高一数学 初高中衔接教材 一元二次方程课件

韦达定理成立的前提是 0 ．
二、一元二次方程的根与系数的关系
【例 3】若 x1, x2 是方程 x2 2x 2010 0的两个根，试求下列各式的值：
(1)
x12 x22 ；(2)
1 1 ；(3) x1 x2
(x1 5)(x2 5) ；(4)
| x1 x2 |．
解：由根与系数的关系得： x1 x2 2, x1x2 2010 .
一、一元二次方程的根的判断式
【例2】解一元二次方程 3x2 5x 2 ．
解 法三（公式法）
解题步骤
移项,得 3x2 5x 2 0
故 a 3，b 5,c 2
①将方程化成一般式, 并确定出a,b,c的值.
b2 4ac 52 43(2)
49
x (5) 49 5 7
23
（3）(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2，
（4）| x1 x2 | (x1 x2)2 4x1x2，
韦达定理体现了整体代换思想．
二、一元二次方程的根与系数的关系 【例 4】若关于 x 的方程 x2 x a 4 0 的一根大于零，另一根小于零，
求实数 a 的取值范围.
(2) 原方程可化为：4 y2 12 y 9 0
Q (12)2 4 4 9 0
∴ 原方程有两个相等的实数根．
一、一元二次方程的根的判断式
【例1】不解方程，判断下列方程实根的个数.
(1)2x2 3x 1 0 (2)4 y2 9 12 y (3)5( x2 3) 6x 0
课题
现行初中数学教材主要要求学生掌握一 元二次方程的概念、解法及应用，而一元二 次方程的根的判断式及根与系数的关系，在 高中教材中的二次函数、不等式及解析几何 等章节有着许多应用．本节将对一元二次方 程根的判别式、根与系数的关系进行讲述．
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) ，
(4) | x1 x2 | (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
(2)2 4(2010) 2 2011
二、一元二次方程的根与系数的关系
方法提炼： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
（1）x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2，
（2）1 1 x1 x2 ， x1 x2 x1x2
b2 4ac b
2a
a
b b2 4ac b b2 4ac (b)2 ( b2 4ac )2 4ac c
x1 x2
2a
2a
(2a)2
4a2 a
方程 ax2 bx c 0 (a 0)可化为：x2 x1 x2 x x1gx2 0 (a 0)
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国 数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．
用配方法将其变形为：( x
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
,x2
2a
(2) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根：
b x1 x2 2a
根的判别式
b2 4ac
解 法一（因式分解）
移项,得 3x2 5x 2 0
方程左边因式分解,得
(x 2)(3x 1) 0
x 2 0或3x 1 0
即x1
2,
x2
1 3
解题步骤
①方程化为一般形式
②因式分解成A.B=0 的形式 ③A=0或B=0
④写出方程的两个根
一、一元二次方程的根的判断式
【例2】解一元二次方程 3x2 5x 2 ．
(1) x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2 (2)2 2(2010) 4024 .
(2) 1 1 x1 x2 2 1 . x1 x2 x1x2 2010 1005
二、一元二次方程的根与系数的关系
【例 3】若 x1, x2 是方程 x2 2x 2010 0的两个根，试求下列各式的值：
(3) 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根．
一、一元二次方程的根的判断式
【例1】不解方程，判断下列方程实根的个数.
(1)2x2 3x 1 0 (2)4 y2 9 12 y (3)5( x2 3) 6x 0
解 (1) Q (3)2 4 21 1 0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根．
解 (3) 原方程可化为：5x2 6x 15 0
Q (6)2 4 5 15 264 0 ∴ 原方程没有实数根．
方法提炼：△与0的大小关系决定方程实根的情 况；另外，在求判断式时，务必先把方程变形为 一元二次方程的一般形式．
一、一元二次方程的根的判断式
【例2】解一元二次方程 3x2 5x 2 ．
6
x1
2,
பைடு நூலகம்
x2
1 3
.
②求出b2-4ac的值 (特别注意b2-4ac＜0)
③代入求根公式.
④写出方程的两个根.
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根为：
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
解 法二（配方法）
两边同时除以3,得 x2 5 x 2 33
配方，得
x2
5 3
x
5 6
2
2 3
5 6
2
x
5 6
2
49 36
开平方,得
x 5 49 7
6
36 6
x1
2,
x2
1. 3
解题步骤
①二次项系数化1.
②配方,并写成(x+m)2 =k(k≥0) 的形式.
③开平方,写出 方程的两个解.
(1)
x12 x22 ；(2)
1 1 ；(3) x1 x2
(x1 5)(x2 5) ；(4)
| x1 x2 |．
解：由根与系数的关系得： x1 x2 2, x1x2 2010 .
(3) (x1 5)(x2 5) x1x2 5(x1 x2) 25 2010 5(2) 25 1975
解 法一：设 x1, x2 分别为方程 x2 x a 4 0 的两根，
则
x1 gx2
12 4a 4
a 4 0②
0①
由①得 a 17 ，由②得 a 4 ，