立体几何中的折叠问题精编版

立体几何中的折叠问题

考纲目标：

1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。

2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。 考点一 几何体展开问题

反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离. 考点二.平面图形的折叠问题

【例1】 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,底面ABC 为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC 1

=.P 是BC 1上一动点,则CP+PA 1的最小值为 .

答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量.

第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面.

第三步:利用判定定理或性质定理进行证明.

第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积.

(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系,并证明你的结论;

(3)证明:直线DF ⊥平面BEG.

【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥

A BCF,其中

. (1)证明:DE ∥平面BCF;

(2)证明:CF ⊥平面ABF;

(3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的

体积F DEG V

.

【即时训练】

1、

(2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示

.

(1)

请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

2.(2015洛阳三模)等边三角形ABC的边长为2,CD是AB边上的高, E,F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ABC沿CD翻成直二面角A-ＣＤ－Ｂ．

(1)求证:AB∥平面DEF;

(2)求多面体D－ＡＢＦＥ的体积。

3.如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC于点O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证:BD⊥平面POA;

(2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFED的体积.

【要点总结】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 作业：

1、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____．

2、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是

．