粘弹性阻尼减振的基本概念

第一章粘弹性阻尼减振的基本概念
振动控制和阻尼的概念
1.1.1振动与噪声的危害
振动是一种普遍的物理现象，我们这里讨论涉及到的震动问题主要是机械结构的振动及由此产生的物理现象。

大多数情况下，机械振动会造成严重危害，必须采用各种有效的方法加以控制，振动与噪声的危害主要包括：
1)振动造成机械结构的损坏，破坏工作条件。

如建筑物在地震中受到随机
激励后，其强度承受不了共振响应造成损坏。

2)振动降低机器、仪器或工具的精度。

如运载工具（火箭等）的命中精度
和控制装置如仪器、计算的抗振能力直接有关。

3)振动引起噪声，严重污染环境。

如一些大型的振动设备工作过程中会产
生严重的噪声污染。

4)振动增加机械磨损，降低及其寿命。

如在常高在低不平的路面上行驶，
汽车的寿命会严重减少。

1.1.2振动与噪声控制的主要方法
振动控制的工程含义有两层：振动利用和振动抑制。

前者指利用系统的振动以实现某种工程目的；后者则指抑制系统的振动以保证系统正常工作，延长其使用寿命，本文主要讨论的是后面一个问题。

振动控制的方法很多，就机械产品设计和结构改进的角度上作分析和研究，振动和噪声控制主要是从消除振源或噪声源；隔离振源（及声源）与受影响机构间的传递和联系；以及减少结构本身响应这三个方面采取措施。

1)消除振动源或噪声源。

2)隔离振源（或声源）与受影响机构（或环境）之间的联系及能量传输。

3)结构的抗振及抗噪设计。

阻尼减振降噪技术的定义以及工程应用实例
1.2.1阻尼技术的定义
从减振降噪的角度上来看，阻尼是指损耗振动能量的能力、也就是将机械振动及声振的能量，转变成热能或其它可以损耗的能量，从而达到减振及降噪的目的。

阻尼减振、降噪技术就是充分运用阻尼耗能的一般规律，从材料、测量、
工艺、设计等各项技术问题上发挥阻尼在消振、消声的潜力、以提高机械结构的抗振性，降低机械产品的噪声。

1.2.2阻尼技术的实例
阻尼技术在实际工程中已经被大量采用，下面列举一些应用实例。

1)阻尼有助于降低共振振幅（位移、速度、加速度等），各类结构在增加阻尼后可以避免应应力达到极限所造成的破坏。

曾经的世贸大楼，为了保持大楼的稳定，安装了一万多个阻尼器，在风力激励下，顶层的振幅大幅度下降。

2)阻尼有助于机械结构受到冲击后，迅速恢复到稳定状态。

例如高质量的羽毛球拍或网球拍，进行了阻尼处理后可以在最短的时间内稳定下来，不影响下次接球。

3)阻尼有助于减少因机械振动产生的声辐射，降低机械噪声。

例如一般的锯片在切割过程中的噪声可能高达105dB，如果在锯片的两侧涂以大阻尼的涂层，再贴上铝制的约束层，可以使噪声下降12-18dB。

4)阻尼可以降低结构振动，提高各类机械仪器的加工精度，测量精度和工作精度。

这对于各类机床，特别是精密机床是很有意义的。

5)阻尼有助于结构减少传递振动或声能的能力，用于隔振、隔声及阻断能量的传递。

对于储油罐的保护，就采用了三个固定在地基上的阻尼器相连，对于从各个方向传来的地震波均有隔振及阻尼作用。

阻尼的特征值和数学描述
1.3.1阻尼的产生机理
机械结构阻尼的产生机理，是指机械结构将机械振动的能量转换成可以耗损的能量，从而起到减振作用，就物理现象区分，可分为以下五种类别：
1.材料的内摩擦
材料的内摩擦又称材料阻尼，主要是材料内部分子或金属晶粒间在相互运动中相互摩擦而损耗能量所产生的阻尼。

对于不同的材料，用材料损耗因子所标志的阻尼值存在巨大的差别。

表1-1列举了一些材料在室温和温频范围内的损耗因子值。

表1-1 各种材料的损耗因子值
2.摩擦
摩擦阻尼有时称为材料的外摩擦，以区别于材料的内摩擦。

摩擦耗能包括两个结合面在相对运动中的干摩擦或称库伦摩擦以及粘性流体（液体、气体）的摩擦两种。

摩擦使振动的机械能转化为热能而发散于介质中，因而产生阻尼。

3.能量的转换
无论材料的内摩擦还是表面的外摩擦。

都是使机械振动能转换为热能，然后，耗散在周围介质中。

但是摩擦耗能在阻尼机理的分析中占有重要地位，所以把它们分别列出，而将其它能量转换的耗能单独列作另一类。

4.能量的传输
前述几种阻尼作用都是因能量损耗产生的，有一种阻尼作用产生于能量的传输。

例如测量悬臂梁的自由衰减率来确定梁的阻尼值，悬臂梁停止受激后，它的一部分能量因材料阻尼及结构阻尼而损耗，还有另一部分能量通过两个途径向外传输；一是沿着和本结构相联部分以机械波的方式传播输出，即固支端传输；还与流体（空气）接触部分，以声辐射的方式输出。

因此，从广义上讲，能量的传输也可以看成是一种损耗方式。

5.结合面阻尼
机械结构的固定连接面，甚至大部分可活动的连接面，在机械振动时并不发生引起干摩擦的相对运动。

因此，不能把结合面阻尼的产生机理看成是一种摩擦耗能。

或者说，除了一部分连接面产生相对运动并具有干摩擦耗能的产生阻尼情况外，绝大部分结合面阻尼来源于结合面的力与位移的非线性性质（如图1-1所示），是另一种阻尼的形成机理。

图 1-1 结合面动态切向力与位移的非线性关系
1.3.2阻尼特征值的数学描述
用于表征阻尼的量有诸如阻尼比ζ、损耗因子η、对数衰减率∆和品质因子Q 等。

这些量来表征结构的阻尼时，在小阻尼的情况下有一定的关系，但在高阻尼情型下并不适用。

下面简单介绍一下各个量。

1. 对数衰减率（Logarithmic Decrement ）
当阻尼比1ζ<时，单自由度自由振动系统的响应为对数衰减的正弦函数，如图 0-1所示。

t / s x (t )
图 0-1：对数衰减率
则对数衰减率∆为
0111211ln ln ln n x x x x x n x +∆===
式中，n 为峰值个数。

2. 阻尼比（Damping Ratio ）
图 0-2：粘性阻尼单自由度系统示意图
对于图 0-2所示的单自由度有阻尼系统，其自由振动方程为：
()()()0mx t cx t kx t ++=
令2/,/(2)n n k m c m ωζω==，即有 2()2()()0n n x t x t x t ζωω++=
其中的ζ即为阻尼比，也称为粘性阻尼因子。

需注意，阻尼比仅是对于阻尼
力与速度成正比的粘性阻尼而言，对于其它形式的阻尼（如结构阻尼），用阻尼比来表征只是在能量等效上的一种近似，一般只适用于小阻尼情形。

还有就是阻尼比是对单自由度系统而言，对于多自由度系统来说，有模态阻尼比（Modal Damping Ratio ）的概念，是在模态坐标下的阻尼比。

3. 损耗因子（Loss Factor ）
损耗因子η所表征的阻尼是用于描述正弦激励与相应的正弦响应之间的关系。

对于线性系统，若激励力是正弦信号，如
0()cos F t F t ω= 则响应也是正弦信号，如
0()cos()x t x t ωδ=-
其中响应的频率ω与激励力的相同，但有一个相位的迟滞δ，由此可定义损耗因子η为
tan ηδ=
需要注意，对于非线性系统，正弦激励的响应并不一定是正弦信号，因此并不能定义唯一的损耗因子η。

同阻尼比类似，在多自由度系统下，损耗因子为模态损耗因子（Modal Loss Factor ）。

4. 材料损耗因子
材料的损耗因子β表征了材料耗散机械能的能力，可表示为材料在一个振动周期内损耗的能量和最大应变能的比值： 12W W βπ∆= 其中W ∆为材料在一个周期内耗散的能量，W 为最大应变能。

需要注意，材料损耗因子β是用于表征材料的阻尼，而损耗因子η是用于表征结构或系统的阻尼。

5. 品质因子（Quality Factor ）
单自由度有阻尼系统的简谐激励下的强迫振动运动方程为：
()()()()()mx t cx t kx t F t kf t ++==
由此可求得系统的稳态响应为()x t ，则响应与激振力的比值，即复频响应为：
()()()x t H f t ω= 则品质因子Q 定义为 max ()Q H ω=
在小阻尼情形下有
12Q ζ≈ 6. 各阻尼参数的比较
对于前面的几种阻尼参数，在小阻尼情形（0.2η<）下可有以下近似关系： 12n Q ωηζπω∆∆====
其中，η为损耗因子，ζ为阻尼比，∆为对数衰减率，Q 为品质因子，ω∆为半功率点带宽，n ω为无阻尼固有频率。

需要注意，上述关系只是在线性系统的共
振点附近才能成立。

粘弹性阻尼减振的结构形式
典型的结构阻尼处理形式，根据工程需要可以有多种多样。

主要有如下两大类。

1) 自由阻尼层处理
此种阻尼处理方法较为简单，直接将粘弹性阻尼材料粘贴或者喷涂在需要减振的结构元件的表面上，既能起到阻尼减振、降噪作用，又有美化装饰的作用。

自由阻尼层处理形式的阻尼作用，主要是通过施加在振动板上的粘弹性阻尼材料层发生拉伸变形耗能，达到阻尼减振的效果。

2) 约束阻尼层处理
约束阻尼处理是一种夹层型结构。

最典型的结构形式是将粘弹性阻尼层作 为中间层，其两面分别由弹性面层所约束。

这种结构形式多样，可分为对称型、非对称型和三层、四层、五层以及多层结构。

对于约束阻尼结构，结构的振动能量可通过阻尼层的拉伸变形和剪切变形来耗散能量，但主要还是剪切变形。

一般情况下，约束阻尼结构的阻尼效果都要比
自由阻尼结构的要高，且对粘弹性阻尼材料的剪切模量要求也低，但对于复杂外形的结构，加工相对要困难。

阻尼结构的相关著作
《阻尼减振降噪技术》，戴德沛著，1986年西安交通大学出版社出版。

本书系统地阐述了阻尼减振降噪技术的理论问题和应用技术。

书中首先阐明了阻尼技术的概念、特点和应用范围，进而分别介绍阻尼的数学描述方法；阻尼材料及材料性能；附加阻尼结构的理论、计算、设计和优化问题；各类阻尼减震器和阻尼动力消振器；干摩擦阻尼及接合面阻尼等，通过对结构损耗因子相关因素的分析研究，着重讨论了提高阻尼减振降噪效果的理论及技术。

《粘弹阻尼减振降噪应用技术》，刘棣华著，1990年宇航出版社出版。

本书为粘弹阻尼减振降噪应用技术的研究实验及工程设计实践的总结，分别对振动控制的主要方法、粘弹阻尼技术概念、粘弹阻尼材料、结构阻尼设计计算，实验测试，制造工艺、阻尼减振应用设计、振动控制与电子设备的可靠性及轻小型化以及粘弹阻尼降噪声应用设计等内容进行了介绍，并列举了有关粘弹阻尼减振降噪方面的大量应用示例。

第二章 粘弹性阻尼材料的性能和本构关系
粘弹阻尼材料的力学性能
粘弹材料是一种同时具有某些粘性材料和弹性材料特性的材料。

粘性材料在一定的状况下具有损耗能量的能力，而不能贮存能量；弹性材料可以贮存能量，却不能损耗能量。

介于粘性材料和弹性材料之间的粘弹材料在受到交变应力作用产生变形时，部分能量能够贮存起来，部分能量则被耗散。

由于粘弹性材料的动态力学性能不同于弹性材料，所以在交变应力作用下其应力-应变曲线与弹性材料的也不相同。

对于纯弹性材料施加交变应力后，材料内部的应力和应变几乎是同时增加或减小的，它的应力应变曲线为一条直线，如图2-1所示。

而粘弹性材料的应变滞后于应力，滞后的相位角为α，它的应力-应变曲线为一椭圆形迟滞回线，如图2-2所示。

被封闭曲线包围的面积，表示材料在承受交变的应力和应变的过程中损耗的能量。

图2-1弹性材料应力-应变曲线
ω
图2-2粘弹材料的应力-应变曲线
假设应力及应变按正弦规律变化，应变滞后于应力的相位角为α。

用数学式表示材料拉压应力与应变则有
0i t e ωσσ= (2-1)
ω
()0i t e ωαεε-= (2-2)
消去上两式的参变数t ω，可以得到
*00
(cos sin )i E e E i ασσεεαα===+ (2-3) *(1)E iE E i E η''''++== (2-4)
式中：*E 为复拉伸模量；
其中η为粘弹性阻尼材料的损耗因子（又称阻尼系数），它是衡量阻尼材料耗散振动能量的主要指标之一，它与每周振动所耗散的能量与贮存能量之比成正比。

表示为
tan E E ηα''=='
(2-5) E '为复拉伸模量的实部，或称之为贮能拉伸模量，表示为：
cos E E α'= (2-6)
E ''为复拉伸模量的虚部。

因为它决定了粘弹性阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量耗损，又称之为耗能拉伸模量，表示为：
sin E E E αη'''== (2-7)
如果粘弹性阻尼材料受剪切力产生剪切变形时，其剪切应力和应变的数学表达式将与拉压时相类似：
0i t e ωττ= (2-8)
()0i t e ωαγγ-= (2-9)
复剪切模量
*00
(cos sin )i G e G i αττγγαα===+ (2-10) 或：
*(1)iG i G G G η''++''== (2-11)
tan G G ηα''=='
(2-12) 式中：*G 为复拉伸模量；
G '为复拉伸模量的实部，或称之为贮能拉伸模量，表示为：
cos G G α'= (2-13)
G ''为复拉伸模量的虚部。

因为它决定了粘弹性阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量耗损，又称之为耗能拉伸模量，表示为：
sin G G G αη'''== (2-14)
工程设计中何时采用拉伸模量，何时采用剪切模量，主要是根据粘弹性阻尼材料在实际结构中的受力状况而定的。

拉伸模量和剪切模量的关系有下式表示：
2(1)E G μ=+ (2-15)
其中μ为材料的伯松比。

一般金属材料的伯松比为~之间，而粘弹性材料的伯松比相对较高，通常可以达到~之间。

如果粘弹性阻尼材料的伯松比为，有式(2-15)可知，拉伸模量和剪切模量的关系为
3E G = (2-16)
对于单位体积的粘弹性阻尼材料而言，在交变应力及应变下每周所做的功，即在一个振动周期中能量的耗散或阻尼能用W ∆表示：
2000sin W d dv G τγπτγαπγ''∆===⎰⎰ (2-17)
或
20W E πε''∆= (2-18)
最大弹性能即一周之内总应变能W 为
200011cos 22
W G τγαγ'== (2-19) 或
200011cos 22
W E σεαε'== (2-20) 因此耗散能量与贮存能量之比：
2tan 2W W
παπη∆== (2-21) 故 12W W
ηπ∆= (2-22) 式(2-22)再次说明，粘弹性阻尼材料的损耗因子η表示每周振动所耗散的振动能量与最大应变能量之间的比值。

每周振动耗散的能量即为阻尼能。

阻尼能越大则粘弹性材料的损耗因子η就越大，阻尼效果也就越明显。

影响粘弹性材料性能的主要因素
粘弹材料的剪切模量实部'G 和损耗因子β，随环境条件有很大变化。

其中主要的影响因素是温度、频率和应变的幅值，还包括材料的预压缩量，但是，大多数阻尼结构设计及应用时，应变的幅值在小应变范围内，因此，阻尼材料的性能主要受温度和频率的影响，并且温度对于粘弹阻尼材料性能的影响是居首位的。

1) 温度的影响
标志粘弹材料物理机械性能的指标'G （'E ）和β随温度而有很大的变化，在特定的频率下，'E 和β的典型曲线如图2-3所示。

可以看到材料存在明显不同的三个区域，第一个是低温区，称玻璃态区，材料的模量高而损耗因子却较低。

第三个是高温区，称高弹态区，模量较低且β值也较低。

第二个区域是玻璃态区和高弹态区的过渡区，称为玻璃态转变区，此区域内模量迅速降低而损耗因子先是急剧增大到阻尼峰值再迅速降低。

达到阻尼峰值的温度称为玻璃态转变温度，记为Tg 。

作为适用的阻尼粘弹材料，Tg 必须和材料的工作温度相适应。

希望能有尽可能高的损耗因子。

同时，对粘弹材料能起阻尼作用的β值必须大于，定义β>的温度范围为转变区温度宽度，记为0.7T ∆，实际上也是材料的工作温度。

图2-3'
E 和β随温度变化曲线
2) 频率的影响
在一定的温度下，弹性模量的实部'E 随频率的增加而增加，而损耗因子在一定频率下有最大值，低于或高于这一频率，β均下降，见图2-4。

图2-4 '
E 和β随频率变化曲线
粘弹阻尼材料动态力学性能总曲线图（诺莫图）
1) 温频等效原理
由上节中两个图可以看出，粘弹材料的性能在温度和频率之间存在等效关系，即低温对材料性能的影响与高频的影响等效，而高温的影响又与低频等效。

因此可以将温度和频率综合为一个参数，使用经过折算的频率R f 来代替两个参数f 和T 。

R T f f α=⋅
其中 R f ——折算频率； f ——实际频率；
T α——温频转换系数，是温度T 的函数。

两参数和单参数的数学关系如下：
''
00(,)()T T G f T G f T ραρ
=
⋅ 00,T ρ为参考温度及参考密度，这是人为选定的基准温度和密度，T 和ρ是温度和密度的参变量。

由于温度以绝对温度为单位，0/T T 及0/ρρ可在很宽的范围内接近于1而忽略。

所以可以得到：
()()
()()
''
00''(,)(),,T T T T G f T G f T f T f E f T E f ραρ
ββαα=
⋅=⋅=⋅
取图2-4中的模量曲线，为与标准一致，记为()'G f 曲线('E 与'G 曲线线型完全一致)，这时的温度0T T =，若改变温度T 就可以得到一组曲线，它们表示
T α与温度T 的经验公式为：'G 与频率f 及温度T 的关系。

图2-5（a ）表示这一组曲线中01,T T T =的情况。

把这两根曲线用一个自变数来表示，即把这一组曲线用一根曲线来表示，如图2-5（b ）所示，那么在'G 取特定值'0G ，对于01,T T 这两根曲线，其频率分别为01,f f ，要得到在图2-5（b ）上的同一个R f ，则R f 满足下式则可：
对于0f 0
000
000
1()R T T f f f f T T f αα=⋅==
== 对于1f 1
011110
1()R T T f f f f T T f αα=⋅==
>=
图 2-5 用单参数R f 代替,f T 两个参数
当T 在很宽的范围内变化时21012(,,,,,)T T T T T --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，就得到了相应的T α值
21012(,,,,,)T T T T T ααααα--⋅⋅⋅⋅⋅⋅，于是就可以建立T α与T 的经验公式。

0012()
lg 525()
T T T T T α--=
+-
有了图2-5（b ）那样的用一条曲线代表不同温度T 的'R G f -关系曲线，，用同样的方法可以得到R f β-关系曲线，就能表明材料在不同温度、不同频率下的特性了，为了使用方便，可以制成诺莫图（Nomogram ）表示的材料物理机械性能的总曲线图，如图2-6所示。

图2-6 材料物理机械性能总曲线图（示性图）
总曲线图的右边垂直轴表示实际所选的频率（如选的频率值在C 点），平移交温度斜线T （如交1T -，其交点为x ）,再在此交点上引垂直线交实剪切模量'G 曲线（B 点）及损耗因子β曲线（A 点），所求得的交点坐标（B 点及A 点坐标，坐标轴在总曲线图的左边垂直轴）就是在一定的,f T 条件下'G 与β值。

折算频率是由D 点表示的值。

粘弹性阻尼动态性能的测试方法
1) 正弦力激励法
为了测定材料的动态模量及损耗因子，通常的做法是将粘弹阻尼材料制成一定尺寸规格的试样，把试样置于机械系统中受正弦力激励，测定力的频率和幅值及响应的频率和幅值以及力和响应的相位，然后再根据测得的这些参数计算出粘弹阻尼材料的动态模量和损耗因子。

正弦力激励法的物理模型如图2-7所示。

在这样的单自由度机械系统中，粘弹材料的动态力学性能以复刚度表示，
''''(1)K K iK K i β*=+=+
其中，K *—复刚度； 'K —复刚度的实部； ''K —复刚度的虚部；
β—粘弹阻尼材料的损耗因子。

对于图示的物理模型用微分方程可表示：
图2-7 正弦激励法物理模型
'(1)M x K i x P β++=
式中 M —加在试样上的质量； x —位移幅值； P —力。

若将力P 分解为同相的实部a P 和与x 异相的虚部b P ，则有
2''''
2
''
()a b a b
M x K x iK x P iP K M x iK x P iP ωω-++=+-+=+
上式实质上是力的平衡方程，如图2-8所示：
()'2'2''''a a
b b P K M x P K M x P K x P K x
ωω=-=+==
注意到，力P 和位移x 的相位角为ϕ时，
cos sin a b P P P P ϕϕ
==
图2-8 力的矢量平衡图
'2
'''''2cos sin sin cos P K M x P K x K P K P M x ϕ
ωϕ
ϕβϕω=
+=
==
+ 上式说明：可通过测定激励力的幅值P 、试件的交变位移x , P 和x 的相位ϕ，以及参数ω（由动态模量仪的音频讯号发生器的实际激振频率表示，或用频率计测定），系统的当量质量M ，求得材料的损耗因子β。

同样，可以得到动刚度的实部'K
如果在测试中试件受拉—压交变力作用，则实刚度'K 可以通过试件的形状
因子TC q 折算成实杨氏模量，
''TC E q K =
如果试件在测试中受剪切力，那么实刚度'
K 可以通过试件的形状因子S q 转
换成实剪切模量，
''S G q K =
试样的形状因子是根据试样的尺寸形状计算出的。

上两式是根据正弦激励法的理想物理模型建立的，在实际应用中随着测试方法和测试设备的及试样的不同，这两个公式还需要进行一些修正。

在实际使用正弦力激振法进行材料性能测定时，可采用三种方法，即正弦力扫频测量法，峰值共振法以及半功率法。

这里不再赘述。

2) 振动杆法
振动杆法的测量原理与正弦激励法类似。

但是试件的承受的不是拉压或剪切 应变，而是受力后产生的弯曲振动。

图2-9表示振动杆法的测量装置。

刚性金属杆被支撑在与杆两端相联的软弹簧片上，杆的一端受激振器激振，而另一端与测振传感器相对，从这里测量振动位移，试件置于隔热箱内以便控制和调节温度，试件的弯曲变形图示见图2-10
图2-9 振动杆法的测量装置
1. 激振器；
2.振动杆；
3.隔热箱；
4.测振传感器；
5. 工作台；
6.仪器基座
7.试件；
8.隔振垫；
9. 支撑弹簧片
图2-10 试件的弯曲振动
系统受左端的激振器激振时，成为一个单自由度系统，系统在纵向的刚度由两端的两根片弹簧及中间粘弹材料试样所构成，两根片弹簧的刚度为
3111212/E I l ⨯，金属材料的阻尼损耗因子很小，1E 取实数，1I 是片弹簧的惯性矩。

试件的刚度为312/E I l S *，试件作为阻尼材料，损耗因子较大，E *因此取复数，
S 是形状因子，当/1,1h l S =，h 增大时，S 迅速增大。

由于和阻尼材料相联，
所以系统的纵向刚度为复数，如下式所示
113312412Re()Im()E I E I
K K K l Sl
**
**=+=+
'11331Re()2412E I E I
K l Sl
*
=+
'3Im()12E I
K Sl
β*
=
系统的总质量等于杆的质量r M 和弹簧当量质量e M 的和，试件的质量忽 略不计，经计算
13235
e b M M =⨯
式中，b M 是长1l 的弹簧质量， 2635
r b M M M =+ 于是，本系统的固有频率为
2Re()
n
K M
ω*=
由此得：
'2
1133
12412n
E I E I
Ml MSl ω=+
如果试验装置中没有加试件，则装置本身的固有频率为：
2
11
13
124
n E I Ml ω= 引入一个新的变量称固有频率比Z ，定义Z 为： 1
n
n Z ωω=
则 3
'2
111112l E I Z S E I l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
整理上式可得：
()3
'22
11n l S E M Z h b
ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭
由上式可以计算阻尼材料的杨氏模量实部'E
测量系统的损耗因子η，由复刚度K *的虚部和实部之比求得：
'3
3'3111Im()12/Re()(24/12/)
S K E I Sl K E I l E I Sl βη**==
+ 将前述几式带入上式，可以得到
222
1
22
(1)1n S n Z M Z M Z
βωηβω--== 于是有
2
1
1S
Z
ηβ=
-
由上式可以计算阻尼材料的损耗因子β。

只要测量得到测量系统在不加试件的共振频率1n ω及设置试件后的共振频率n ω，以及系统在设置试件后的系统损耗因子S η，就可求得材料的实杨氏模量'E 及损耗因子β。

当材料的尺寸
/h l 改变时，1n ω，n ω的绝对值均有变化，这就可得到不同频率下的'E ，β。

改变隔热箱内的温度就可以得到温度和频率改变后的'E 、β值，从而得到阻尼材料性能的总曲线图。

形状因子是随/h l 而变化的，/h l 增大，剪切效应也增大。

形状因子S 可以按照下式计算
2
22312h h S l l ⎛⎫⎛⎫=+
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭
但是，上式只有在/h l >时才符合实际情况，因此，实际使用的S 可按图
2-11中的虚线计算。

图2-11 形状因子S 与h/l 的关系
3)自由衰减法
自由衰减法测试装置示意见图2-12所示。

在底座顶面中心安装测力传感器，试样放在测力环的预紧螺钉上，两边安放的支撑块用泡沫橡胶垫制成，应保证支撑块的刚度和阻尼值比试样至少低一个数量级，还应保证其上的压板在受力后不至歪斜。

压板的质量应进行试验选择，要保证试样具有一个合适的压缩量，就应根据不同模量的材料选用不同质量的压板。

压板太重就难以保证材料性能在线性范围内测试，压板太轻，由于压板和试样脱开会造成削波。

在进行自由衰减试验时，用装有加速度计的手锤敲击压板中心部位，同时用16线示波器记录加速度和力随时间变化的曲线，如图2-13所示。

从加速度曲线可以看到施力的时间是很短的，第一个半波显示有力的影响，从第二个半波开始主要是自由衰减波形，可以用来计算粘弹材料试样的模量及损耗因子 值。

图2-12 自由衰减法试验装置
1—手锤；2—加速度计；3—电荷放大器；
4—16线示波器；5—导杆；6—支撑块；7—压板；
8—试样； 9—测力环
图2-13自由衰减曲线。