数理逻辑

• 递归定义的一般情形：设S是由上述归纳定 义所定义的集合。令
– h: M S – hi: Sni S 为已知函数。 – 于是存在唯一的S上的函数f使得：
• f(x) = h(x), 对于所有的xM • f(gi(x1,…,xn))=hi(f(x1),…,f(xn))
• 关于递归定义的注释：
1. P是原子公式，则p是公式； 2. 如果p是公式，则（p）是公式； 3. 如果p和q是公式，则（p*q）是公式。
• 例子：
பைடு நூலகம்
(((¬p ) ↔ (q ∨ r )) → (r ∧ p ))
((a1 ∧ a10 ) → ((¬a3 ) ∨ (a8 ↔ a3 )))
真值与真值指派
• 真值 • 命题符号集合的真值指派；
• 朴素集合论的相关知识 • 五个定理：
– 可数集合的子集是可数的； – 有限个可数集合的并是可数的； – 可数个可数集合的并是可数的； – 有限个可数集合的笛卡尔积是可数的； – 所有以可数集合的元为分量的有限序列构成的 集合是可数的；
关系
• 关系有内涵和外延； • 示例：
– 自然数集合N上的二元关系＜： – 内涵：m ＜n, 有自然数x，x ≠0，m+x=n – 外延：一个集合
–
∑ 的可满足性蕴含其中每一个合式公式的可满
足性；反之则不是这样； – 重言式；矛盾式； – 示例！ ( A → ( B → C )) ↔ (( A ∧ B ) → C )
逻辑推论
τ ( ∑ |= τ ), 当且仅当满足 ∑ • ∑ （逻辑的蕴含） 中每一个公式的真值指派也满足 τ
– 注意： |= 并不是一个运算符， ∑ |= τ 可以理解为 一个断言。 – 一个结论可以从一些前提中推出。（可推导性关系） – ∅ |= τ 表示 τ 是重言式；也记为 |= τ – 例子：
• 等价
1 1 0 0 1 0 1 0 ↔ 1 0 0 1
• n元真假值（布尔）函数
命题逻辑的语言
• 包含三类符号： – 命题符号：p,q,r,… – 联结符号：五个 – 标点符号：（） • 表达式：有限的符号串
– 表达式长度 – 空表达式 – 表达式相等：长度相等且依次有相同的符号
• 概述：
– 经典？！ – 简单命题和复合命题 – 使用连接词构成的命题称为复合命题。 – 研究复合命题之间的可推导性关系。复合命题 的逻辑形式是由联接词确定的。
联接词
• 常用的五种连接词：
– 非（并非）；一元连接词 – 与 （并且）； – 或 （或者）； – 蕴含 （如果，那么）； – 等价（当且仅当，其充分必要条件是）
• 集合论 • 递归论
– 研究解决问题的可行的计算方法和计算的复杂程度的一门学科。
• 证明论
– 研究数学证明的数学理论，目的是要证明公理系统的无矛盾性。
数理逻辑
• 研究什么
– 研究推理
• 如何研究
– 特别关注数学中的推理 – 使用数学的方法来 研究数学中的推理
• 什么是推理
– 从前提推出结论 – 前提和结论均是命题 – 命题可以为真或假
v : S → {T , F }
• 合式公式的 真值指派: 五种公式构造运算
v : S → {T , F }
公式的真值指派
v ( A) = v ( A) ， α, β ∈ S • （0）对于任意的 A ∈ S ，
T （1） v ((¬α )) = F T v ((α ∧ β )) = （2） F v (α ) = F otherwise v (α ) = T ∧ v (β ) = T otherwise v (α ) = T ∨ v (β ) = T otherwise
• 与
1 1 0 0 1 0 1 0 ∧ 1 0 0 0
• 或：真值表如下：
1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
• 相容；不相容 • 数学上一般取相容的含义
• 蕴含：
1 1 0 0 1 0 1 0 → 1 0 1 1
• →：如果真则；不是（真假） • 例1：如果x>4,则x2>16 • 例2: 对于任意集合S，ØS
– 证明：反证法。
递归定义
• 在归纳定义的集合上定义函数，可以使用 递归定义的方法。 • 用给定的函数和已经得到的函数值来计算 现在要求的函数值。 • 示例：用递归定义的方法，在归纳定义的 集合上定义一个函数。
• 注释： 1. 定义是否有问题？函数F的定义用到了 函数F自身？ 2. 递归的现象 3. 集合论中的驳论
参考文献
• 1. 《面向计算机科学的数理逻辑》，陆钟万，科学出版 社， 2002. • 2. 《面向计算机科学的数理逻辑—系统建模与推理》， Michael Huth，Mark Ryan，机械工业出版社，2005. • 3. 《数理逻辑》（第二版），Herbert B. Enderton，人民 邮电出版社， 2007.
• 定理1.2.3： 如果
1）R(0) 2) 对于任何n∈N,如果R(n)，则R(n’); 则对于任何n∈N， R(n)。 请课后证明。提示归纳定义的第二个方法。
• 有关归纳证明的几个术语：
– 归纳命题 – 归纳变元 – 基始 – 归纳步骤 – 归纳假设
• 定理1.2.3’: 将定理1.2.3中的归纳假设由： 若R(n)变为若R(0),…,R(n)，则R(n’)。 • 定理1.2.3’’(第二数学归纳法):将归纳假 设变化为：对于任意的n∈N,如果对于所有 的m＜n,有R(m),则R(n’)
Overview
• 第一讲：绪论 与数学基础 （1周）
– 简介在数理逻辑课程学习中可能需要的集合论等相关 基本知识
• 第二讲：命题逻辑的基本概念 （1周）
– 命题及其符号化；命题公式及其真值
• 第三讲：命题逻辑的形式推演（2周）
– 基本定律；形式推演举例及应用；
• 第四讲：可满足性问题 （1周）
– 归纳定义的集合中的元未必都有唯一的生成过 程； – 当涉及归纳定义的集合S上的函数f的递归定义 和递归定义原理时，要求S中的元必须有唯一的 生成过程。
• 示例：由此可见，上述注释的必要性。
第二部分：经典命题逻辑
• 知识点：
– 命题逻辑的基本概念 – 命题及其符号化；命题公式及其真值 – 命题逻辑的等值演算 – 基本等值式与联结词的完备集；命题逻辑公式的范式； – 命题逻辑的自然推理 – 基本推理定律；自然推理举例及应用 – 命题逻辑的形式演算系统 – 命题演算系统的基本概念；命题演算系统的定理证明；命题 演算系统的元理论
Herbrand定理
• 第九讲：计算复杂性（2周）
– 基本概念；常用技巧
• 第十讲：非经典逻辑简介（2周）
– 模态逻辑简介
• 第十一讲：模型检查（1周）
– 与模型检查问题相关的算法及其工具
第一部分：绪论
• 模型论
– 研究形式语言与其解释(模型)之间的关系，也就是形式语言的 语法与语义之间的关系。用模型论手法来研究逻辑系统，也叫 做模型论逻辑；用模型论方法比较各种逻辑系统的强弱，分析 各种逻辑系统的特点，叫抽象逻辑的模型论。用递归论方法研 究模型论问题产生递归模型论。
• <0,1>,<0,2>… • <1,2>,<1,3>… • ….
归纳定义
• 给集合做定义的一种方法； • 对于归纳定义给出的集合，要证明其中所 有元均有某个性质，通常用归纳证明。 • 示例：自然数的定义 • 归纳定义的本质：
– 直接指定某些元素； – 给出某些运算； – 约束；
• 两种不同的归纳定义方法
(( A → B ) ∧ C ), A = T , B =
F,C= T F , B= T , C = T
( A → ( B → C ) ↔ (( A ∧ B ) → C )), A=
公式和公式集合的可满足性
• 例子：如何计算 v ？
– 合式公式的生成树
• 定义：（可满足性），合式公式集∑ 是可满 T，此时我 足的，当且仅当有真值指派 v (∑) = 们也称v 满足 ∑ 。
– 可满足性问题的计算机实现
• 第五讲：一阶逻辑的基本概念（1周）
– 个体、谓词与量词；一阶逻辑公式及其解释
• 第六讲：一阶逻辑的自然推理（2周）
– 基本推理定律；自然推理举例及应用
• 第七讲：可靠性与完备性（2周）
– 基本推理定律；自然推理举例及应用
• 第八讲：紧致性、Lowenheim-Skolem定理、
定理1.2.4（递归定义原理）
请课后自行证明。提示：对n做归纳证明。
一般情形
• 集合S上归纳定义的一般情形：
① 集合M和ni元函数gi(x1,…,xn) ② S是最小的集合T，使得MT,并且对于任何 x1,…,xnT, gi(x1,…,xn)T
• 注释：
– 与归纳证明之间的关系。 – 基础有某个性质； – 给定的函数gi(x1,…,xn)保持这个性质。
• 使用了连接词的命题称为复合命题 • 复合命题示例：
– 4不是奇数；（非） – 2是偶数并且2是素数；（并且） – 如果四边形的一对对边平行且相等，那么它是 平行四边形。（如果，那么）
复合命题的真值
• 复合命题的值由构成它的成分的值以及所 用的联接词确定。 • 非：与自然语言中的含义相同。
1 0 0 1
• •
T • （3）v ((α ∨ β )) = F
•
F v ((α → β )) = （4） T T v ((α ↔ β )) = F
v (α ) = T ∧ v (β ) = F otherwise v (α ) = v ( β ) otherwise
• （5） • 例子：
小结一下：