第十一章 分形结构和分数维

Sierpinski gasket
dH ln 20 / ln 3 2.7268
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空间维数
• 根据相对论，空间和时间是不可分的，因 此可以经验体验的时空是4维的，3维是经 验的空间，1维是时间
如何认识空间维数？
我们不做讨论
认识空间维数有多难？
站在高维空间，我们尝试让低维空间生物认识 三维空间
分形结构
内容提要
• 11·4 • 11·ห้องสมุดไป่ตู้ • 11·6 • 11·7
海岸线有多长 分形极其物理机制 准晶体的自相似性 其他分形结构
（1）海岸线和边界线(Ruler) 20世纪20年代，英国科学家 L.F.Richardson 研究海岸线的长
度时，总结了许多人的研究结果，发现不同长度的标尺 测r得的长度
康托尔集合
• 在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔 格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯 蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线 段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻 的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他 数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。
d ln 2 0.6309 ln 3
• Fractal一词是B.B.Mandelbrot 1975 年提出的。
如何研究分形？
例. 取长度为 l 的线段，放大 2 倍后的长度 2 l。边长 为 l 的正方形，每边长放大 2 倍的面积为 4 l2。边长 为 l 的立方体，每边长放大2倍的体积为 8 l3。
结果整理如下： 一维图形（线段） 21= 2 二维图形（正方体） 22= 4 三维图形（立方体） 23 = 8 归结：
准晶体的发现
准晶态或准晶体
1984年Shechtman等首先 报道了他们在快冷 A186Mn14合金中发现具有 5次对称轴的结构。于是， 一类新的原子聚集状态的固 体出现了，这种状态被称为 准晶态（quasicrystalline state），此固体称为准晶 （quasicrystal）。准晶态 的出现引起国际上高度重视
不同。N (r) 海岸线和分界线实质上是分形，它们十分曲折，取一大段放大后仍 然是曲折的，与科克曲线比较，属于无规分形
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11·5 产生分形结构的原因
• 混沌（Chaos ）是关于非线性系统在一 定参数条件下展现分岔（bifurcation）、 周期运动与非周期运动相互纠缠，以至 于通向某种非周期有序运动的现象。
钛镍准晶相得高分辨电 子显微镜.
1.晶体、非晶体与准晶体的特点。
晶体—具有格子构造的固体, 或内部质点在 三维空间成周期性重复排列的固体。具有1、 2、3、4、6次对称轴。
短程有序＋长程有序（short+long range order）
Df
D log K log L
豪斯道夫维数与相似维数
相似维数
换一个视角： 把单位面积的正方形等分成九 个小正方形，每个小正方形边长缩短为原来长 度的1/3，即有： 9×(1/3)2＝1 指数 2 显然为正方形维数。该式表示局部与整 体有相似关系。
Ds
log N
log(1/ )
例：边长为 2l 的正方体，四等分得边长 l 的四个小正方形。小正方形边长与
科赫曲线
d ln 4 ln 3
产生一个匪夷所思 的悖论："无穷大" 的边界，包围着有 限的面积。（保守 派数学大师们晕倒 撞墙去吧）
Sierpinski
地毯
dH ln 8 / ln 3 1.8928
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Sierpinski gasket dH ln 5 / ln 2 2.3219
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第十一章 分形结构和分数维
• “浮云不呈球形，山峰不 呈锥体，海岸线不是圆圈， 树干不是光溜溜的，闪电 永不会沿直线行进”
------曼德布罗特(Mandelprot)
博学多才的大师
1924年出生于波兰华沙; 1936年移居法国巴黎; 1948年在美国加州帕萨迪纳获航空学硕士学位; 1952年在巴黎大学获数学博士学位; 曾经是普林斯顿,日内瓦,巴黎的访问教授,哈佛大学”数学实践讲 座”教授,IBM公司的研究员.
原正方形边长之比为＝1/2，局部与整体的相似比为： = l/2l =1/2 ，Ds 为:
Ds
log N log(1/ )
log 4 log 2
2
Df
定义：假定某个几何体由 N个局部组成，每个局部
以相似比 与整体相似，
则客体的相似维数为：
Ds
log N
log(1/ )
几种分型图形的认识
• 康托尔集 • 科赫曲线 • 谢尔宾斯基镂垫 • 谢尔宾斯基海绵
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content
• 1. 什么是分形 • 2.豪斯道夫维数与相似维数的计算
2.1豪斯道夫维数 2.2相似维数（自相似性） 2.3分形维数
• 3.几种数学中的规则分形 • 4.一个趣味问题
什么是分形？——自然界
奇妙的计算图形
什么是分形？——计算机图形
• 定义：具有某种自相似性 结构的集合称为分形。
设想我们是一只二维空间的生物
方法一：穿越空间
方法二：空间膨胀展开
是不是有一种无力感…… 跨越空间的认识就是这么难…… 留给我们的路还很长……
谢谢观赏 ~~
下面有请张艺镡同学
Make Presentation much more fun
中国海岸线总长度3.2万公里，其中大陆海岸线1.8 万公里，岛屿海岸线1.4万公里？
• 吸引子：吸引子是一个数学概念，描写运动的
收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是 指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任 何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋 于它。这样的集合有很复杂的几何结构。
• 在动力学里，就平面内的结构稳定系统而言，长 期运动不外是：1.静止在定态2.周期性地重复某 种运动。在非混沌体系中，这两种情况都是“一 般吸引子”，而在混沌体系中，第二种情况则被 称为：“奇异吸引子”。
LD K D 1,2,3
• 什么是维数？
• 豪斯道夫维数
与人们熟悉的整规体形的整数维不同， 分形体的维数不一定是整数，它可取连 续变化的各种数值，称为分形维数（简 称分维）。
推论：对于正规几何图形，分子为分母整除， Df 为整数，是欧几里德维数。对非规则图形， 分子与分母不总可整除， Df 一般是分数，称 为分维。