切线的判定定理

下列命题中的假命题是：
A．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 B．过直径一端且垂直于这直径的直线是 圆的切 线 C．点A在直线l上，⊙O半径为r， 若OA＝r时， 则l 是 ⊙O的切线 D．⊙O的直径为a，则O点直线的距离 为d，若d＝a时，则l是⊙O 的切线。
如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，且 AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的 切线吗？为什么？
O E B P C
如图（a）AB为⊙O的直径，△ABC 内接于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切于点A。 2、如图（b）,若AB是⊙O的非直径的弦，且 ∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切于点A吗？
B A E O B C A O C
E
a
b


已知：如图，ABCD为直角梯 形， AB⊥BC，CD＝AD＋BC， 求证：以CD 为直径的圆与AB相切。
求证：⊙O与AC相切。
A
D
O
B
小经验提示你： E 无切点，作垂直，证d=r
C
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)有切点，连半径，证垂直
(2)无切点，作垂直，证d=r
判断：

(1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线 是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高 为半径的圆与底边相切．
画⊙O及半径OA，画一条直线l过 半径OA的外端点，且垂直于OA， 观察直线与圆有几个交点？ 直线与圆的位置关系？能说明 理由吗？ O l A
(1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A．
O l A
则:直线l与⊙O相切
这样我们就得到了从“位置”的角度圆
的切线的判定方法——切线的判定定理．
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
r O
l
A
1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切 线（× ）
O l r A O r l O r l
A
A
切线的判定方法有： ⒈与圆有唯一交点的直线 是圆的切线；（定义）
O
A
B
已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB 的延长线上，BD＝OB，C在圆上， ∠CAB＝30°，求证：DC是⊙O的切线。
C
A
O
B
D
练 习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， A PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
切线的判定方法有：
分析：要证明以CD为直 径的圆与AB相切，只要 证明圆心O到AB的距离 等于⊙O直径的一半即可。
这 节 ⒈与圆有唯一交点的直线 课 是圆的切线；（定义） ， ⒉到圆心的距离等于半径的直线 你 是圆的切线；(不知切点时) 学 到 ⒊经过半径的外端并且垂直于 了 这条半径的直线是圆的切线。 ： （已知切点时）
⒉到圆心的距离等于半径的直线 是圆的切线； ⒊经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A C
B
小经验提示你：
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有切点，连半径，证垂直
例2 如图，已知：O为∠BAC平分 线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心， OD为半径作⊙O。
直线与圆的 位置关系
相交
O r d l B
相切
O r d A
相离
O r d
图
形
A
l
l
公共点个数 公共点名称 直线名称
2个 割点 割线
1个 切点 切线
0个
d与r的关系
d<r
d=r
d>r
根据上表，我们可以得出 切线的判定方法有：
⒈与圆有唯一交点的直线 是圆的切线；（定义）
⒉到圆心的距离等于半径的直线 是圆的切线；
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：
O l A
切线必须同时满足两条： ①经过半径外端；②垂直于这条半径．
切线的判定方法：
经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
定理的数学语言表达：