第7章时变场
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E u d , D E
JD
S
位移电流
iD J D dS
D du ( ) t d dt S du
d dt (
u( t ) d
)C
du iC dt
图7.1.5 传导电流与位移电流
7.2
电磁场基本方程组 • 分界面上的衔接条件
7.2.1 电磁场基本方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为
2 ( r ) 1 2 ( r ) 在球坐标系下 , 具有球对称性的展开式 为 2 2 r v t 2 1 r 1 r 这是( r )的一维齐次波动方程 , 其通解为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) r v r v
式中 v 1
具有速度的量纲 ，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。
只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感 应电流产生。
电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
7.1.2
感应电场（涡旋电场） Field of Induction )。
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力 （产生感应电流），称之为感应电场（Electric 感应电动势与感应电场的关系为
矢量恒等式
( H ) 0
图7.1.4 交变电路用安培环路定律
矢量恒等式
( H ) 0
H J D t
H J
面积分，斯氏定理
作闭合曲线 l 与导线交 链，根据安培环路定律
经过 S1 面
H dl J dS
l S
面积分，斯氏定理 D H d l ( J ) dS l S t
经过 S 2 面
S1
H dl
l
J dS i
l
H dl J dS 0
S2
H dl
l
S
(J
D ) dS t
S1
J dS i
为什么相同的线积分结果不同？
D dS S2 t
q dS i S2 t t
d ( V B ) dl dt l
称为动生电动势，这是发电机工作原 理，又称为发电机电势。
• 磁场随时间变化，回路切割磁力线
d B ( V B )dl dS l S dt t
图7.1.2 动生电动势
实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），
定义为速度 ?
r ) 经过 t 后得以保持不变，必有自 v
• 它具有速度的量纲；且通解中的 f 1 ( t
变量不变，即 t r const r v( t const )
v
dr v dt
它表明： f1是一个以速度 v 沿 r方向前进的波。
7.4
坡印亭定理和坡印亭矢量
2
(
2 A 经整理后，得 A J ( A ) t 2 t 2 A t 定义A 的散度 洛仑兹条件（规范） A t
A ) t
A ( ) t t
t
E
B t
变化的磁场产生电场
根据自然界的对偶关系，变化的磁场产生电 场，变化的电场是否会产生磁场呢？
图7.1.3b 变化的磁场产生感应电场
7.1.3 全电流定律 恒定场
J 0
J
时变场
D t t
( J
D )0 t
r v
• 达朗贝尔方程解的形式表明：t
时刻的响应取决于( t ) 时刻激励源的情况。
为滞后位（Retarded 故又称 A、
Potential）。
• 电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速
v 1
m/s
• 电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。
为何将达朗贝尔方程中 的v 1
1）通解的物理意义：
r f 1 ( t )的物理意义 v 当时间从 t t t , 信号从 r r v t r vt r ) f1( t ) 有 f 1 ( t t v v f1 在 t 时间内经过 r 距离后不变,说明它
图7.3.1
f1( t
7.2.2
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
tan 1 1 tan 2 2
磁场： B1n B2 n
H 2t H1t k
折射定律
电场： D2n D1n E2t E1t
tan 1 1 tan 2 2
图7.2.1 媒质分界面
B 0, 即 E 0 t
为此： • 在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ； • 分界面介质侧的衔接条件为
Et 0 , Dn ,
H t k , Bn 0
电磁波的全反射
7.3
动态位及其积分解
7.3.1 动态位及其微分方程 仍从电磁场基本方程组出发,
是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。
r ) 的物理意义 v
r f 2 ( t ) 的物理意义 v r vt r f ( t t ) f ( t ) 当时间从 t t t , 信号从 r r vt 时, 有 2 2 v v 它表明： f2 在 t 时间内, 以速度v 向( -r )方向前进了v t 距离,故称之为反射波。
四个方程所反映的物理意义 • 全电流定律——麦克斯韦第一方程, • 电磁感应定律——麦克斯韦第二方程 , 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； 表明电荷和变化的磁场都能产生电场；
• 磁通连续性原理——表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；
• 高斯定律——表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。 • 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。 • 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
全电流定律
D t D l H dl s ( J t ) dS ic iD H J
微分形式 积分形式
D 其中， J D ——位移电流密度 ( Displacement t CurrentDensity ) 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它
由 B 0
由 E B t
B A
A A E ( E )0 t t
A, 称为动态位（potential of Kinetic State）。
由 H J D
t
1
A J
由
D
• 本章要求：深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，掌握电磁波的产生和
传播特性。
7.1 电磁感应定律和全电流定律
7.1.1 电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电 磁感应定律（Faraday’s Law of Electromagnetic Induction ）。
Ei dl ( Ei ) dS ( V B ) dl
l s
Ei ( V B )
在静止媒质中
Ei
B t
B t
L
B dS dt
图7.1.3a 变化的 磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B 是产生 E i 的涡旋源。 若空间同时存在库仑电场, 即 E EC Ei , 则有
例 7.2.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上 的衔接条件。 , E 0; 解： 理想导体中 J E 为有限值，当
E B 0 , t B C ( 常数 ),
若 C 0 , B 由0 C 的建立过程中必有 J E , 所以 ,只有 B C 0
给解题带来了方便；
• 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2 A J
2 /
7.3.2
达朗贝尔方程的积分解
以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。
2 2 0 t
2
（除q点外）
图7.3.2 波的入射、反射与透射
r ( x , y , z , t ) 1 v dV ( x , y , z ,t ) 4 V r
无反射
若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式 r J ( x , y , z , t ) （无反射） v dV A( x , y , z ,t ) 4 V r 当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。
d dt
负号表示感应电流产生的磁
场总是阻碍原磁场的变化 引起磁通变化的原因分为三类：
图7.1.1感生电动势的参考方向
• 回路不变，磁场随时间变化
d B dS S dt t
图7.1.2 感生电动势
称为感生电动势，这是变压器 工作的原理，又称为变压器电势。
• 回路切割磁力线，磁场不变
（1） （2）
A
2
t
洛仑兹条件
2 A A J t 2 2 2 t 2
达朗贝尔方程 (Dalangbaier
Eguation)
这是非齐次波动方程
1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义 • 确定了 A 的值，与 B A 共同唯一确定A； • 简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J决定，j单独由r决定，
与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。 例 7.1.1 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ， 极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么? 解： 电场 位移电流密度 忽略极板的边缘效应和感应电场
D t B E t H J
H dl
l
ຫໍສະໝຸດ Baidu
s
(J
k
E dl
l
B 0
D
B dS 0 D dS q
s
s
D ) dS t B dS t
全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。
2）解的表达式 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 2 0 ，其特解为 q ( 无限大均匀媒质） 4r 由此推论，时变点电荷的动态标量位为
( t )
q( t
r ) v 4r
( 无反射）
可以证明：该解满足齐次波动方程。 连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得
第 7 章 时变电磁场
•
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产
生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。
• 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的 电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基 础。
• 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理； • 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 7.4.1 坡印亭定理（Poynting Theorem）
1 1 在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为 w we wm D E B H 2 2 1 体积 V内储存的能量为 W w dV （D E B H） dV V V 2 设体积元储存能量 wdV 随时间的变化率为
JD
S
位移电流
iD J D dS
D du ( ) t d dt S du
d dt (
u( t ) d
)C
du iC dt
图7.1.5 传导电流与位移电流
7.2
电磁场基本方程组 • 分界面上的衔接条件
7.2.1 电磁场基本方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为
2 ( r ) 1 2 ( r ) 在球坐标系下 , 具有球对称性的展开式 为 2 2 r v t 2 1 r 1 r 这是( r )的一维齐次波动方程 , 其通解为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) r v r v
式中 v 1
具有速度的量纲 ，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。
只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感 应电流产生。
电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
7.1.2
感应电场（涡旋电场） Field of Induction )。
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力 （产生感应电流），称之为感应电场（Electric 感应电动势与感应电场的关系为
矢量恒等式
( H ) 0
图7.1.4 交变电路用安培环路定律
矢量恒等式
( H ) 0
H J D t
H J
面积分，斯氏定理
作闭合曲线 l 与导线交 链，根据安培环路定律
经过 S1 面
H dl J dS
l S
面积分，斯氏定理 D H d l ( J ) dS l S t
经过 S 2 面
S1
H dl
l
J dS i
l
H dl J dS 0
S2
H dl
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D ) dS t
S1
J dS i
为什么相同的线积分结果不同？
D dS S2 t
q dS i S2 t t
d ( V B ) dl dt l
称为动生电动势，这是发电机工作原 理，又称为发电机电势。
• 磁场随时间变化，回路切割磁力线
d B ( V B )dl dS l S dt t
图7.1.2 动生电动势
实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），
定义为速度 ?
r ) 经过 t 后得以保持不变，必有自 v
• 它具有速度的量纲；且通解中的 f 1 ( t
变量不变，即 t r const r v( t const )
v
dr v dt
它表明： f1是一个以速度 v 沿 r方向前进的波。
7.4
坡印亭定理和坡印亭矢量
2
(
2 A 经整理后，得 A J ( A ) t 2 t 2 A t 定义A 的散度 洛仑兹条件（规范） A t
A ) t
A ( ) t t
t
E
B t
变化的磁场产生电场
根据自然界的对偶关系，变化的磁场产生电 场，变化的电场是否会产生磁场呢？
图7.1.3b 变化的磁场产生感应电场
7.1.3 全电流定律 恒定场
J 0
J
时变场
D t t
( J
D )0 t
r v
• 达朗贝尔方程解的形式表明：t
时刻的响应取决于( t ) 时刻激励源的情况。
为滞后位（Retarded 故又称 A、
Potential）。
• 电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速
v 1
m/s
• 电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。
为何将达朗贝尔方程中 的v 1
1）通解的物理意义：
r f 1 ( t )的物理意义 v 当时间从 t t t , 信号从 r r v t r vt r ) f1( t ) 有 f 1 ( t t v v f1 在 t 时间内经过 r 距离后不变,说明它
图7.3.1
f1( t
7.2.2
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
tan 1 1 tan 2 2
磁场： B1n B2 n
H 2t H1t k
折射定律
电场： D2n D1n E2t E1t
tan 1 1 tan 2 2
图7.2.1 媒质分界面
B 0, 即 E 0 t
为此： • 在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ； • 分界面介质侧的衔接条件为
Et 0 , Dn ,
H t k , Bn 0
电磁波的全反射
7.3
动态位及其积分解
7.3.1 动态位及其微分方程 仍从电磁场基本方程组出发,
是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。
r ) 的物理意义 v
r f 2 ( t ) 的物理意义 v r vt r f ( t t ) f ( t ) 当时间从 t t t , 信号从 r r vt 时, 有 2 2 v v 它表明： f2 在 t 时间内, 以速度v 向( -r )方向前进了v t 距离,故称之为反射波。
四个方程所反映的物理意义 • 全电流定律——麦克斯韦第一方程, • 电磁感应定律——麦克斯韦第二方程 , 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； 表明电荷和变化的磁场都能产生电场；
• 磁通连续性原理——表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；
• 高斯定律——表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。 • 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。 • 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
全电流定律
D t D l H dl s ( J t ) dS ic iD H J
微分形式 积分形式
D 其中， J D ——位移电流密度 ( Displacement t CurrentDensity ) 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它
由 B 0
由 E B t
B A
A A E ( E )0 t t
A, 称为动态位（potential of Kinetic State）。
由 H J D
t
1
A J
由
D
• 本章要求：深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，掌握电磁波的产生和
传播特性。
7.1 电磁感应定律和全电流定律
7.1.1 电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电 磁感应定律（Faraday’s Law of Electromagnetic Induction ）。
Ei dl ( Ei ) dS ( V B ) dl
l s
Ei ( V B )
在静止媒质中
Ei
B t
B t
L
B dS dt
图7.1.3a 变化的 磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B 是产生 E i 的涡旋源。 若空间同时存在库仑电场, 即 E EC Ei , 则有
例 7.2.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上 的衔接条件。 , E 0; 解： 理想导体中 J E 为有限值，当
E B 0 , t B C ( 常数 ),
若 C 0 , B 由0 C 的建立过程中必有 J E , 所以 ,只有 B C 0
给解题带来了方便；
• 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2 A J
2 /
7.3.2
达朗贝尔方程的积分解
以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。
2 2 0 t
2
（除q点外）
图7.3.2 波的入射、反射与透射
r ( x , y , z , t ) 1 v dV ( x , y , z ,t ) 4 V r
无反射
若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式 r J ( x , y , z , t ) （无反射） v dV A( x , y , z ,t ) 4 V r 当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。
d dt
负号表示感应电流产生的磁
场总是阻碍原磁场的变化 引起磁通变化的原因分为三类：
图7.1.1感生电动势的参考方向
• 回路不变，磁场随时间变化
d B dS S dt t
图7.1.2 感生电动势
称为感生电动势，这是变压器 工作的原理，又称为变压器电势。
• 回路切割磁力线，磁场不变
（1） （2）
A
2
t
洛仑兹条件
2 A A J t 2 2 2 t 2
达朗贝尔方程 (Dalangbaier
Eguation)
这是非齐次波动方程
1） 洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义 • 确定了 A 的值，与 B A 共同唯一确定A； • 简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J决定，j单独由r决定，
与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。 例 7.1.1 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ， 极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么? 解： 电场 位移电流密度 忽略极板的边缘效应和感应电场
D t B E t H J
H dl
l
ຫໍສະໝຸດ Baidu
s
(J
k
E dl
l
B 0
D
B dS 0 D dS q
s
s
D ) dS t B dS t
全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。
2）解的表达式 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 2 0 ，其特解为 q ( 无限大均匀媒质） 4r 由此推论，时变点电荷的动态标量位为
( t )
q( t
r ) v 4r
( 无反射）
可以证明：该解满足齐次波动方程。 连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得
第 7 章 时变电磁场
•
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产
生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。
• 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的 电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基 础。
• 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印亭定理； • 坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。 7.4.1 坡印亭定理（Poynting Theorem）
1 1 在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为 w we wm D E B H 2 2 1 体积 V内储存的能量为 W w dV （D E B H） dV V V 2 设体积元储存能量 wdV 随时间的变化率为