光在各向异性介质中的传输特性

1 2 3 n1 n2 no n3 ne
例：方解石，石英，红宝石，冰 单轴晶体折射率椭球方程为：
单轴晶体
x12 x2 2 x32 2 1 2 no ne
（4.2-77）
单轴晶体折射率椭球是以x3为旋转轴的旋转椭球
一般选择ne为x3轴方向，no在x1，x2方向 x3轴----单轴晶体的光轴---vo=ve之方向
P 0 e E
D,P,E同向
---介电常数 ---电极化系数
均为标量，与介质 结构、光频有关
电极化矢量， e为标量，P , E同向
电极化矢量， e为标量，P , E同向
D,P,E同向
各向异性介质
E , P 三个分量
Px 0 ex Ex
Py 0 ey E y
Pz 0 ez Ez
x3 ne sin
代入上式得
ne 2 cos2 ne 2 sin 2 1 2 2 no ne
ne no ne no sin ne cos
2 2 2 2
解得
（4.2-92）
0 时 90 时
n 90 n
张量是使一个矢 量与一个或多个 其它矢量相关联 的量
各自的电极化系数ei 不同，E , P不再同向
e

P = 0 e E
是一个二阶张量，称为二阶电极化张量

相应的有
（4.1-15） D = E = 0 r E 0 (1 e ) 介电张量（二阶）
x 2 x32 2 1 2 no neBiblioteka x为x1， x2平面上的随意轴
3、通过中心的任意平面（除上述两种平面）与椭球的截面均为一椭圆 其中一个半轴为与x1o x2平面之交线，长度为no
4、一个波矢k与x3轴的夹角为θ，则通过中心并与k垂直的平面与椭
球的截面亦为一椭圆，其中一个半轴为no ，另一个半轴为ne（θ）
ne 0 no
e
e

这与前分析一致
§4.2、光波在晶体中的传播
§4.2.1、晶体中的电磁场
条件：无吸收，非旋光性，无源电磁场ρ=0，J=0 Maxwell方程：
D H t
H E 0 t B 0 D 0
物质方程：
B 0 H D E
S S r s0 W W S r W
W---电磁流能量密度，S=∣S∣
（4.2-18）
1 n W We Wm ( E D + B H) = s cos 2 c
S c 1 1 r p W n cos cos
p r cos
一般情况：入射线偏振光→椭圆偏振光→圆偏振光→椭圆偏振光
但是：对于一个给定的波矢k，总可以找到两个互相垂直的方向且 均垂直于k，当线偏振光的振动方向平行于任一个垂直于k的
一个方向时，则光波在晶体中传播时可以保持偏振态不变
两个偏振态用D′和D〞表示，由于D⊥k，所以D′和D〞就是两个简正模
用菲涅耳方程来处理晶体中传播时光波的偏振态
椭球的三根轴与三个坐标轴不重叠或不一致 特点：椭球的三根轴方向上，D与E同向（平行）
选择椭球三根主轴作为坐标轴，可实现介电张量矩阵的对角化
11 0 0 22 0 0
0 1 0 0 0 2 33 0 0
0 0 3
单色平面波解
E = E 0 e i (t k r ) D = D0ei (t k r ) H = H 0 e i (t k r )
算符替代：
i t n i k0 c
得：
c D H k0 HD n c H E k0 EH n kD 0 kH 0 kD kH
四、任意方向上的折射率 n（θ） -----单轴晶体
如图（a），不同方向上的折射率是不同的 由于单轴晶体折射率椭球是以x3为转轴的旋转椭球，所以只要用与 x3轴的夹角表示方向
单轴晶体折射率椭球的几个特点： 1、过中心与x3轴垂直的平面与椭球的截面是一个圆，半径为no
2、通过x3轴的平面与椭球的截面为相同的椭圆，半径为no和ne
只有6个独立的分量
§4.1.2 折射率椭球
一、折射率椭球
介电常数与折射率相关：
n2 r ni 2 ri
对于各向异性介质，三个分量上的折射率分别为 不同的方向上具有不同的折射率
对于二阶对称介电张量晶体，可以用折射率椭球曲面来描述其折射率
1 2 1 2 1 2 1 1 1 x1 2 x2 2 x3 2 2 x2 x3 2 2 x3 x1 2 2 x1 x2 1 2 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6
与对角化介电张量矩阵相对应的折射率椭球方程可简化为
x12 x2 2 x32 2 2 1 2 n1 n2 n3
（4.2-65）
n1 n2 n3为折射率椭球的三根主轴的半轴
二、双轴晶体与单轴晶体 1、
1 2 3
n1 n2 n3
双轴晶体
例：云母，蓝宝石，橄榄石，硫磺等 双轴晶体折射率椭球方程为（4.2-65）式 2、
1
i
1
i

1 n2
由于k0与D垂直，即有k0 D = Di ki 0
对Di式乘ki之后求和得
Dk
i 1
3
i i
0 ( E k0 )
ki 2 1 2 i n 1
0
-----菲涅耳法线方程
简化为下式
k12 1 1 2 n 1

2 k2
1 1 2 n 2
o光的 主平面 光轴
· · · ·
o光
e光的 主平面
光轴
e光
若入射光线在主截面内，即入射面与主截面重合，则进 入晶体后 o、e 光线都在此主截面内，主平面就与主截面 重合。
(4)双折射光的偏振
用检偏器来考察从晶体射出的两光束时，就会发现它们都是线偏振光， 且两光束的振动方向相互垂直。
i e
o
···


D , E 也不同向
（4.1-15）式可以写成矩阵形式
D1 11 D 2 21 D3 31
12 22 32
13 E1 23 E2 33 E3
（4.1-19）
------晶体在光波作用下的物质方程
11 12 21 22 31 32
ij ji
∴
可以证明 是二阶对称张量：
12 21 13 31 23 32
13 23 33
特点：通过椭球中心与光轴垂直的平面与椭球截面为一个圆 单轴晶体：只有一个光轴，通过椭球中心的截面只能得到一个圆 双轴晶体：有两个光轴，通过椭球中心的截面能得到二个圆 折射率椭球的三根轴均不是光轴
三、正晶体与负晶体 ---对单轴晶体而言 正晶体： no ne
负晶体： no ne
o e 长椭球：石英，冰，钛酸锂 o e 扁椭球：方解石，KDP，铌酸锂
第四章 光在各向异性介质中的传输特性
------晶体光学基础
§4.1 晶体中的介电张量和折射率椭球 §4.2 光波在晶体中的传播 §4.3 光波在晶体表面上的反射和折射 §4.4 晶体光学器件
§4.5 偏振光的干涉
晶体光学：研究光在晶体中的传播现象和规律
现象---光在晶体中传播时表现出各向异性 双折射 旋光性 二向色性 偏振特性
产生原因---晶体本身是各向异性的 1、组成晶体的基元：原子，离子各向异性 2、晶体中各基元排列分布对称性不同
双折射现象 (1)o光和e光
各向同性介质：一束光入射到介质表面，产生一束折射光 各向异性介质：一束光入射到介质表面，产生二束折射光
此称双折射：其中一束光遵循折射定律，称寻常光，o光
另一束光不遵循折射定律，称非寻常光，异常光，e光
（4.2-8）～（4.2-11）
S EH
S H, S E
结论：
k , D, H 相互垂直
1、
S , E , H 相互垂直
k , D , S , E 共面
2、介电常数为一张量，D，E不同向，夹角为α
又由于D⊥k，E⊥S
∴ k， S之夹角也为α
3、k方向代表波面传播方向，即波面法线方向---波法线
相应的射线折射率
nr
c
r
n cos
（4.2-25）
D
§4.2.3 基本方程
第一基本方程
D
由（4.2-8）（4.2-9）得
2
(s· s D)
E E
(k· k E)

s
k
n n D ( H k0 ) 2 ( E k 0 ) k 0 0 n 2 k 0 ( E k 0 ) c c
(2）晶体的光轴
冰洲石（CaCO3 ）
光轴：晶体中不产生双折射方向称光轴---AB线 单轴晶体：只有一个方向不产生双折射的晶体，例：方解石 双轴晶体：有两个方向不产生双折射的晶体，例：云母
(3)主平面和主截面
入射面
主截面：界面的法线与晶体的光轴组成的平面
主平面：晶体中光的传播方向（光线）与晶体光轴构成的平面。
注意： θ方向上的ne（θ）应在k垂直方向上去找！
5、在主平面（光轴与波矢k组成的平面）内观察，由于是旋转椭球， x1， x2选取具有随意性，现选取主平面为x2o x3平面（即使k在 x2o x3平面内，见fig（b）），则此椭圆方程可写为
x3 x2 2 1 2 no ne
2
2
式中
x2 ne cos
(4-15*)
1 , 2 , 3
称为主值，主介电系数 称为晶体主折射率
n1 1 , n2 2 , n3 3
D1 1 0 D 0 2 2 D3 0 0
0 E1 0 E2 3 E3
S方向代表能流方向，即波射线方向---波射线，光线
由于各向异性，导致了波法线和波射线不同向
§4.2.2、相速度与射线速度
相速度---波面的传播速度，与 k 相关，在 k 方向
c p k0 n c p n k
（4.2-17）
射线速度---能量传递速度，与 S 相关，在 S 方向
e o
e
·· ·
方解石

以入射方向为 轴旋转方解石
o
方解石
偏 振 片
双折射的两
束光振动方 向相互垂直
§4.1 晶体中的介电张量和折射率椭球
§4.1.1 晶体中的介电张量
各向同性介质
D 0 E P 0 E 0 e E E
0 (1 e ) 0 r e
D D cos
D 1 E D S0 ( S0 D ) 2 2 0 nr 0 nr
---晶体光学第二基本方程
这两个基本方程是各向异性晶体中E和D关系的计算公式 （4.2-27）
§4.2.4 菲涅耳方程 光波的偏振态
讨论：光波在晶体中传播时光波偏振态的变化 由于晶体各向异性，晶体中传播时光波的偏振态不可能不变
即
D 0n2[ E k0 ( E k0 )] 0n2 E
（4.2-20）
---晶体光学第一基本方程 式中
E E sin(90 ) E cos
0
第二基本方程 由上式得
D D D E 2 2 2 0 n cos 0 n cos 0 nr 2
利用第一基本方程（4.2-20）和（4.2-21），D之分量为
D Di 0 n2 Ei ki (k0 E ) 0 n2 i ki (k0 E ) 0 i
得
Di
0 n2 ki (k0 E )
n
2

0 ki (k0 E0 )