流体力学第七章_理想流体平面运动

u ) y
同理可得
x

1 2
( w y

v ) z
y

1 2
( u z

w) x
旋转角速度大小 x2 y2 z2
9
二.有旋流动与无旋流动
当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运 动是有旋的，否则称无旋运动。无旋运动必定存在势 函数，故称（有）势流。
4
平面流动
任一时刻，流场中各点的流体速度都平行于某一固定平 面的流动，并且流场中的物理量（速度、压强、密度等） 在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的 函数仅与两个坐标和时间有关。
以一条曲线为底，以高度为1的
y
垂线作母线的柱面，如果通过该
曲线的流量等于通过上述柱面的
流量，把这样的流动称为平面流 v
旋涡强度就是面积A上涡量的通量， 简称为涡通量。
I 2nA
I 2ndA
A
A
n
ωn
ΔA ω
13
三、斯托克斯定理
任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速 度环量Г，即：
或
d


v x

u y

dxdy 2 dA I 2ndA V ds Γ
2
2
2
2
将uA、uB、uC 、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，略去 高阶小量，再将沿z轴的角速度分量表达式代入，得
dΓ


v x

u y
dxdy

2zdA

dI
称为微元面积上的斯托克斯定理。
将上式对面积A积分，得
Γ 2 z dA
即为平面面积A上的斯托克斯定理。对空间任一曲面，可将 曲面分割成许多微元曲面，分别推导微元曲面上的斯托克斯 定理，再得到空间曲面上的斯托克斯定理。
A
z


dI
斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将 涡量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。
通常求 Г比求 I 要容易。
14
‹#›
‹#›
沿封闭曲线逆时针方向ABCDA的速度环量
d uA uB dx vB vC dy uC uD dx vD vA dy
园盘绕流 尾流场中 的旋涡
3
机翼绕流（LES）
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动 比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流 在理论研究方面较成熟。
对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体 运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是 绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。
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v z

y

1 2

u z

w x
8
旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴 所转过的角度。
流体微团转过的角度为
90 45
2
2
z

1 lim 2 t 0

t

1 (v 2 x
7
角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边 的夹角的减小量的一半。
u yt
y
u t
y y


v x
xt

v
t
x x
z
1 lim
2 t 0

t

1 2

v x

u y

同理可得
x

1
2

w y
动。
o
x
即认为流体流动只在与xoy平行
的平面内进行，在与z轴平行的
直线上的所有物理量都相等。
z
5
‹#›
线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方 向的相对变化量。
x

lim
t ,x0

x

u x
xt


xt
x

u x
同理可得
y

v y
z

w z
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斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是 否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此 区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但 是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的 旋涡强度不为零，是有旋流动。
讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是 无旋流动？
一、速度环量
速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的线积分。
L
ds α V
Γ LV ds LV cosds L (udx vdy wdz) L d
按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为 正，顺时针方向为负。
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二、旋涡（涡旋）强度
旋涡中某点涡量的大小是流体微 团绕该点旋转的平均角速度的2倍， 方向与微团的瞬时转动轴线重合。
无旋运动示意如下：
有旋运动示意如下：
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无旋流动的充要条件 x y z 0
r

1
r V

0
2
或
r vv i jk
r V


0
（旋度=0）
x y z
u vw
或
w v , u w , v u
y z z x x y
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7.3 速度环量与旋涡强度
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此 流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。 在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两 种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流 体微团旋转角速度 r 0 的流动，无旋流动是指r 0 的流动。
2
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的 旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后 形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下， 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流 物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一 点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大 量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。
第七章 理想流体平面运动
讨论理想不可压流体的二元运动：平面势流 和漩涡运动问题
意义：①研究理想流体二元运动规律；
②历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、 升力等问题）； ③基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运 动有指导作用。
1
7.1 问题的提出
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可 以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一 般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变 形运动三部分。