物理-角动量定理与角动量守恒定律

dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
t2 t1
M
z
dt
L2z (t2 )
L1z (t1 )
银河系
例1.一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，
其位矢方程为:
r (a cost)i (bsin t ) j
(其中a b 皆为常量)
该 则此质质点点对所原受点的的对角 原点动的量力L矩Mm 0abk
例2：半径为R 的轻滑轮的中心轴o 水平地固定在高处，其上穿过一条
M
⊙
A
轻绳，质量相同的两人A、B分别抓
（积分式）
▲特别地，如果合外力F 在质点的运动平面内时
z
t2Mdt t1
L2 (t2
)
L1(t1 )
Lz
p
注意M、L的正负！
O
rα
M z r
F
设有N个质点构成质点系。系统对同一点的总角动量：
作用到第 i 个质点上的外力： Fi
第 j 个质 点作用到第i 个质点上的 内力：f ij
则第
i
个质点的角动量定理：
Mo
rF
(r
r)
r F
F
0
F F
m
r
O r
m
F
（对同一点）
说明
（3）直角坐标系中分量式
（4）质点系的角动量定理也仅适用于惯性系。
由质点系角动量定理
M
dL（对同一点）
dt
若在某过程中，质点系所受的合外力矩 M 0，则有
dL d( Li ) 0
或 L Li 恒矢量
M（合外力矩）
质点对某参考点的角动量对时间的变化率， 等于质点所受合力对同一点的力矩。
说明
(1) 反映了合外力矩的瞬时间作用效果；
（合外力矩）（微分式）
说明
(2) M 与 L 是相对同一参考点的！
（3）质点角动量定理仅适用于惯性系。 （4）直角坐标系中分量式
（合外力矩）（微分式）
▲特别地，如果合外力F 在质点的运动平面内时
（对同一点）
质点系相对惯性系中某给定参考点的角动量的 对时间的变化率，等于在作用在该质点系上所有外 力对同一点的合外力矩。
说明
(1) 表明质点系的总角动量的变化只取决于系统 所受的合外力矩，而与内力无关；
（对同一点）
说明
（2）对质点系：M 是所有外力矩的矢量和，
而不是合外力的力矩。
例：一对力偶的力矩
r
F
θ
有心力：若质点所受力的作用线始终通过某固定点， 则该力称为有心力，此固定点称为力心。
由于有心力对力心的力矩恒为零，故受有心力 作用的质点对力心的角动量必守恒。
例：行星绕日运动； 卫星绕行星运动； 微观粒子的散射运动； ……
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
4．角动量守恒是矢量守恒定律，若系统对某点的 合外力矩沿某一方向为零，则其总角动量对同一点 的沿该方向的分量守恒。
ri Fi ri fij
ji
dLi dt
· pi ·i fi j
·
·
ri
fj i
· ·j
·rj
Ｏ
讨论：计算任意一对 作用力与反作用力的力矩矢量和
mi
f ij
ri
rij
f ji
rj
mj
O
ri fij rj f ji (ri rj ) fij rij fij 0
结论：一对作用力、反作用力对定点的合力矩等于零。
住轻绳的两端。设开始时，两人在
同一高度。此时左边的人从静止开
始向上爬，而右边的的人抓住绳子
不动，若不计轮轴的摩擦，试问谁
先到达O处？
mAg
MB
mB g
z
Mz
dLz dt
Lz
p
M dL dt
注意M、L的正负！
O
M z r
rα
F
由瞬时表达式：
（合外力矩）
Mdt dL
Mdt —— M在dt 时间内的元角冲量（元冲量矩）
对有限时间间隔 t t2 t1 积分，并设 L1(t1 ), L2 (t2 )
t2
Mdt
t1
t2
Mdt
L2 (t2 )
再看圆锥摆的角动量问题。
z
(1) 摆 球对O点的合外 力矩与角 动量
M O
r
(mg
T)
r
Fn
0
LO r m
C
T
LO
mr 2k（恒定） LC
(2) 摆球对C点的合外力矩与角动 量
m
Fn
O
MC
l
(mg
T)
l
mg
0
LC l m ; MC LC
mg
MC
LC 的大小不变，但方向随时变化