工程力学A 单辉祖-第13章(应力状态分析)

• 应力状态
A
构件受力后，通过其内一点在不同方向面上应力的集合， 称之为该点的应力状态。
• 微（元）体、单元体 围绕所研究点取无限小微六面体
x
y
y
y
x x
(1)微体的尺寸无限小，边长为1； (2)每个面上应力均匀分布； (3)对面上应力相等。
选取原则：面上应力已知或可求
x
z
y
微元体
§13-1 引言
σ−τ
§13-2 平面应力状态应力分析

y
y
D ( x , x ) C
y
x
x
x
F

o
y y
x
E ( y , y )
(x-y)/2
(x+y)/2
• 证明分析
C(
x
R
x y
2
, 0)
(
x
2
y
)2 x 2
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系 • 点面对应：
0
x y d 0 时，正应力有极值。 2 当 sin2 x cos2 0 d 2
最大正应力方位角α0：
2 x tan2 0 x y
2

max min

x y 2

x y 2 x 2
x
2 x y sin 2 x co s2 2
y co s2 x sin 2 2
x y x y co s2 x sin 2 2 2 x y 0 sin2 x co s2
2
T W p m ax

单向应力状态
纯剪切应力状态
• 梁的强度条件： max
FS S z , max M W [ ] max I z z max
[ ] max
单向应力状态
解析法

x y sin2 x cos2 2
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
§13-2 平面应力状态应力分析 二、应力圆（图解法）
斜截面上的应力公式 x y
§13-2 平面应力状态应力分析 五、应力圆的应用 • 利用应力圆明晰的几何关 系推导并记忆一些基本公
C

H
H (, )
D 2 x 20 F
H

式，避免死记硬背；
• 在应用过程中，应当将应
o
y
y
E
(x-y)/2
力圆作为思考、分析问题
的工具，而不是计算工具； • 解析法才是计算重点。
微体截面上的正应力和切应力与应力圆点的坐标值一一对应。
y
H( , )
y



x
x
O
c E(y ,x)
D(x ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系 • 夹角2倍、转向一致：
• 夹角2倍：应力圆半径转过的角度是微体截面法线旋转角度的两倍。 • 转向一致：应力圆半径旋转方向与微体截面法线旋转方向一致。
tan2 1
x y 2x
max min
x y 2 x 2
2
1 tan2 0
最大切应力方位角α1与最 大正应力方位角α0差45°
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
法二：应力圆法
正应力极值在A和B点： （应力圆与横轴交点）
纯剪切应力状态
建立强度条件的依据？
危险点处的应力状态！
§13-1 引言
螺旋桨轴:
A
F T
微体A
F


采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
工字梁
d d C ,max
1
a
b
max
1
C
a
z
a
max
O
max
1
y

1
c
d
t ,max
C ,max
b
b
1
§13-5 广义胡克定律
本章主要研究：

应力状态应力分析的基本理论 应力、应变间的一般关系
§13-1 引言
一、强度条件回顾
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
FN • 拉压杆强度条件： m ax＝ A m ax
• 圆轴强度条件：
m ax
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
)2 x 2
§13-2 平面应力状态应力分析
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
)2 x 2

—坐标系下的圆方程 圆心坐标： 半径：
（
x
2
R
y
， 0）
o (x+ y)/2
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：李荣涛
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
第十三章 应力状态分析
§13-1 引言 §13-2 平面应力状态应力分析
§13-3 极值应力与主应力
§13-4 复杂应力状态的最大应力
max x y x y 2 x OC CA 2 2 min
2
最大正应力方位： 2 x tan2 0 （负号表示x截面至最大正应力所在截面为顺时针） x y 最大切应力在K和M点（应力圆半径）： 2 极值与 极值所在截面， max x y 2 x CK 成 夹角 45 2 min
确定圆心和半径
σ−τ
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
• 斜截面应力公式
Baidu Nhomakorabea
H
H (, )
D C 2 x 20 F
x y x y cos2 x sin2 2 2 o y x y sin2 x cos2 y E 2

x y 2 R ( ) x2 2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆
§13-2 平面应力状态应力分析 三、应力圆的绘制
绘制方法1： 以 （
R (

x
2
y
， 0）
为圆心，
o
R
x y 2 ) x2 2

(x+ y)/2
为半径作圆
缺点： • 需用解析法计算圆心坐标和半径 • 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
§13-2 平面应力状态应力分析 三、应力圆的绘制
绘制方法2（重点）
y
y
B
x
O
c
E(y ,x)
D(x ,x)
x
建立坐标系
找两点
D( x , x )、E( y , y )
确定圆心和半径
y
H( , )
y

2
x


x
O
c E(y ,x)
D(x ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析 五、应力圆的应用 计算斜截面上的应力
y
y

H
H (, )
D C 2 x 20 F
H
y

x

n
o
x
y
x
y
E
(x-y)/2
(x+y)/2
y 30 M Pa
x y x y c o s2 x sin 2 2 2
x -20 MPa
40
40
100 30 100 30 cos80 ( 20)sin80 91M P a 2 2 x y sin 2 x c o s2 2
τx = − τy
§13-2 平面应力状态应力分析
F
n
0:
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
F 0 :
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
三向（空间）应力状态 平面（二向）应力状态
z
z
zy yz
zx
x
x
y
y
y
y
xz
x
y
y
x x
xy yx
x
§13-1 引言
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
y
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
§13-3 极值应力与主应力
二、主应力 • 主平面——切应力为零的截面 • 主应力——主平面上的正应力 • 主应力符号与规定—— 1 2 3
应力作用线均平行于不受力表面；
z
y
• 平面应力状态的应力分析
已知x , y, x , y
求任意平行于z轴的斜截面上的应力
x
z
§13-2 平面应力状态应力分析
一、平面应力状态斜截面应力
正负号规定
：拉为正；压为负
τ：使微元体顺时针转动为正（与剪力Fs规定相同） α：从坐标轴x正向逆时针旋转至斜截面法线方向为正
(x+y)/2
x
并画应力圆。 例13-1 求图示 ，
x y x y c o s2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x c o s2 2
30


n 40
20
单位：MPa
100
解： x 1 0 0 M P a

H
O C C H c o s (2 0 2 )
x
O C C D c o s 2 0 c o s 2 C D s in 2 0 s in 2 x y x y H cos2 x sin2 2 2

同理：
H
c
y
c t ,max
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力；
b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验找破坏时的组合形式？工作量与难度 ?
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状态· 应力微体
材料失效机理 强度条件
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
法一：解析法
x y sin2 x cos2 2
d 0 时，切应力有极值。 当 d
x y 2 cos2 xsin2 0 2
最大切应力方位角α1：
40
100 30 sin80 ( 20 ) cos80 = 31M P a 2
画应力圆
H ( 40 , 40 ) E(30 ,20)
O
80°
30


n 40
20
单位：MPa
100
c
D(100 ,−20)
建立坐标系
找两点
D( x , x )、E( y , y )
y
y
x
x
x
x
平 面 应 力 状 态 三 向 应 力 状 态
单向应力状态
纯剪应力状态
特例
特例
§13-2 平面应力状态应力分析
y
y yy x xx x y y y α α x x
y
x
• 平面应力状态
微体有一对平行表面不受力的应力状态。 x
微体仅有四个面作用有应力；
H

(x+y)/2
(x-y)/2
微体内最大与最小正应力？ 最大与最小切应力？ 微体内最大正应力与切应力方位？
x
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
法一：解析法
x y x y cos2 x sin2 2 2
x y sin2 x cos2 2
§13-2 平面应力状态应力分析
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
§13-2 平面应力状态应力分析
斜截面上的应力公式
x y x y cos2 x sin 2 2 2