Matlab来解决概率统计学

调用函数
X=unifinv(p,a,b) X=expinv(p,mu) X=norminv(p,mu,sigma) X=chi2inv(p,n) X=tinv(p,n) X=finv(p,n1,n2)
注释
[a,b]上均匀分布逆累积分布函数 指数逆累积分布函数 正态逆累积分布函数 卡方逆累积分布函数 T分布逆累积分布函数 F分布逆累积分布函数

分布 均匀分布 指数分布 正态分布 2分布 T分布 F分布
调用函数 unifpdf(x,a,b) exppdf(x,lambda) normpdf(x,mu,sigma) chi2pdf(x,n) tpdf(x,n) fpdf(x,n1,n2)
应用举例
例2.1 计算正态分布N（0，1）下的在点 0.7733的值。 在Matlab命令窗口键入： >> normpdf(0.7733,0,1) 回车后显示结果为： ans = 0.2958

>> syms x >> c='1/pi'; >> px=c/sqrt(1-x.^2); >> format >> p1=int(px,x,-1/2,1/2)

则结果显示如下： p1=1/3
程序(3) >> syms x t >> c='1/pi'; >> px=c/sqrt(1-t.^2); >> format >> Fx=int(px,t,-1,x)

应用举例

例2.4 设随机变量X的概率密度为
c , Px 1 x 2 0, x 1 x 1
确定常数c; 求X落在区间（-1/2，1/2）内的概率； 求X的分布函数F（x）
程序（1）： >> syms c x >> px=c/sqrt(1-x.^2); >> Fx=int(px,x,-1,1) 则结果显示如下：Fx=pi*c 由pi*c=1得 c=1/pi 程序（2）：
本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概 率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等 问题。
Matlab可以实现的内容
概率分布 数字特征 参数估计 假设检验

1.1、离散型随机变量的概率及概率分布
(1)分布律



二项分布的概率值 格式 binopdf(k,n,p) 说明 n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概 率； k: 事件A发生k次。 泊松分布的概率值 格式 poisspdf(k,lambda) 说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数 超几何分布的概率值 格式 hygpdf(K,N,M,n) 说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n: 抽取总数.
应用举例

例1.2 自1875年到1955年中的某63年间，某城 市夏季（5-9月间）共发生暴雨180次，试求在 一个夏季中发生k次（k=0,1,2,…,8）暴雨的概 率 P（设每次暴雨以1天计算）。 k 解：一年夏天共有天数为 n=31+30+31+31+30=153 故可知夏天每天发生暴雨的概率约为
应用举例

例2.5 公共汽车门的高度是按成年男子与车门 顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X （单位：cm）服从正态分布N（175，36）， 求车门的最低高度。
解：设h为车门高度，X为身高，求满足条件 P{X>h}0.01的h，即P{X<h}0.99。 程序：

>> h=norminv(0.99,175,6)
1.3 数字特征
(1)数学期望 离散型随机变量X的期望计算 求和函数：sum(X) 说明： 若X为向量，则sum（X）为X中的各元素之和，返 回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列 元素之和，返回一个行向量。
求均值函数：mean(X)
说明： 若X为向量，则sum（X）为X中的各元素的算术 平均值，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X） 为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量

由
PX xk Pk , k 1.2,...
D( X ) E[( X EX ) ] E ( X ) E ( X )
2 2 2
则方差 DX=sum(X.^2*P)-(EX).^2

标准差：
X DX sqrtDX
应用举例

例 3.3 设随机变量X的分布律为：
应用举例
例3.1 随机抽取6个滚珠测得直径（mm）如 下： 14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 试求样本平均值。 程序：

>> X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]; >> mean(X)

则结果显示如下：
ans=15.0600

0.2233 0.0177
0.0063
即：用k表示一个夏季中发生的次数，其 概率为：
k 0 0.0574 5 0.0911 1 0.1641 6 0.0434 2 0.2344 7 0.0177 3 0.2233 8 0.0063
Pk
4 0.1595
1.2 连续型随机变量的概率及其分布
(1)概率密度函数值 利用专用函数计算概率密度函数值，如下表。
(2)累积概率值(随机变量X<K的概率之和) 二项分布的累积概率值 格式 binocdf(k,n,p) 说明 n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概 率；k: 事件A发生k次。 泊松分布的累积概率值 格式 poisscdf(k,lambda) 说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数 超几何分布的累积概率值 格式 hygcdf(K,N,M,n) 说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总 数；n: 抽取总数.


则结果显示如下：
Fx =1/2*(2*asin(x)+pi)/pi 所以X的分布函数为： 0, x 1 2 arcsin(x) F x ,1 x 1 2 1, x 1
（3）逆累积概率值 已知 F ( x) PX x ，求x。x为临界值， 常用临界值如表
运行后结果显示如下：
EX =0 Y= 3 0 -1 0 3
EY =1.6000
DX =2.6000 DY = 3.0400


连续型随机变量的方差 利用 D( X ) E[( X EX ) 2 ] E ( X 2 ) E 2 ( X ) 求解。 例3.5 设X的概率密度为：
求DX，D（2X+1） 2 2 解： D( X ) E ( X ) E ( X )
解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均 匀分布，当且仅当他在时间间隔（7：10，7：15）或（7： 25，7：30）内到达车站时，候车时间不到5分钟。故其概 率为：P1=P{10<X<15}+ P{25<X<30} 程序： >> format rat >> p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30); >> p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30); >> p=p1+p2 则结果显示为：p=1/3
180 P 63153
很小，n=153较大，可用泊松分布近似。
程序： >> p=180/(63*153); >> n=153; >> lamda=n*p; >> k=0:1:8; >> p_k=poisspdf(k,lamda) 结果： p_k = 0.0574 0.1641 0.2344 0.1595 0.0911 0.0434
3x , 0 x 1 P( x) 0, 其它
2
求EX和E(4X-1)。
程序： >> syms x >> EX=int(x*3*x^2,0,1) >> EY=int((4*x-1)*3*x.^2,0,1)

运行后结果显示如下： EX=3/4 EY=2
(2) 方差
离散型随机变量的方差及样本方差 方差 设X的分布律为
EX E X
1 , x 1 P( x) 1 x 2 0, 其它

2

ຫໍສະໝຸດ Baidu


xp( x ) dx x 2 p ( x ) dx


程序： >> syms x >> px=1./(pi*sqrt(1-x.^2)); >> EX=int(x*px,-1,1) >> Dx=int(x.^2.*px,-1,1) >> y=2*x+1; >> EY=int(y.*px,-1,1) >> DY=int(y.^2.*px,-1,1)-EY.^2 运行结果显示如下： EX=0 DX=1/2 EY=1 DY=2

结果：
h= 188.9581
应用举例

例 2.6 设二维随机变量（X，Y）的联合密度为：
ex y , x 0, y 0 p( x, y ) 0, 其它
求（1）P{0<X<1,0<Y<1}; (2) (X,Y)落在x+y=1,x=0,y=0所围成的区域内的概率。 程序： >> syms x y >> f=exp(-x-y); >> P_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1) >> P_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1) 运行结果显示如下： P_XY= exp(-2)-2*exp(-1)+1 P_G= -2*exp(-1)+1

举例应用


例2.2 绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5， 15时的图形
程序：
x=0:0.1:30; y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') hold on y2=chi2pdf(x,5); plot(x,y2,'+') y3=chi2pdf(x,15); plot(x,y3,'o') axis([0,30,0,0.2]) xlabel(‘图2-1’)
X P -2 0．3 -1 0．1 0 0．2 1 0．1 2 0．3
求D（X），D（X^2-1）。 程序： >> X=[-2 -1 0 1 2]; >> p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; >> EX=sum(X.*p)
>> Y=X.^2-1 >> EY=sum(Y.*p) >> DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2 >> DY=sum(Y.^2.*p)-EY.^2
%保留当前图形
%控制图形在坐标轴上的范围 %给轴标注“图2-1”
结果为下图
0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0
5
10
15 图 2-1
20
25
30
(2)分布函数

利用专用函数计算累积概率函数值，即
F x PX x pt dt
x
常用专用函数如下表。
分布 均匀分布 调用函数 unifcdf(x,a,b)
指数分布
正态分布 卡方分布 T分布 F分布
expcdf(x,lambda)
normcdf(x,mu,sigma) chi2cdf(x,n) tcdf(x,n) fcdf(x,n1,n2)
应用举例

例2.3 某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一 班车。若某乘客在7：00到7：30间任何时刻到达 此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的 概率。
或键入：
>> X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]; >> p=[1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6]; >> sum(X.*p)
则结果显示如下：
ans=15.0600
连续型随机变量的期望

应用举例 例 3.2 已知随机变量X的概率


应用举例

例1.1 某机床出次品的概率为0.01,求生产100 件产品中：（1）恰有一件次品的概率；（2） 至少有一件次品的概率。
解：此问可看作是100次独立重复试验，每次试验出次品 的概率为0.01，恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗 口键入： >> p=binopdf(1,100,0.01) 显示结果为： p=0.3697 （2）至少有一件次品的概率, 在Matlab命令窗口键入： >> p=1-binocdf(1,100,0.01) 显示结果为：p =0.2642