垂径定理,圆周角与圆心角的关系

圆
目录
一．圆的定义及相关概念
二．垂经定理及其推论
三．圆周角与圆心角
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形
六．会用切线 , 能证切线
七．切线长定理
八．三角形的内切圆
九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系
十一．圆的有关计算
十二．圆的基础综合测试
十三．圆的终极综合测试
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。

考点5
点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，
的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？
例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,
30=∠CEA ， 求CD 的长．
例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．
A
B D
C
O
· E
【考点速练】
1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆
B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
C ．任何一个四边形都有一个外接圆
D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个
4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ）
①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )
A.圆的外部(包括边界)；
B.圆的内部(不包括边界)；
C.圆；
D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
第8题10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）
B
P
A
O
B
11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．
12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

13、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。

14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。

15.思考题
如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.
【作业】日期 姓名 完成时间
成绩
1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____
2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O 的半径= __, BC= ___.
3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•
C
B D
A ·
A
B D
C
E
P F
O
最长弦长为_______．
4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3, 则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .
5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____
6.如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;
⑵若OD=3,半径5 r ,则AB= _cm, AC= ___ _ cm
7.如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．
(5) (6) (7)
二．垂径定理及其推论
【考点速览】
考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对
的劣弧．
以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
D O
B
A
A
E D
B
O C F
A
D
C
B
O
【典型例题】
例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．
例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。

求证：CE=DF ．
l
•
问题一图1
O
H
F
E D C
B
A l
•
问题一图2
O H F E D
C B
A
l
•
问题一图3
O
H F
E D C B
A
例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。

（1）求证：AE ＝BF
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成0
45角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：2
2
PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
A B C
D
P
O。

A B
D
C O
· N
M
【考点速练】
1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.
A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm
3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）
A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28
4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm
7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 . 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.
9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．
B
P
A
O D C
B A
A D E
C B ·图1
A ·O C D B
图2
10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 。

11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA
,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.
12.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.
13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.
图
M C
B A
O
·O
A B
D
C E F
M N
1
O A
B
2O
M
N
C P
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M 。

且OM=3cm ，则CD= .
2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm. 3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 . 4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 . ⊙O 的面积为 .
5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 .
6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于 .
7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= .
8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .
三．圆周角与圆心角
【考点速览】 考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

· A
E F
B C D
O
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。

两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。

考点3
4. 推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
90的圆周角所对的弦是直径．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
经典例题
例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。

例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.
例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．
例４：如图１，AB是⊙O的直径，点C D E
，，都在⊙O上，若C D E
==
∠∠∠，则
A B
+=
∠∠
º．
例5：如图2，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，40
EOD
∠=，则DCF
∠=．
例6：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．
例7：已知⊙O中，30
C
∠=，2cm
AB=，则⊙O的半径为cm．
O
A B
C
（例１）
B
E F
C
D
G
O
例
例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2
考点练习
1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40︒ B. 50︒ C. 80︒ D. 100︒
2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧⌒点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32
B ．33
C ．3
D ．3
4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°
5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有
（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5 个
6.下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤ 7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，
O D
C B A
B E D
A C O A B
C
O
A · O
B
D C
G F 1 E
则等边三角形ABC 的边长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．23
D ．25
8.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙BC ＝ 。

9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．
这样的监视 器 台。

10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 。

11.如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，
则x 的取值范围是 .
12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是 .
13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ． （1）求证：DB 平分∠ADC ；
（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．
（第9题） A 65 ° °
A B O C x P
14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。

（1）求证：AC ＝AE ；
（2）求△ACD 外接圆的半径。

16.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂
上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？
E
D B
O C
A C
D
E
A O C
B A O
C B
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．
例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、
CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，
求∠BOC.
例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．
A
B
E
F
O P
C 12
D
·O
A
B
C
O ·
C
A
E B
D
B
C
例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．
综合练习
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、相等的弧所对的圆心角相等
C 、相等的弦所对的弦心距相等
D 、弦心距相等，则弦相等
2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒30
3．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm
4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）
A 、3
B 、6
C 、13+
D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、
E 。

（1）试说明△ODE 的形状；
（2）如图2，若∠A=60º，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。

6 如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点B ，C ，且与BA 、CA 的延长线分别交于点D 、E.弦DF
·
O 图 A B
C
A
B
C
·
O A D
E B
C
∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G.
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）BA=4，CG=2，求BF的长.
7 已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。

求证：AE=BF=CD。

【作业】日期姓名完成时间成绩
1.如图1，ABC
∆内接于⊙O，4
45=
=
∠，AB
C 则⊙O的半径为（）.
A．2
2B．4 C．3
2D．5
2.如图2，在⊙O中，点C是AB的中点，
40
=
∠A，则BOC
∠等于（）.
A．
40B．
50C．
70D．
80
3.如图3，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，
55
,
100=
∠
=
∠OBC
AOB，OEC
∠= 度.
4.如图4，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，
130
=
∠D，则BAC
∠的度数是 .
5.如图5，AB是半圆O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.
如图1 如图2
6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ．求证
五．圆内接四边形
【考点速览】
圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】
例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．
（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．
例2 四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅
A
B
O
D E C ·
A C
B O · A
B
D
O
例3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．
例4 AB 是⊙O 的直径，弦DE ⊥AB ，弦AF 和DE 的延长线交于C ，连结DF 、EF ， 求证：FE FD FA FC ⋅=⋅
例5 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22
【考点速练】
1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角．
2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．
4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，
则∠A= ，∠B= ．
5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．
A ·
B C
D O · A
B
C
D E
O · A
B
C E
D O
6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ．
7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。

∠D= ．
8．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ） A 、︒5.67
B 、︒135
C 、︒5.112
D 、︒110
9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ） A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A 、215
B 、315
C 、
2
3
15 D 、
2
2
15 11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A 、有一个角为︒60的平行四边形 B 、菱形 C 、矩形
D 、直角梯形
12．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C 等于（ ） A 、︒120
B 、︒80
C 、︒60
D 、︒40
13．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9
D 、m=n=︒180
14．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；
(2)求三角形ABD 的最大面积．
A
D
C
B
P
Q
图1
A
D
B C
·
O
图2 A
B
O
D
15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC 交于E 点，连结BD 、DC. （1）求证:BD ·DC=DE ·DA ；
（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1
）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．过四边形ABCD 顶点A 、B 、C 作一个圆，若∠B+∠D ︒>180，则D 点在（ ） A 、圆上
B 、圆内
C 、圆外
D 、不能确定
2．如图1，若AC=AD ，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A 、5对
B 、6对
C 、7对
D 、8对
3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形
4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE ⊥CD ，若∠B=︒120，则∠DAE 为（ ） A 、︒60
B 、︒30
C 、︒50
D 、︒70
5．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=
A B
C
D
图1
A · B
C
D
O
图3
A
B
C D
E
图2
A A
33
7
，AD=5．求AC 的长．
六．会用切线，能证切线
考点速览： 考点1
直线与圆的位置关系
考点2
切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言
∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径
∴ l 为⊙O 的切线
考点3
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。

B
C
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直） 经典例题：
例1.如图，△ABC 内接于⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD ＝ ∠ABC ，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为什么?
例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P ＝40。

， 求∠C 的度数。

例4．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，
E 为BC
中点。

求证：DE 是⊙O 的切线．
例5．如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线
y ＝－
33 x － 533
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）
A B
B
· A
B C E
O
D
（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）
（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦
AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）
中考链接
1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A ，与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB. 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90。

，点O 在AB 上，以O
为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A ， 判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。

3.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD⊥DC，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。

图10
图11
图12
B
（1）求证：AC 平分∠BAD； （2）若sin∠BEC=5
3
，求DC 的长。

4．如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线．
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8， cos∠BFA＝
3
2
，求△ACF 的面积．
课堂速练（1） 1． 判断
①垂直于半径的直线是圆的切线。

………………………………（ ） ②过半径外端的直线是圆的切线。

………………………………（ ） ③与圆有公共点的直线是圆的切线。

……………………………（ ） ④圆的切线垂直于半径。

…………………………………………（ ）
2． 如图，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC ＝37。

，则∠AOB 的度数为（ ）
A. 64。

B. 74。

C. 83。

D. 84。

3. 如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，
连接BC ，若∠A ＝36。

．则∠C ＝______
4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=30。

．过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D ，则∠CAD ＝_______
B
图 8C
图10－1
5．如图，AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，∠BAC ＝50。

，∠ACD=______ 6．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于E ，若
∠C=25。

．求∠A 的度数．
7．如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于
A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的
坐标为（－2，0），AE 8
(1)求点C 的坐标. (2)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC
(3)如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .
动点F 在⊙M 的圆周上运动时，
PF
OF
的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
七．切线长定理
考点速览： 考点1
切线长概念：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，
①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 考点3 两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：
例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．
例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．
例3．如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？
例4 如图甲，直线34
3
+-
=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.
（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；
（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；
（4）在⊙C 的移动过程中，能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？
· F
D
O
A
B
· E
F
D
C
O
A
B
考点速练1： 1．如图，⊙O 是
ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，
::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= ． FEC ∠= ．
2．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝，内切圆半径为 ㎝．
3．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，
若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝．
4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．
考点速练（2）
1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4C AC BC ∠=︒==，以BC 边上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长 ． 2．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的延长线于P ，
25BAC ∠=︒，则P ∠= ．
· E
D
B O
·
A
P
B
O
C
·
A O C D
B
E
F
· A
O
C
D
B E
F
G
· A O
P
B
M
4、PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB ＝780
，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB ＝＿＿＿＿＿。

5、若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为_______。

6、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 、π-30
B 、π230-
C 、π330-
D 、π430-
7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的 ．
8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，若AM=a ，BN=b ，则AB= .
9．如图2，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D= ，∠ACD= ，若半径为r ，AC= ． 10．经过圆的直径两端点的切线必互相 ． 11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C
，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心
在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）.
A ．1
B ．45
C ．712
D ．4
9 12.如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．
· A
B
D
C
O
图2 M
· C
A
O B
N
图1
八．三角形内切圆
考点速览
考点1
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
考点2
三角形外接圆与内切圆比较：
名称确定方法图形性质
外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边
中垂线的交
点
（1）OA=OB=OC；
（2）外心不一定在三角
形的内部．
内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条
角平分线的
交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平
分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部．
考点3
求三角形的内切圆的半径
·
A
O
D
B C
E
B
O
D
c
a
1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为
2c
b
a
r -
+
=.
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.
c
b
a
S
r
+
+
∆
=
2
（海伦公式S△＝)c
s
)(
b
s
)(
a
s(s-
-
-，其中s=
2
c
b
a+
+
)
经典例题：
例1．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA
又∵S△OAB =
1
2
AB·r，S△OBC =
1
2
BC·r，S△OCA =
1
2
AC·r
∴S△ABC =
1
2
AB·r+
1
2
BC·r+
1
2
CA·r
=
1
2
L·r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
B
O E
F
D
例2．如图，△ABC中，∠A=m°．
（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．
例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
考点速练1：
1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）
A．40° B．55° C．65° D．70°
图1 图2 图3
2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）
A．70° B．110° C．120° D．130°
3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）
A．112.5° B．112° C．125° D．55°
4．下列命题正确的是（）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（） A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．
7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．。