大学物理刚体的定轴转动演示文稿

F1
F2
由于刚体中的内力都是成对出现的.故整个刚体的合 内力矩为零.
刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出
设刚体中质元mi受外力Fi
,内力fi 作用
由牛顿定律 Fi fi Δ miai
在自然坐标中,切向分量为:
fi
ri •mi
Fi
Fit fit Δ miait
其中
ait
dvi dt
ri
即 Fit fit Δ miri
⑵角加速度随时间变化的规律为：
d
dt
0
et
4
5e
t
(rad
s
2
)
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
dt
0
6s 0
0
(1
e
t
)dt
0[t
t
e
]60s
9[(6
2 005) (0 2)]
369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 2
587圈
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
2、刚体定M轴 转 动d (的J转) 动 d定L律 J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J
与F
ma
地位相当
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
例：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为：
t
0 (1 e
),
式中0
9
2
0rad
0s
s 1
求： ⑴t =6 ·0 s时的转速 ； ⑵角加速随时间变化的规律； ⑶启动后6 ·0 s 内转过的圈数。
解：⑴根据题意转速随时间的变化关系， 将t =6 ·0 s 代入，即
得：
t
0 (1 e ) 0 950 8 6(rad s1)
大学物理刚体的定轴转动演示 文稿
大学物理刚体的定轴转动
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
如果是定轴转动:
F3 r
F2
M M1 M2 Mn
是各分力产生的力矩的代数和.
F1
（4） 一对内力对转轴的力矩 由于成对内力大小相等,方向相反
则其力臂必相同.故力矩大小相等.
M1 F1r1 sin1 F1d M2 F2r2 sin2 F2d
一对内力M对转M轴1 的M合2 力0矩为零.
d
r1 r2
a T1 P
T2 且m1 ＞m2 。设定滑轮是一质量为M ，半 a 径为R的圆盘 。绳的质量略去不计 ，且绳
T1 m1
T2
与滑轮无相对滑动 。试求物体的加速度和 绳的张力 。如果略去滑轮的运动，将会得
m2 到什么结果？ 解：分别作出滑轮M、物体m1和m2的受
m1g m2g 力图。 由于绳索质量不计，且长度不变，
故m1和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。
对m1 ： m1g –T1=m1a 对m2 ： T2–m2g = m2a
⑴ ⑵
应用牛顿第二定律
对M ：（T1–T2）R=J ⑶ 应用转动定律
式中J
1 2
MR 2
且由角量与线量的关系，有：a =R ⑷
是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示
角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向。
d
dt
加速转动 减速转动
线速度与角速度的关系：
方方向向 一相致反
v r
在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时，
相应公式:
0
源自文库t
1 t 2
2
0 t
类似于
2 02 2 ( 0 ) 匀变速直线运动
5.2.1力对转轴的力矩
(2) 力在转动平面外
(1) 力在转动平面内
Z
Mz
Or d
P
f
力矩
Mz
r
f
转动平面
M z rf sin M z rf
Z
f
f1
O
f2
rP
转动平面
任意方向的力对转轴
的力矩
取其在转动平面内的分力 f2
方向：右手螺旋法则
产生力矩。
（3） 几个外力产生的合力矩
M M1 M2 Mn
角位移:描写刚体位置变化的物理量。
刚体初始角坐标 0
末态角坐标
o
P
0
x
刚体的角位移
明确：
0
角位移较大时是标量；
参考方向
角位移很小时是矢量。
0 时是矢量。
刚体运动学中所用的角量关系如下：
r
角速度 d
v
角加速度
dt
d
dt
d 2
dt 2
角量方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。角速度
0
2
但是 非匀变速转动时：
求导 求导 积分 积分
三、角量与线量的关系
线量 速度、加速度 角量 角速度、角加速度
v r
at r
an
r 2
v2 r
一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；
各点的线速度 v 与各点到转轴的距离 r 成正比，距
离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向 加速度和法向加速度也越大。
则刚体转动定律为
变形有 Fitri fitri Δ miri2
M J
对所有质元求和:
Fitri fitri (miri2 ) 上式表明:
这里 Fitri Mi M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 J Δ miri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩 dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
M阻
由细杆质量
dM 阻 0l gxdx
m l 有 M 阻
1 gl 2
1
2
mgl
2
第二类问N 题：已知J 和力矩M ：求出运动情况a和 及F。
如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳
M R 的两端分别悬有质量为m1 和m2的物体，
（或任意两点之间的距离始终保持不变）
5.1.3 刚体的运动及描述
（只讨论定轴转动）
定轴转动：刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。
各质元均作圆周运动，其圆心
o
转轴 都在一条固定不动的直线（转
轴）上。各质元的线量一般不
同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度）
都相同。
∴描述刚体整体的运动用角量最方便。
F 是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学
的联系---- ，从而求出 M或 F。
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水
平桌面上转动，求摩擦力的力矩
解：杆上各质元均受摩擦力作用，
但各质元受的摩擦阻力矩不同。
细杆的质量密度