《凝聚态物理学进展》题库
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《凝聚态物理学进展》题库
§第一章 晶体结构
一、简答题
1.证明晶体不可能具有5次对称轴和7次以及7次以上对称轴。
[解答]
证明：设A 、B 是晶体中任一晶列上的两个相邻的格点，如图所示，格点间距为a ，如果该晶格具有在纸面上旋转θ角的对称操作，即绕A 旋转θ角后，晶格自身重合。这时格点B 转到了格点B`。显然，旋转-θ角也是该晶体的一个对称操作，则绕B 旋转-θ角后，晶格自身重合，这时格点A 到了格点A`处。
A B
显然B`A`//AB ，即B`A`平行于一个晶列，同属于一个晶列簇。由晶体的平移对称性可知，B`与A`的间距应是格点间距a 即AB 的整数倍，即：
AB A B m ``= 注意到B A AB BA ``===a ，即：
2asin(-
)+a=ma
2
π
θ
化简得到转角θ满足关系式：
1m cos 2θ-=
由于1cos 1θ-≤≤，上式能够成立的整数m 只有5个 m=3,2,1,0,-1 对应于
11
cos 1,,0,,1
22θ=-- 对应转角θ为
22222,,,,23461πππππθ=
这说明晶体中纯旋转对称轴只可能是1,2,3,4,6次对称轴，不可能有5次轴，也不可能有7次轴和7次以上的对称轴。
a
b
c a a a
()()()()()()123122122122
a
a
a
=+=+=+=+=+=+j k k i i j a b c a c a a a b
a
b
c
a
a
a
()()()()()()123122122122
a
a
a =-++=-++=-+=-+=+-=+-i j k i j k i j k a a
b
c a a b c a a b c
★2.证明面心立方格子与体心立方格子互为倒格子。
[解答] 证：
面心立方
由倒格子公式转换得：
同理得： 体心立方
2()
2b i j k a
π
=
-+
3()
2b i j k a
π=
+-
面心立方的基矢为：
可见当上式中的a a
π=时与面心立方的基矢形式完全吻合，
所以两者互为倒格子，得证。
★3.立方体有多少个对称操作？具体分析其纯旋转操作。
[解答]
立方体具有较高的对称性，它有48个对称操作：绕4条体对角线可以旋转24,33
ππ
共8个对称操作；
绕3个立方边可以旋转
3,,
2
2
ππ
π共9个对称操作； 绕6条棱对角线可以转动π，共6个对称操作； 加上恒等操作共24个，以上24个为纯旋转操作。
立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。
三个立方边 六条棱对角线 四条体对角线
122b =
()()22()2()
2a a
k j i j a k i k j j i j j j i k a
πππ
⨯+⨯+Ω=⨯+⨯+⨯+⨯Ω=
-+
4.简述周期性与对称性的相互联系与制约。
[解答]
对于点群对称性，宏观晶体的32种点群与微观的点群是一样的，宏观的点群对称性是微观原子周期性排列所具有的对称性的宏观表现，微观原子周期性排列，决定了其旋转对称轴只能是1、2、3、4、6次轴，决定了微观的点群对称性。同时决定了宏观晶体对称性。宏观的点群对称性是微观的点群对称性的反映，这两者是相互依存并且统一的。
5.证明：倒格矢h G 的长度与123,,h h h d 成反比，其中123,,h h h d 为密勒指数所在面到原点的距离。
[解答]
123123123
312123123
1
11223311
,,11,,,,a a a
u =
u =u =h h h a h h h u h ==
222,h h h h h
h
i j ij
h h h h h h h h
h
b b b G d G G a b a b d G d G G πδππ+⋅⋅=⋅∴=
=⇒=
由题意，三个截距矢量分别为：； ； （+）又
得证。
二、选择填空
（1）晶体是由完全相同的原子，分子或原子团在空间 有规则地周期性排列 构成的固体材料。
（2）正方形和长方形的对称操作， 正方形 的对称性更高。 （3）体心点阵与 面心点阵 互为倒易点阵。
（4）布里渊区是倒格子空间中以 原点 为中心的部分区域。 （5）原胞是构成晶体的 最小周期性 结构单元。 （6）如果一个空间图形经过一空间操作（即线性变换），其性质复原，则称此空间操作为 对称操作 。
（7）NaCl 结构的布拉维格子是 面心立方 。
§第二章 晶格振动与声子
一、简答题
★1.什么是简谐近似？在简谐近似和最近邻近似下，写出一维单原子链的运动方程、推导色散关系并讨论波矢的取值。
[解答]
（1）对于微振动，相对位移δ很小，通常可以忽略三次项及其更高次项。在晶体原子相互作用势能的泰勒展开式中。忽略三次方和三次方以上项的近似，称为简谐近似。