高等数学函数的单调性与凹凸性PPT讲稿

y y 3 x2
当 x 0时, f ( x) 0,
o
x
所以函数单调递减;
当0 x 时, f ( x) 0,
所以函数单调递增;
说明:
单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.
总结求单调区间的步骤
1．写出函数的定义域，并求出函数的导数 2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点) 3．以导数等于零的点、不可导点为分点，
从导数的几何意义考察函数的单调性：
y
y
y f (x)x
f (x) 0
oa
b
90, 单调上升
x
y f (x)
f (x) 0
oa
b
90, 单调下降
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x) 0
严格单调
yA y f (x)
B
oa
bx
f ( x) 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在(a, b)内可导 , 若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上单调增加; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上单调减少.
所以函数在(,0]内单调递减;
当0 x 时, f ( x) 0,
所以函数在[0,)内单调递增;
注意:函数的单调性是一个区间上的性质, 要用 导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用
一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
例2. 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解: 函数的定义域D : (,),
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1 , 2).
o 12 x
练习 确定 f ( x) ( x 1) 3 x2 的单调区间.
解 Df (,).
f ( x) 5 x 2 的零点为 2 ，不存在的点为0。
33 x
5
将 f 的符号与 f 的单调性列表如下：
把函数的定义域区间分成若干个区间， 并确定导函数在各个区间内的符号， 从而确定函数在每个区间内的单调性。
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
论仍然成立； (2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.
例如, y x3 , y x0 0, 但在(,)上严格单调增加.
例1. 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 函数的定义域 D : (,),
令 f ( x) 0 , 得 x 0 把 ( , )分成两个区间
当 x 0时, f ( x) 0, ( , 0],[0, )
则 f ( x2 ) f ( x1) 0 , y f ( x) 在 [a , b] 上单调增加 .
如果在 (a , b)内 f ( x) 0 , f ( ) 0 ,
则 f ( x2 ) f ( x1) 0 , y f ( x) 在 [a , b] 上单调减少 .
注意: (1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结
练习. 证明
时, 成立不等式
证: 令 f (x) sin x 2 ,
x
且
f
( x)
x
cos x x2
sin
x
cos x x2
(x
tan
x)
0
tan x x
1
因此
从而
二、曲线的凹凸与拐点
C
B
D
A
E
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?
y
y f (x)
y y f (x)
o x1
x (-, 0)
0
(0, 2/5) 2/5 (2/5, +)
f
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不存在
-
0
+
f
连续
连续
f 在 ( , 0]上 单 调 增 ； 在[0, 2]上 单 调 减 ； 在[ 2 , )
5
5
上单调增。
5/21
注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明 一些不等式。 例4 当 x 0时, 试证 x ln(1 x) 成立 .
17
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内
则 在 I 内图形是凸的 .
证: 只证(2)
由定义只须证：f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
只须证：f ( x1 x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
x2 x
图形上任意弧段位于
所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段位于 所张弦的上方。
定义1 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
图形是凸的 .
y
y
则称 则称
o
x1 x1x2 x2 x
2
o
x1 x1x2 x2 x
2
曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y f (x)
证 设 f ( x) x ln(1 x) , f ( x) 在 [0, ) 上连续、在 (0, ) 上可导且
f ( x) x 0, 1 x
f ( x) 在[0, ) 上单调增；又 f (0) 0 ,
当 x 0时， f ( x) x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x).
高等数学函数的单调性与凹凸 性课件
一、 函数单调性的判定法
对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x) 在区间I 上是单调增加的.
对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) , 则称 f ( x) 在区间I 上是单调减少的.
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理2 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ;
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
证 . x1 , x2 [a , b] , 且 x1 x2 , 在 [ x1 , x2 ] 上应用 Lagrange 中值定理得 :
f ( x2 ) f ( x1) f ( ) ( x2 x1) ( x1 x2 ) 如果在 (a , b)内 f ( x) 0 , f ( ) 0 ,