高数第七章习题课二

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例4 设x轴正向到方向l 的转角为 ，求函数 f（x，y）= x2 - xy+y2在点（1，1）沿方向l 的方向 导数，并分别确定转角 ，使这导数有（1）最大 值；（2）最小值；（3）等于0。 解法一 gradf（1，1）={1，1}， 当l 的方向与gradf（1，1）一致时， 即 导数可取得最大值；
Fy Gy M0
解法二：将y、z视作x的函数,方程两端对x求导,有
dy dy m 2 y dx 2m dx y , 2 z dz 1 dz 1 . dx dx 2 z 在点(x0，y0，z0)处的切向量可取 m 1 dy dz T 1, , 1, , dx dx M 0 y 0 2 z 0

0

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(ii)计算方法 f f f cos cos 1）公式： l x y f 对于三元函数 f x cos f y cos f z cos l 2）用定义(函数不可微)
例：求函数z | xy |在（ ， 00 ）点沿与x轴正向 成角方向的方向导数 z z 解：用定义知： ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) 0 x y z z z ( 0 , 0 ) x ( 0 , 0 ) y | xy | x y lim lim x 0 x 0 x 2 y 2 x 2 y 2 y 0 y 0

(ii)性质（与方向导数的关系） 函数f (x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向 与函数取得最大方向导数的方向一致，而它的模为 方向导数的最大值。 4 多元函数的极值 （1）多元函数极值的定义 （2）多元函数极值的必要条件与充分条件
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（3）多元函数最值的求法 （i）一般的最值问题的求解方法 如f (x，y)在有界闭区域上连续，则最值一定存 在。将D内的可能极值点（驻点或偏导不存在的点） 处的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为一 元函数最值问题或条件极值问题）相比较而确定。 （ii）实际问题中：如依问题的实际意义知f(x，y)的 最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数 存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要 求的最大（小）值。
0 0 0
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1 2x0 a x a2 0 x0 0 3 1 2y0 0 b ， y 可得 y 0 b2 0 3 即 c 1 2z0 0 z0 2 z0 3 c 2 2 2 x0 y0 z0 当切点坐标为 2 1 0 a 2 b2 c a b c ( ， ， )时, 3 3 3
2 2 2x 2 y , 又因 gardz M 2 , 2 l b b M a a z l l 2 2 所以 l gradz | M n | l | | l | a 2 b 2 M
a b 2 2 2x 2 y n 2 , 2 , , b b M a a
已知平面的法向量为n1={1，3，1}，依题意应有 n∥n1，即 y x
0
1

0
3
1
故所求点为(－3，－1，3)，所求法线方程为
x 3 y1 z 3 . 1 3 1
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x2 y2 例3 求函数z 1 ( 2 2 )( a 0, b 0)在 a b a b x2 y2 点( , ) 处沿椭圆 2 2 1的内法线 a b 2 2 方向的方向导数。 2 2 x y 解 曲线 1 在M点的内法线方向为
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二、典型例题 例1 求曲线 y2= 2mx,z2 = m－x在点M0(x0,y0,z0)处的 切线方程 解法一：公式法F(x，y，z)=2mx－y2=0， G(x，y，z)=x+z2－m=0。 Fx=2m，Fy=－2y，Fz=0；Gx=1，Gy=0，Gz=2z。
Fy T Gy
Fz Fz , Gz Gz
4
lim
| xy |
x 0 y x
x 2 y 2
lim
| x 2 | 2x 2
x 0 y x
0
函数z | xy |在（0， 0）点不可微
f f ( 0 x ,0 y ) f ( 0,0) lim l 0
法向量： n { f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ),1}
3.方向导数与梯度 （1）方向导数 （i）定义 f lim f ( x x , y y ) f ( x , y )
l
0
lim
f ( x cos , y cos ) f ( x , y )
Fx Fx , Gx Gx
{4 yz ,4mz ,2 y} M 0 2{2 y 0 z 0 ,2mz 0 , y 0 } x x0 y y0 z z0 切线方程 2 y0 z0 2mz 0 y0
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2 y 0 0 2 m 2m 2 y , , 2z 2z 1 1 0 M 0 0
切线方程为
x x0 y y0 z z0 , m 1 1 y0 2z0
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例2 在曲面z = xy上求一点，使这点处的法线垂直于 平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程 解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为
n { f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ),1} { y 0 , x 0 ,1}
(3) 交面式空间曲线的切线的另一求法。
n 1 { Fx ( M 0 ), F y ( M 0 ), Fz ( M 0 )}, n 2 {G x ( M 0 ), G y ( M 0 ), G z ( M 0 )},
切线为两切平面的交线。切向量T∥n1n2.
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2．会求曲面的切平面与法线 (1)∑的方程为F(x，y，z)=0，M0是∑上一点，则 法向量 n { Fx ( M 0 ), F y ( M 0 ), Fz ( M 0 )}, (2)∑为z=f(x，y)时，fx、fy在(x0，y0)处连续，
第二次习题课
一、内容及要求 1．会求空间曲线的切线及法平面 x ( t ) （1） 由参数方程给出时 y (t ) z (t ) 切向量T { ' ( t ), ' ( t ), ' ( t )}
切线方程
法平面方程
x x0 y y0 z z0 ' (t 0 ) ' (t 0 ) (t 0 )
辅助函数 F ( x , y ) f ( x , y, z ) ( x , y, z ) (iii)函数u=f (x，y，z，t)在条件
( x, y, z , t ) 0
辅助函数
下的极值
F f ( x , y, z , t ) ( x , y, z , t ) ( x , y, z , t )
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G ( x 0 , y0 , z 0 )
2 2 2 x 0 y0 z 0 ln x0 ln y0 ln z0 ( 2 2 2 1) , a b c
G 0, G 0, Gz 0 x y 2 2 2 , 由 x y0 y0 0 2 2 2 1 0 a b c

4
时，
即 当l 的方向与-gradf（1，1）一致时，
方向导数可取得最小值.

4
时，
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解法二
根据方向导数的计算方法：
f cos sin 2 sin ( ), 4 l 当 ，即 时， 方向导数可取得最大值；
4 2 4
3 5 方向导数可取得最小值； 当 ，即 时， 4 2 4 3 3 7 当 , 或 时， 4 2 4 4 2 4
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x2 y2 z2 例 6 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1 a b c
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四 面体体积最小，求切点坐标.
解 设 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 为椭球面上一点,
x2 y2 z2 令 F ( x, y, z ) 2 2 2 1, a b c
lim f ( 0 cos ,0 cos ) f ( 0,0)
0

| cos sin |
lim
0

| cos sin |
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（2）梯度 (i)定义 f (x，y)在D内一阶偏导连续，
f f gradf ( x , y ) i j x y
方向导数值为零。

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例5
求由方程 x 2 y 2 z 2 2Baidu Nhomakorabeax 2 y
4z 10 0确定的函数 z f ( x , y )的极值 解 将方程两边分别对 x, y 求偏导 2 x 2z z 2 4 z 0 x x 驻点为 P (1,1) , 2 y 2 z z y 2 4 z y 0 将上方程组再分别对 x, y 求偏导数, 1 1 A z | P , B z | P 0, C z yy | P , xx xy 2 z 1 2 z 2 0 ( z 2), 函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 所以 z f (1,1) 2 为极小值； 41 当 z 2 6 时， A 0 , 所以z f (1,1) 6 为极大值. 4
x x0 y y0 z z0 化简为 2 2 1, 2 a b c
该切平面在三个轴上的截距各为
b2 c2 a2 x ， y ，z , z0 y0 x0
1 a b c 所围四面体的体积 V xyz , 6 6 x0 y0 z 0
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2
2 2
2 2 2 x0 y0 z 0 在条件 2 2 2 1下求 V 的最小值, a b c
0
0
0
' (t 0 )( x x 0 ) ' (t 0 )( y y0 ) ' (t 0 )( z z 0 ) 0
1
F ( x , y , z ) 0, （2） 由一般式方程给出时 ： G ( x , y , z ) 0.
F y Fz Fz F x F x F y 则 T , , G y Gz Gz G x G x G y M 0 或根据隐函数求 ' ( x ), z' ( x )，则T {1, y' ( x ), z' ( x )}. y
2 y0 2 z0 2 x0 则 Fx |P 2 ， F y | P 2 ， Fz | P 2 a b c
过 P ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为
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y0 z0 x0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 0 , 2 c a b
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(4)．条件极值及拉格朗日乘数法。 (i) 函数z= f (x，y)在条件 ( x, y ) 0下的极值。
辅助函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
(ii) 函数u= f (x,y,z)在条件
( x, y, z ) 0下的极值。
( x , y, z , t ) 0,