参数方程化普通方程

参数方程化普通方程

[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法,理解参数方程与消去参数后所得的普通方程的等价性;应明确新旧知识之间的联系,提高综合运用所学知识解决数学问题能力。

[例题分析]

1.把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R,θ为参数)

解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入,∴y=3-2x2,

又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)

(2)(θ∈R,θ为参数)

解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,把y=sinθcosθ代入,∴x2=1+2y。

x=sinθ+cosθ=sin(θ+

)

y=sinθcosθ=sin2θ

|x|≤,|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤,

|y|≤)

小结:上述两个例子可以发现,都就是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上就是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法。

(3)(t≠1, t为参数)

法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法。

x+y==1,又

x=-1≠-1,y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。

法二:其实只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可。由

x=, ∴x+xt=1-t,

∴(x+1)t=1-x,即t=代入

y==1-x,∴x+y=1,(其余略)

这种方法称为代入消参,这就是非常重要的消参方法,其它不少方法都可以瞧到代入消参的思想。

(4)(t为参数)

分析:此题就是上题的变式,仅仅就是把t换成t2而已,因而消参方法依旧,但带来的变化就是范围的改变,可用两种求值域的方法:

法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴

0<≤1, ∴

-1<-1≤1, ∴-1

法二:解得t2=≥0, ∴-1

(5) (t为参数)

分析:现在综合运用上述各种方法进行消参,首先,求x,y范围。

由x=得

x2=≥0, ∴-1

t≠0

时,|y|=≤=1,从而

|y|≤1。

法一:注意到分子,分母的结构,采用平方消参,

x2+y2=()2+()2=

==1。

法二:关键能不能用x, y表示t,且形式简单由x=得t2=,代入

y==t(1+x)

∴t=再代入

x=,化简得x2+y2=1。

法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象

可令t=tgθ,θ∈

(-),∴

x==cos2θ,

y==sin2θ,

∴x2+y2=1,又2θ∈

(-,),∴-1

2.已知圆锥曲线方程就是

1)若t为参数,φ为常数,求它的普通方程,并求出焦点到准线的距离。

2)若φ为参数,t为常数,求它的普通方程,并求它的离心率e。

解:1)由已知,由(1) 得t=代入(2)

y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-

(y-4sinφ+5)

为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线,其焦点到准线距离

p=。

2)由已知∴

=1,

表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆,其中a=5, b=4, c=3,∴e=。

分析:从上题可以瞧出,所指定参数不同,方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。

3.抛物线y2=4p(x+p)(p>0),过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB,CD,M为AB中点,N 为CD中点,G为MN中点。求G点轨迹方程,并说明其图形。

解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)

∴k2x2-4px-4p2=0, 若A,B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则

∴x M=,

y M=,

∵AB⊥CD,∴CD方程为y=-x,代入y2=4p(x+p),∴

x2-4px-4p2=0,设C(x3, y3),D(x4,y4)

∴N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为y2=p2(+k2-2)=p2(

-2)=p(x-2p)

x=p(k2+)≥p·2=2 p,而y∈R在方程中都已体现,

∴轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。

说明:消参一般应分别给出x,y的范围,而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况,消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹,这时应用语言作补充说明。如方程

θ∈[0,π],就是

个圆,但消参之后得x2+y2=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。

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选择题

1.曲线的参数方程为(φ为参数),则方程所表示的曲线为

( )

A、射线

B、线段

C、双曲线的一支

D、抛物线

2.参数方程(θ为参数,且0≤θ<2π)所表示的曲线就是( )、

A、椭圆的一部分

B、双曲线的一部分