，则我们称这个布尔
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表达式为大项。
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一个在 <{0,1}, ∨，∧,ˉ,0,1> 上的布尔表达式 ，如果它能表示成大项的交，则称这个布尔表 达式为合取范式。对于一个从{0，1}n到{0，1} 的函数，先用那些使函数值为0的有序n元组分别