热传导+对流微分方程推导(精.选)

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热传导微分方程

导热又称热传导,是两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间,由于温度不同而引起的热量传递现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的运动进行传递,没有明显的物质转移。热量可以通过固体、液体以及气体进行传导,但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。

1 傅立叶定律

傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为:

q gradT λ=-⋅ (2-1)

式中:q ——热流密度,是一个向量,2/()Kcal m h

gradT ——温度梯度,也是一个向量,℃/m 。

λ——导热系数,又称热导率,/()Kcal mh C o ;

式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。

2 导热系数(thermal conductivity )及其影响因素

导热系数λ(

/()Kcal mh C o

)是热传导过程中一个重要的比例常数,在数值上等于每小时每平方米面积上,当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。

导热系数是指在稳定传热条件下,1m 厚的材料,两侧表面的温差为1度(K ,°C),在1秒内,通过1平方米面积传递的热量,用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k (W/m·K,此处的K 可用℃代替)。

导热系数为温度梯度1℃/m ,单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。单位是:W/(m·K)。

在上述假设前提下,建立煤层瓦斯流动数学模型的控制方程。 3.热传导微分方程推导 在t 时刻w 界面的温度梯度为

x

T

∂∂ 在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x

T x T dx x x T x T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂

+∂∂

单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为:dydz x

T

∂∂-λ

; 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为:dydz dx x T x T ⎥⎦

⎣⎡∂∂+∂∂-22λ; 单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为:dxdydz x T

22∂∂λ

图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图

同理,单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz y

T

22∂∂λ

单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为:dxdydz z T

22∂∂λ

单位时间内流入六面体的总热量为:

dxdydz z T y T x

T ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1)

六面体内介质的质量为:

dxdydz ρ

单位时间六面体内热量的变化量(增加)为:

Cdxdydz t

T

ρ∂∂ 根据热量守恒定律:

Cdxdydz t T dxdydz z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

C t T

z T y T x

T ρλ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

t

T

z T y T x T C ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222ρλ

t T

z T y T x

T a ∂∂=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222

C

a ρλ

=

α称为热扩散率或热扩散系数(thermal diffusivity ),单位m^2/s.

λ:导热系数,单位W/(m·K); ρ:密度,单位kg/m^3

c :热容,单位J/(kg·K).

思考:如果单元体内有热源:单位体积单位时间的散热量是q 方程怎么变?

4.岩石的热扩散率(导温系数) thermal diffusion coefficient ;thermal

diffusivity; thermal degradation

岩石的热扩散率也叫或热扩散系数,表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能

力。它反映岩石的热惯性特征,是一个综合性参数。热扩散率越大的岩石,热能传播温度趋于一致的速度越大,透入的深度也越大。

热扩散系数一般是根据岩石的导热系数(ramuda)、和密度(rou)的测量数据计算得到的。

图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图

在t 时刻

w 界面流体速度为U ,流体温度为T

单位时间流入微元体的流体质量为:udydz dm ρ=1

带入微元体的热量为:uTCdydz ρ

e 界面流体速度为dx x u u ∂∂+

,流体温度为dx x

T T ∂∂+ 单位时间流出微元体的流体质量为:dydz dx x u u dm ⎥⎦⎤⎢⎣

∂∂+

=ρ2 带出微元体的热量为: Cdydz dx x T T dx x u u ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡

∂∂+

ρ dxdydz x

T

dx x u C Cdxdydz x T u TCdxdydz x u uTCdydz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+ρρρ

ρ 如果不考虑x 方向速度变化,略去高阶微量,则e 界面带出微元体的热量为:Cdxdydz x

T

u

uTCdydz ∂∂+ρρ 单位时间内在x 方向流入六面体的净热流量为:dxdydz x

T

uC

∂∂-ρ; 同理, y 方向:dxdydz y T vC

∂∂-ρ z 方向:dxdydz z

T wC ∂∂-ρ

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