概率论与数理统计随机事件与概率
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总结/summary
切比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
理解切比雪夫不等式的定义， 掌握用切比雪夫不等式求解概率上界
理解依概率收敛的定义 了解切比雪夫大数定律 了解伯努利大数定律 了解辛钦大数定律
掌握运用列维-林德伯格中心定理和 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解 独立随机变量之和的近似概率值
38
中心极限定理
27
所以最多有78个加数，才能使误差总和的绝对值不 超过5的概率超过0.95。
中心极限定理
28
例6 在街头赌博中,庄家在高尔顿钉板的底板两端 距离原点超出8格的位置放置了值钱的东西来吸引 顾客，试用中心极限定理来揭穿这个街头赌博中的 骗术。
解
中心极限定理
29
所以，有
-1
1
0.5
0.5
中心极限定理
20
高尔顿钉板
中心极限定理
21
中心极限定理
22
定理6（列维—林德伯格中心极限定理）
由于中心极限定理的证明需要使用其它的数学 工具，因此这里不给出证明。
中心极限定理
23
解
中心极限定理
24
例5
中心极限定理
25
中心极限定理
26
解 （2）设加数最多有ᵅ 个才能使误差总和的绝对 值不超过5的概率超过0.95。有
一、切比雪夫不等式
5
定理1（切比雪夫不等式）
一、切比雪夫不等式
6
例2
解
一、切比雪夫不等式
7
例3
二、依概率收敛
8
定义1
二、依概率收敛
9
依概率收敛性具有下列性质：
定理2
三、大数定律
10
定理3 伯努利大数定律
三、大数定律
11
证明
由切比雪夫不等式知，对任意ᵰ > 0，当ᵅ →∞时，
，
三、大数定律
1
05
随机事件与概率
《概率论与数理统计》
2
目录/Contents
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
3
目录/Contents
5.1 大数定律
一、切比雪夫（Chebyshev）不等式 二、依概率收敛 三、大数定律
一、切比雪夫不等式
பைடு நூலகம்
4
例1
设ᵄ ~ᵄ (ᵰ ,ᵰ 2)，计算ᵄ (|ᵄ − ᵰ | ≥ 3ᵰ )。
03
OPTION
18
目录/Contents
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
中心极限定理
19
例5（高尔顿钉板实验）
如图，有一排有一个板上面有排钉子，每排相 邻的两个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的水 平位置恰巧位于下一排紧邻的两个钉子水平位置的 正中间。从上端入口处放入小球，在下落过程中小 球碰到钉子后以相等的可能性向左或向右偏离，碰 到下一排相邻的两个钉子中的一个。如此继续下去， 直到落入底部隔板中的一格中。问当有大量的小球 从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底 板中堆积的形态. 设钉子有16排
谢谢观赏
《概率论与数理统计》
中心极限定理
33
解
中心极限定理
34
解 （1）借助于计算机得
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率 为0.9601。
中心极限定理
35
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率近 似值为0.9522.
中心极限定理
36
解
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率 近似值为0.9513.
37
12
定理4（独立同分布大数定律）
三、大数定律
13
定理5（伯努利大数定律）
显然伯努利大数定律是独立同分布大数定律的 特例。这里
三、大数定律
14
三、大数定律
15
例4
1 ᵄ ᵅ ∼ ᵃ (ᵅ ,ᵅ ),ᵅ = 1,2, ⋯ ;
2 3
三、大数定律
16
解
三、大数定律
17
例4续
01
OPTION
02
OPTION
中心极限定理
30
中心极限定理
31
定理7（德莫弗—拉普拉斯中心极限定理）
中心极限定理
32
例7 某 单 位 的 局 域 网 有 100个 终 端 ,每 个 终 端 有 10%的时间在使用,如果各个终端使用与否是相互 独立的.（1）计算在任何时刻同时最多有15个个终 端在使用的概率；（2）用中心极限定理计算在任 何时刻同时最多有15个个终端在使用的概率的近似 值；（3）用泊松定理计算在任何时刻同时最多有 15个终端在使用的概率近似值。
切比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
理解切比雪夫不等式的定义， 掌握用切比雪夫不等式求解概率上界
理解依概率收敛的定义 了解切比雪夫大数定律 了解伯努利大数定律 了解辛钦大数定律
掌握运用列维-林德伯格中心定理和 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解 独立随机变量之和的近似概率值
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中心极限定理
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所以最多有78个加数，才能使误差总和的绝对值不 超过5的概率超过0.95。
中心极限定理
28
例6 在街头赌博中,庄家在高尔顿钉板的底板两端 距离原点超出8格的位置放置了值钱的东西来吸引 顾客，试用中心极限定理来揭穿这个街头赌博中的 骗术。
解
中心极限定理
29
所以，有
-1
1
0.5
0.5
中心极限定理
20
高尔顿钉板
中心极限定理
21
中心极限定理
22
定理6（列维—林德伯格中心极限定理）
由于中心极限定理的证明需要使用其它的数学 工具，因此这里不给出证明。
中心极限定理
23
解
中心极限定理
24
例5
中心极限定理
25
中心极限定理
26
解 （2）设加数最多有ᵅ 个才能使误差总和的绝对 值不超过5的概率超过0.95。有
一、切比雪夫不等式
5
定理1（切比雪夫不等式）
一、切比雪夫不等式
6
例2
解
一、切比雪夫不等式
7
例3
二、依概率收敛
8
定义1
二、依概率收敛
9
依概率收敛性具有下列性质：
定理2
三、大数定律
10
定理3 伯努利大数定律
三、大数定律
11
证明
由切比雪夫不等式知，对任意ᵰ > 0，当ᵅ →∞时，
，
三、大数定律
1
05
随机事件与概率
《概率论与数理统计》
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目录/Contents
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
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目录/Contents
5.1 大数定律
一、切比雪夫（Chebyshev）不等式 二、依概率收敛 三、大数定律
一、切比雪夫不等式
பைடு நூலகம்
4
例1
设ᵄ ~ᵄ (ᵰ ,ᵰ 2)，计算ᵄ (|ᵄ − ᵰ | ≥ 3ᵰ )。
03
OPTION
18
目录/Contents
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
中心极限定理
19
例5（高尔顿钉板实验）
如图，有一排有一个板上面有排钉子，每排相 邻的两个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的水 平位置恰巧位于下一排紧邻的两个钉子水平位置的 正中间。从上端入口处放入小球，在下落过程中小 球碰到钉子后以相等的可能性向左或向右偏离，碰 到下一排相邻的两个钉子中的一个。如此继续下去， 直到落入底部隔板中的一格中。问当有大量的小球 从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底 板中堆积的形态. 设钉子有16排
谢谢观赏
《概率论与数理统计》
中心极限定理
33
解
中心极限定理
34
解 （1）借助于计算机得
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率 为0.9601。
中心极限定理
35
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率近 似值为0.9522.
中心极限定理
36
解
即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率 近似值为0.9513.
37
12
定理4（独立同分布大数定律）
三、大数定律
13
定理5（伯努利大数定律）
显然伯努利大数定律是独立同分布大数定律的 特例。这里
三、大数定律
14
三、大数定律
15
例4
1 ᵄ ᵅ ∼ ᵃ (ᵅ ,ᵅ ),ᵅ = 1,2, ⋯ ;
2 3
三、大数定律
16
解
三、大数定律
17
例4续
01
OPTION
02
OPTION
中心极限定理
30
中心极限定理
31
定理7（德莫弗—拉普拉斯中心极限定理）
中心极限定理
32
例7 某 单 位 的 局 域 网 有 100个 终 端 ,每 个 终 端 有 10%的时间在使用,如果各个终端使用与否是相互 独立的.（1）计算在任何时刻同时最多有15个个终 端在使用的概率；（2）用中心极限定理计算在任 何时刻同时最多有15个个终端在使用的概率的近似 值；（3）用泊松定理计算在任何时刻同时最多有 15个终端在使用的概率近似值。