金融衍生工具计算题

运用远期利率协议对利率互换定价
即将互换的价值视为一系列远期利率协议价值的贴现值之和。即只要 知道组成利率互换的每笔远期利率的价值，便可计算出利率互换的价值。 承接上例，前三个月现金流为8%的利率与10.2%的利率互换，对金融机 构而言，交换价值为：
0.5100（0.8-1.02）e0.10.25 1.0（7 亿美元） 对于9个月期的交换价值，半年复利的利率为11.04%。因此， 9个月期的远期利率协议的价值为： 0.5100（0.8-11.04）e0.1050.75 1.4（1 亿美元） 同理，对于15个月期的交换价值，由于其半年复利利率为12.102%， 相应的远期利率协议的价值为-1.79亿美元，故其利率交换价值为： -1.07-1.41-1.79=-4.27(亿美元） 请思考例题中的远期利率是如何求解的？
一 套利案例
、
二
章
假设现有6个月即期利率为10%，一年期即期率12%，如果
有人把今后6个月到1年期的远期利率定位11%，试问这样的市场
行情是否产生套利机会？
套利过程：
1、套利者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元
2、签订一份远期利率协议，该协e0议.10规0定.5 套利者可以按11%利率6
个月后从市场借入资金1000
在远期协议到期时，这笔资金刚好可以用来认购一单位标的资产。 即这两组合在T时刻具有相同的价值。根据无套利原理，这两
组合在t时刻的价值必相等。即
f Ker(T t) S
式中f为远期协议t时刻的价值，s为标的资产在t时刻价格。
结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现货价格与交割 价格现值的差额。
万元（1051万元）；
3、按12%的利率贷出一笔一年期e0的.12款1 项金额1000万元
4、一e年0.后11收0.5回贷款本息1000
源自文库
（1127万元），并用
1051 （ 1110万元）偿还一年期债务后，交易者净赚17
万元，即
1127-1110=17（万元）
无收益资产远期协议的定价
所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。
• 基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定 相等。
• 组合构建如下：
A组：一份远期协议多头加上一笔数额为 Ker(T 现t) 金
B组：一单位标的资产。
在组合A中，Ker(T t以) 无风险利率投资，投资期限为(T-t)，在T时 刻，其金额为K。（ Ker (T t) • er (T t)). K
即该组合原始投入为 S I 由于这两组合具有相同的终值 ST ，其初始成本相等。
故
FerT S I , 所以有 F (S I )erT
例：1单位股票即期价格为10元，并且3个月后将有1 元的收益。无风险利率为3%。那么6个月后交割的此 股票的合约价格是多少？
解：据条件可知：
S 10元；r=0.03; T=1/2; I=1 e0.031/ 4 0.992（5 元）； 即求解 F=? 根据公式 F=(S-I)erT 得 F=(10-0.9925) e0.031/2 9.1（5 元）
组合B在 时刻正好拥有一单位证券。 故，在初始时刻两者的价值也应相等，即有下列等式成立：
f Ker (T t ) Seq(T t ) f Seq(T t) Ker(T t) , f 即为远期协议多头价值 由 f 0， 可得我们所需要的定价解析式：
F Se(rq)(T t )
已知收益率资产远期或期货合约定价方法的应用
我们将
1
l270
(90)
90用一个适当的贴现率即
360
l2来70(9贴0) 现，显然可得：
在第270天时的债券现值=
1+l270
(90)
90 360
1
1+l270
(90)
90 360
即，该浮动利率债券在第270天价值等于其面值。继续上面的步骤直到0 时刻，可以看到浮动利率债券的价值在任意一个支付日以及初始日期 都等于其面值。
，
l90 (90)
分l180别(9是0)和 18l027天0 (9和0)270天之后
的90天期的LIBOR利率。当然，只有 在一开始是知道的l0。(90)
债券到期日的支付额，即第360天所得到的支付，其值为本金加最 后90天按 所计的利息之和。
现在回到第l270 (2907) 0天来计算将来得到支付额的现值。
转换因子及其计量
• 转换因子：单位国债面值按标准债券率（每半年复利 一次）贴现到交割月第一天的价值。
• 例：某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年。 试问相应的转换因子是多少？
解：设所求转换因子为z,根据条件可得：
z
36 i0
7 1.04i
100 1.0436
163.7（3 美元）
即符合本题假设条件，面值为100美元长期国债的转换因子应是163.73美元。
由论于上该的期现货金合价约格的为有：效期F还有(127200天.30（8-06.7.737907）年e）0.7，397那0.1么该12交1.割17券（8 期美货元的）理
3、计算交割券理论报价。由于交割时，交割券还有148天（270-122）的累 计利息，而该付息总天数为183天（305-122），故该交割券的理论报价为： 121.178-7×148/183=115.5168（美元）
支付已知现金收益资产远期协议的定价
• 一般方法：
设标的资产在（0，T）期限内有D的收益，该收益的现
值为
I =Dert1
首先构建如下两个组合：
组合A：购买一单位 F 的标的资产期货合约，并同时购
买 Fe无r风T 险资产；即该组合原始投入为
FerT
组合B：在0时刻购买一单位价格为 S的标的资产 并且持有， 借入的现金 并I 用标的资产收益去偿还。
• 解：
根据已知条件可得K 4亿美元, K* 5.1亿美元，且有
3
Bfix Keriti Le1.250.11，故有 i 1
Bfix 4e0.10.25 4e0.1050.75 104e0.111.25 98.2（4 亿美元） Bfl (100 5.1)e0.10.25 102.5（1 亿美元），因此，该互换价值为： Bfix Bfl 98.24 102.51 4.2（7 亿美元）
F 3000 e(8%3.5%)(8/122/12) 3068.2（7 美元） 注：时间是3月1日至9月1日，即T-t可以理解为8/12-2/12.
即期利率与远期利率的关系
• 由无套利定价原理可得下列公式：
e e r (T t )
r1 (T1 T )
er2 (T1t ) ——（1）
其中，T1 f T , r为(t,T)时间段内的即期利率， r2为（t,T1 )时间段内的即期利率，r1即为所求解的远期利率。 由公式（1）可得：
r •
解：设所求利率为
系式
r1
r2 (T1
t) T1
1,r由(T即期t )利率得与：远期理论价格关
T
r1=(0.11×3－0.105×2)/(3 － 2)=12.0%
根据公式 f Aer (T t ) (1 e(rk r1 )(T1T ) ) 得： f 100e0.105(20) (1 e(0.110.12)(32) ) 8065.3（1 元） 故该远期利率协议多头的价值是8065.31元
第三章 首先，达成互换可能性分析
其次，操作过程与各自所承担的利率水平
再次，金融机构介入下的互换效益瓜分
浮动利率债券价值的确定：
• 设一年期浮动利率债券，利息以LIBOR按季度来支付，假设每季度有90
天，债券面值为1元。在0时刻90天期的LIBOR利率记为 ，9l0(090天) 之后，
90天期的LIBOR利率记为
转换因子以及相应交割差距计算结果如下表列示：
国债
报价
转换因子
交割差距
1
144.50
151.86 144.5-93.5×1.5186=2.5109
2
120.00
126.14 120-93.5×1.2614=2.0591
3
99.80
103.80 99.8-93.5×1.038=2.747
2、比较，选择交割差距最小者；
• 应用一：外汇远期或期货的定价 外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率可认定是外汇发
行国连续复利的无风险利率。由公式：
F Se(rq)(T t) , 其中的q可认定为外汇发行国 无风险利率。显然有以下结论： 若r q, 外汇的远期或期货价格价格大于或等于现汇价格 若r p q, 外汇的远期或期货价格小于现汇价格
远期合约合理价格即为合约初始价值为零的交割价
格，即： F Ser (T t ) 式中 F 即为远期协议无套利条件下的理论价格。
例:假设市场上有以不支付红利的股票为标的的期货
合约，合约在三个月后到期。当前股票价格为20元，
3个月的无风险利率为4%，那么该合约的合理
定价是多少？
根据上式有： F 20e0.043/12 20.2(元）
r(T t) r1(T1 T ) r2 (T1 t)——(2) 由公式（2）整理可得：
r1
r2 (T1
t) r(T T1 T
t)
?
—(3)
例：假设2年即期利率为10.5%,3年即期利率为11%，本金为100万 元2年×3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协 议的价值和理论上的合约利率是多少？
4、标准债券的期货报价为： 115.1568/1.3650=84.628,或84-20
支付已知收益率资产远期协议的定价
• 首先构建以下两个组合： 组合A：一份远期协议多头加上一笔数额为的 Ker (T t现) 金； 组合B： eq(T t单) 位标的资产并且所有收入投资于该资产，其 中q为该资产按复利计算的已知收益率。 显然，组合A在 TT时刻的价值等于一单位的证券；
例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债现 货报价是118元，该国债期货的交割日为270天后。该债券上一次付息是60天前，下 一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均 为10%（连续复利），那么该国债的理论价格是多少？
解： 1、交割券现金价格为：118+7×60/182=120.308(美元）； 2、支先付计7美算元I.由利于息期因货此的利有息效的期现内值只为有：一次I 付7息e0，.334是20在.1 162.27天7（0（美0元.33）42年）后
说明：年利息率与年复利利率的关系
•设
如果本金为A，年存款利率为Rc，年复利利率为Rm，存续n年， 则应由下列等式成立：
AeRcn A(1 Rm )n 或者 Rm eRc 1 若Rm可分m次计息，则有 Rm m(eRc /m 1)
• 因此，根据上例条件：
例：假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是水平的，在日本是4%而 在美国是9%（均是连续复利）。某一金融机构在一笔货币互换中每年收 入日元，利率为5%，同时付出美元，利率为8%。两种货币本金分别为 1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年期限，即期汇率为1美元 =110日元.如果以美元为本币，其互换价值是多少？
确定交割最合算的债券
• 交割最合算债券即为购买交割债券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。
一般方法：
1、计算交割差距C：
C=债券报价+应计利息-[期货报价×转换因子+应计利息]=债券报价-期货报价×转换 因子
例：若期货报价为93-16，即93.50美元，可供空头选择用于交割的3种国债的报价和
上述公式即为国际金融领域著名的利率平价关系 ——利差决定汇差。
• 指数期货定价案例 假设2007年3月1日，标准普尔股票价格指数价格
是3000美元，连续红利收益率为3.5%，无风险利率为 8%，那么这时一份6个月到期的股指期货的价格是多 少？ 解：连续红利收益率可以理解为股指对应的投资组 合在相应期限内的已知收益率。那么由定价公式得：
结论：1、如果息票率相对于LIBOR没有溢价，那么上述结果永远成立； 2、浮动利率债券可以设计成使其价值等于或接近于其面值。
例：假设某金融机构同一支付6个月期LIBOR，每年收取8% （半年复利）的利息，名义本金为100亿美元。该互换还有 1.25年时间到期。按连续复利计算的3个月期、6个月期及15 个月期的相关贴现率分别为10%、10.5%和11%。上一支付日 6个月期的LIBOR为10.2%，试问该互换的价值是多少？
解：
根据条件可得：