生物统计学之二因素方差分析

（1）平方和的分解为：
C T2 ab
STS
2
(x ij x )
x2 C
SA Sb
2
(xi.x)
Ti.2C b
SB Sa
2
(x.jx)
T.j2C a
2
S e S ( x i jx i. x .j x ) S T S S A S S BS
（2）与平方和相应的自由度的分解为
② 主效应 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量 称为主效应。
如表，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2 水平的平均数减去A1水平的平均数。即
A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况 每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。
第三节 二因素方差分析
二因素方差分析
定义：是指对试验指标同时受到两个试验 因素作用的试验资料的方差分析。
固定模型 随机模型 混合模型
二因素都是固定因素
二因素均为随机因素
一个因素是固定因素， 一个因素是随机因素
③ 交互作用(互作，interaction) 在多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影
响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应 不同，或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变 化而变化时，则称该两因素存在交互作用。
显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之
亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。
主效和互作
主效应（main effect）：
各试验因素的相对独立作用
互作（interaction）：
某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不 同。
① 简单效应 在某因素同一水平上， 另一因素不同水
平对试验指标的影响称为简单效应。简单效应实际上是特殊 水平组合间的差数。
表11-1日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡增重(g)
互作效应可由 (A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。 上表中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15
我们把具有正效应的互作称为正交互作用（协同作用）； 把具有负效应的互作称为负交互作用（拮抗作用）；互作 效应为零则称无交互作用。没有交互作用的因素是相互独 立的因素，此时，不论在某一因素哪个水平上，另一因素 的简单效应是相等的。
dTf ab1
dfA a1 dfB b1
def(a1)b(1)
（3）各项的方差分别为
sA2
SS A df A
sB2
SS B df B
se2
SS e df e
（4）F值的计算：
FA
s
2 A
s
2 e
FB
s
2 B
s
2 e
【例】为了考察蒸馏水的pH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血
清中白蛋白与球蛋白的影响，将蒸馏水pH值(A因素)分成： A1=5.40,A2 =5.60, A3=5.70,A4=5.80四个水平；将硫酸铜浓 度(B因素)分成B1=0.04,B2=0.08,B3 =0.10三个水平,进行交 叉分组试验。即用同一血清在不同pH值和不同硫酸铜浓度配 比下各测定一次，测定结果(白蛋白与球蛋白之比)如表所示， 试作方差分析。
xa.
x.j
x .1
x .2
.b
x
二因素方差分析的线性模型
因素间不存在交互作用，所以二因素方差 分析观测值的线性模型是
xij =μ +αi +βj +εij
i=1,2,…,a;
j=1,2, …,b
αi 和βj 是A因素和B因素的效应，可以是 固定的，也可以是随机的，且 i i ，0εij是随 机误差，彼此独立且服从N(0，σ2)。
因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值
如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因 素的最优水平组合起来，即为最优的处理组合。
如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优 处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定。有时交 互作用相当大，甚至可以忽略主效应。
二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法， 有时也可根据专业知识判断。
（2）自由度的计算
dT fa b 14 3 1 11
dAfa 14 13 dBfb 13 12
d e ( fa 1 )b ( 1 ) ( 4 1 ) ( 3 1 ) 6
（3）列出方差分析表，进行F 检验
因为A因素(蒸馏水pH)的F值40.93＞F0.0 1(3,6) ，故P＜0.01，差异极显著； B因素(硫酸铜浓度)的F值25.81＞F0.0 1(2,6) ，P＜0.01，差异极显著。
二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析 具有重复观测值的二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析
依据经验或专业知识，判断二因素无交 互作用时，每个处理可只设一个观测值，即 假定A因素有a各水平，B因素有b个水平， 每个处理组合只有一个观测值。
无重复观测值的二因素分组资料模式
xi. x1. x2.
（4）进行多重比较（用SSR检验）：
不同pH值下平均数间比较:
在两因素单独观察值试验情况下，因为A因素(pH值)每一水平的重复数 恰为B因素的水平数。故A因素的标准误
s se2 0.0430.12
xb
3
不同硫酸铜浓度下平均数间的比较
在两因素单独观察值试验情况下，B因素(硫酸铜浓度)每一水平的重复数恰 为A因素的水平数，故B因素的标准误
SA Sb T i.2 C 7 .8 2 6 .5 2 3 2 .5 2 3.5 8 2 5 .29
SBS a T .j2 C 9 .5 2 6 .4 6 2 5 .4 2 3.5 8 2 2 .22
S e S S T S S A S S B 7 S .7 5 .2 7 2 .9 2 0 . 2 26
xi.
x.j
这是个两因素单独观察值试验结果。A因素有四个水平，即
a=4；B因素有三个水平， 即b=3；共有a×b=4×3=12个观察
值。
（1）平均和的计算：
T2 21.52
C
38.52
ab 43
SST x2C
3 . 5 2 2 . 3 2 0 . 3 2 3 . 5 8 7 . 7 27