第六章近独立粒子的最概然分布习题课

第六章-近独立粒子的最概然分布（习题课)

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第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)

本章题型

一、基本概念:

1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系

统微观状态;经典相格与粒子微观状态;系统宏观态与系统微观态。

2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微

观态出现的概率相等。最概然分布作为平衡态下的分布近似。

3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微

观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

,,,,21l τττ∆∆∆

,,,,21l εεε

}{l a

,,,,21l ωωω

,,,,21l a a a

与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：

N a

l l

=∑ E =∑l

l

l a ε

系统总的微观状态数()()lm man a l a a l

ΩΩ=Ω∑~总

系统某时刻的微观状态只是其中的一个。在宏观短，微观长时间内（一瞬间)系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a l

ΩΩ∑~－--－各态历经假

说。且各微观态出现的概率相等

()()

lm man a l a a l

Ω≈

Ω=

∑1

1ρ

()l

e a a l lm l βε

αωδ--=⇒=Ω0ln －--玻耳慈曼分布。

此分布(宏观态)的概率为

()()()()()

()1=ΩΩ≈ΩΩ=

Ω=∑lm

man lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p l

ρ 即:最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：

Q

d W d dU +=

l l

l l l

l l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε

比较可知:l l

l d a W d ε∑=

l l

l da Q d ∑=ε

即:从统计热力学观点看,

做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。 二、相关公式

１、分布与微观状态数

①、 ()l a l l

l

l l B M a a ω∏=

Ω∏!N!

.. ②、 ()∏--+=

Ωl l

l l l E B a a a )!1(!)!

1(..ωω ③、 ()∏-=Ωl l l l l D F a a a )!

(!!

..ωω ④、 ()l a r l l l

l l cl h a N a ) ( ! !

ω∆∏∏=

Ω 2、最概然分布

玻耳兹曼分布l

e a l l βεαω--=

玻色-爱因斯坦分布1

-=+l e a l

l βεαω

费米－狄拉克分布1

+=

+l

e

a l

l βεαω

本章题型

※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:

关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系

()0,=p q f 。

※、第二类是求粒子能态密度()εD ;

已知粒子的哈密顿量H 与广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系

()p q H H ,=，求粒子能态密度()εD 。不同方法有不同步骤,方法有：

方法一：量子力学方法。

第一步，解薛定谔方程()()p q ,p q,H ψ=ψε

,求能量本证值i ε

第二步,求出粒子能量小于ε的量子态数()εω

第三步，求出粒子能量在ε到εεd +范围的量子态数()εεd D 。 方法二:半经典近似法。

该方法的依据是:对自由度为r 的一个粒子,对每一个可能的状态对于μ空

间中大小为r h 的一个相体积元,因此，粒子能量小于ε的量子态数为()()⎰⎰<=εεωp q H r h

dqdp

,

由此求得粒子能量在到范围的量子态数()()εε

εωεεd d d d D =。

计算步骤：

第一步、写出粒子自由度r 和粒子哈密顿()p q H H ,=。 第二步、由()()⎰⎰<=ε

εωp q H r h dqdp

,

求出粒子能量小于的状态数。

第三步、求出粒子态密度()()ε

εωεd d D =

。 [例１]、对于二维自由粒子,在长度L 2内,求粒子在ε到εεd +的能量范围内

量子态数()εεd D 。 方法一：解，量子力学方法：

边长为Ｌ的正方形平面内,粒子哈密顿算符的能量本征方程为

()

εϕϕϕ=+=2

2ˆ21H Y X P P m

设：()()()y Y x X y x =,ϕ 则

22222222222112

εεm dy Y d Y dx X d X XY XY y x m -=+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂- 2

2

2222

2222;1;1

εm k k k dy Y d Y k dx X d X y x y x =+-=-=其中 解得:()()()()()y p x p i

y k x k i y x y x e e y Y x X y x ++===

A

1A 1,ϕ 利用周期性边界条件：⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2L ,2L ,;,2

L ,2

L x x y y ϕϕϕϕ得:

2,1,0;,2;2±±===

y x y y x x n n n L

p n L p ππ 由上式可知，量子数y x n n ，完全决定了粒子的量子状态。以y x n n ，为直角坐标轴，

构成二维量子数空间，每一组数()y x n n ，对应一个点,它代表一个量子态，这种点成为代表点,此空间中边长为1的一个正方形(面积为1）内有１个代表点,即相应于１个量子态。

由()()

2

22

2222221y x y x n n mL

p p m +=+= πε可知,在数空间中能量ε的等能线为半径()

21

222

2122

2R ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=+= πεmL n

n y

x

的圆，它所包围的面积为2222R πεπmL =，而单位面积