直线与圆的位置关系复习

1
B
O Q
C
P
T
D B
A
直线与圆的位置关系复习
一、要点：
例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，∠B=30，BC=4cm ，以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是
2、切线的判定：①经过半径的外端②垂直于半径的直线是圆的切线。

注：判定切线的时候两种情况：①当已知条件中直线与圆已有一个公共点时， 辅助线：是连结圆心和这个公共点。

再证明这条半径与直线垂直 例：如图已知直线AB 过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ， CA ＝CB ，求证：直线ＡＢ是⊙O 的切线
②当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时，
辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。

再证明这条垂线段的长等于半径。

例：如图:O 为∠ ABC 平分线上点,OD ⊥AB 于D,以O 为圆心,OD 求证：BC 与作⊙O 相切。

3重要辅助线：连结切点和圆心
例：AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D （1） 求证：AT 平分∠BAC
（2） 若AD=2，TC=3，求⊙O 的半径。

4、三角形的内切圆：和三边都相切
内心：三条角平分线的交点。

到三边的距离相等。

外心：三条中垂线的交点。

到三个顶点的距离相等。

直角三角形内切圆的半径r=
2
c
b a -+（
c 为斜边长）， 等边三角形内切圆的半径a r 6
3=
（a 为边长）
rl C ab ah S ABC 2
1sin 2
12
=
==
∆为三角形内切圆半径，
r (l 为三角形周长）
例：如图：⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是、E 、F ，又AB=AC=10，BC=12，求：、 （1）AD 、BC 的长
B
2
C
D （2）ABC S ∆ （3）⊙O 的半径
5、圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判断。

计算两圆心距 d, 再与 R ± r 来比较。

两圆外离,r R d +> 两圆外切
,r R d +=两圆相交,r R d r R +<<-
两圆内切,r R d -= ≤0两圆内含,r R d -<
注意：两圆相切；分内切与外切，两圆相离；分内含与外离注；相切两圆的连心线必经过切点。

两圆相切：连接两圆的圆心与圆心、切点，则三点共线， 利用如图，构造直角三角形利用勾股定理计算，或利用三角函数
来计算。

或利用相似来计算。

注：重要辅助线：两圆相交，连接公共弦。

例：如图在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1
个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙
B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移 个单位长度．
练习：
1、已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2
2、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆， 45A O B ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与O A
平行的直
线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值范围是
A ．－1≤x ≤1
B ．x ≤2
C ．0≤x ≤2
D ．x ＞2
3、若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
4、如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ． （1）若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；
（2）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．
E
B
第2题
第4题
3
5、如图，AB 是半圆O 的直径，
过点O 作弦A D 的垂线交半圆O 于点E ，交A C 于点C ，使B E D C ∠=∠． （1）判断直线A C 与圆O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若8A C =，4cos 5
B E D ∠=，求A D 的长．
6、如图，在直角坐标平面内，O 为原点，A 的坐标为（1，0），点C 的坐标（0，4）直线CM ∥x 轴，点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连结OD ， （1）求b 的值和点D 的坐标
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标。

（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径。

C A
O
E
D
x
b。