第12章 心理统计学 线性回归共16页
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心理统计学线性回归
卷调查或实验获取数据。
数据清洗
03
对收集到的数据进行清洗和整理,包括处理缺失值、异常值和
错误数据等。
数据分析
描述性统计
对数据进行基本的描述性统计,例如求平均值、标准 差等,以了解数据的分布和特征。
线性回归分析
使用线性回归模型分析数据,确定自变量和因变量之 间的关系。
模型评估
通过回归诊断、残差分析等方法评估模型的拟合效果 和预测准确性。
对异常值敏感
难以处理非线性关系
线性回归对异常值比较敏感,异常值可能 会对回归线的位置和斜率产生较大影响。
对于非线性关系的数据,线性回归可能无 法给出准确的预测和解释。
06
线性回归的实例分析
数据收集
确定研究问题
01
首先需要明确研究的问题和目标,例如预测身高与年龄之间的
关系。
收集数据
02
根据研究问题,选择合适的样本和数据收集方法,例如通过问
心理统计学线性回归
• 线性回归的基本概念 • 线性回归的参数估计 • 线性回归的检验 • 线性回归的应用 • 线性回归的优缺点 • 线性回归的实例分析
目录
01
线性回归的基本概念
线性回归的定义
线性回归是一种统计学方法,用于探索两个或多个变量之间的关系。它通过建立 一个数学模型来描述因变量(目标变量)和自变量(预测变量)之间的线性关系 。
参数的估计值具有一些重要的性质,如无偏性、一致性和有效性。无偏性意味着估计值的平均值等于 真实参数值;一致性意味着随着样本容量的增加,估计值的精度也会提高;有效性则表示估计值在所 有可能的估计中拥有最小的方差。
估计值的性质Байду номын сангаас
线性回归中参数的估计值的性质包括无偏性 、一致性和有效性。无偏性意味着估计值不 会倾向于过高或过低地估计真实参数值,而 是逐渐接近真实值。一致性表明随着观测数 据的增加,参数的估计值会逐渐收敛于真实 值。有效性则表明估计值在所有可能的估计 中拥有最小的方差,即具有最小的误差。
第12章 心理统计学 线性回归
最小二乘法
如果散点图中每一点沿Y轴方向到直线的距离 的平方和最小,即,使误差的平方和最小,则 在所有直线中这条直线的代表性最好 最小二乘法:使得误差平方和最小
ˆ Y
a Y bX
( X X )(Y Y ) b (X X )
2
四、回归系数与相关系数 的关系
( X X )(Y Y ) r
回归表示一个变量随另一个变量作不同程度变化的单
向关系。
第一节 线性回归模型的建 立方法
类别: 1.自变量数目: 一元回归(一个自变量) 多元回归(多个自变量) 2.变量间关系: 线性回归(直线关系) 非线性回归 注意:回归分析中只能有一个因变量
一、回归分析与相关分析
回归分析:用数学方式表示变量间关系, 找出变量之间依存关系的数学模型这种 数学模型称为回归方程(regression equation) 相关分析:检验或度量变量关系的密切 程度 注意:回归分析之前一般要有一个变量间 的相关矩阵
三、测定系数
检验回归平方和在总平方和中所占的比例,比 例越大越好 r2=SSR/SST r2叫做测定系数 相关系数的平方等于回归平方和在总平方和中 所占的比例 例如:r2=0.64 说明变量Y的变异中有64%是由变量X的变异引 起的
N S X SY bYX
( X X )(Y Y ) (X X )
2
r N S X SY r N S X SY SY bYX r 2 2 N SX SX (X X )
五、线性回归的基本假设
1.线性关系假设 2.正态性假设 3.独立性假设 X1,Y1与X2,Y2独立,依次类推 误差项独立 4.误差等分散性假设 误差项总和等于0
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程,首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程,并进行各种检验;其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程,首先所有变量全部引入回归方程并 检验,然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中,剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和,即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p,使式(1)达到极小。通过
求极值原理(偏导为零)和解方程组,可求得估计值,
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量(偏F统计量)
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3(默认)的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析: 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
线性回归PPT优秀课件
1.正方形面积S与边长x之间的关系: 确定关系 正方形边长x 面积S x 2 2.一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系: 气候情况 施肥量 不确定关系 水稻产量
浇水
除虫
与函数关系不同,相关关系是一种非确定
性关系.对具有相关关系的两个变量进行统
计分析的方法叫做回归分析. 在现实生活中存在着大量的相关关系.人 的身高与年龄、产品的成本与生产数量、商品
的销售额与广告费、家庭的支出与收入等都是
相关关系.
问题1:正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是 否有一个确定性的关系? (不确定关系) 例如:在7块并排、形状大小相同的试验田上进行 施肥量对水稻产量影响的试验,得到如下所示的一 组数据:
为了书写方便,我们先引进一个符号 “ ”.这个符号表示若干个数相加.
n
例如,可将x1+x2+……+xn记作 x i
i1
,即
表示从x1加到xn的和.这样,n个数的平均
1 n 数的公式可以写作 x x i .上面的③ n i 1 n 2 式可以写作Q= ( yi bxi a) .
因此所求的回归直线方程是 yˆ =4.75x+257. 根据这个回归直线方程,可以求出相应于x 的估计值.例如当x=28(kg)时,y的估计
值是
yˆ
= 4.75×28+257=390(kg).
例1.一个工厂在某年里每月产品的总成本y
(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组
数据:
(l)画出散点图; (2)求月总成本y与月产量x之间的回归直线方
i 1
这个式子展开后,是一个关于a,b的二 次多项式.利用配方法,可以导出使Q取得 最小值的a,b的求值公式(详细推导过程 请见本小节后的阅读材料.P43页).
线性回归计算方法及公式PPT课件
公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量,(a)是斜率,(x)是自变量,(b)是截距。
实例二:多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量,可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是:(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中,(w_i)是加权因 子,用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况,通过给不同观测值赋予不同的 权重,能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是:(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中, (z_i)是主成分得分,通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的,并且具有相 同的分布(通常是正态分布)。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差,即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性,即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量, 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量,(X)是自变量 矩阵,(lambda)是正则化参数
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量,(a)是斜率,(x)是自变量,(b)是截距。
实例二:多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量,可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是:(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中,(w_i)是加权因 子,用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况,通过给不同观测值赋予不同的 权重,能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是:(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中, (z_i)是主成分得分,通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的,并且具有相 同的分布(通常是正态分布)。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差,即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性,即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量, 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量,(X)是自变量 矩阵,(lambda)是正则化参数
线性回归分析教程PPT课件
实例二:销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中,可以通过分析历史销售数据,建立销售量与影响因子之间的线性关系, 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中,线性回归分析可以用于分析历史销售数据,通过建立销售量与影响因子(如市场需求 、季节性、促销活动等)之间的线性关系,预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中,自变量是预测因变量的变量,因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型,利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值,基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为:y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值,基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题,而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释,但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据, 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
第十二章线性回归分析54页PPT文档
2 确定回归模型,建立回归方程
一元线性回归模型
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的 方程称为回归模型
一元线性回归模型:
y = b0 + b1 x +
➢ y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 ➢ 线性部分反映了由于 x 的变化引起的 y 的变化
➢ 误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间线性关系之外的随机因素对 y 的影 响
SST = SSR + SSE
判定系数R2
(coefficient of determination)
回归平方和占总离差平方和的比例
n
n
R2
SSR SST
yˆi
i 1
n
yi
y 2 y 2
1
yi yˆ 2
i 1 n
yi y 2
i 1
i 1
反映回归方程的拟合程度;
取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间;
残差平方和(SSE)
➢ 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响,也 称为不可解释的平方和或剩余平方和;
离差平方和的分解
(三个平方和的关系)
n
n
n
yi y2 yˆi y2 + yi yˆ 2
i 1
i 1
i 1
{ { {
总平方和 (SST)
回归平方和 (SSR)
残差平方和 (SSE)
以通过该实际观测值与其均值之差 来
表示。
yy
变差的分解
(图示)
y
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
} yˆ y
yˆ bˆ0 + bˆ1x
y
《线性回归》课件
无多重共线性
自变量之间没有高度相关,即 它们是独立的。
误差项的独立性
误差项(实际观测值与回归线 预测值之间的差异)是独立的 ,且服从同一分布。
线性关系
因变量和自变量之间存在线性 关系,即它们之间的关系可以 用一条直线来描述。
无异常值或离群点
数据集中没有极端或不寻常的 值,这些值可能会对回归线的 拟合产生不利影响。
04
CHAPTER
线性回归的预测与决策
预测
01
02
03
预测未来趋势
线性回归模型可以用来预 测因变量的未来趋势,基 于自变量和因变量之间的 线性关系。
预测响应变量
通过输入已知的自变量值 ,可以预测出对应的因变 量值。
预测误差
预测结果会受到模型误差 和观测误差的影响,因此 在实际应用中需要考虑这 些误差的影响。
实例二:销售预测
总结词
销售预测是线性回归在商业领域的重要应用,通过对历史销售数据进行分析,可 以预测未来的销售趋势。
详细描述
在销售预测中,线性回归模型可以用于分析历史销售数据,如销售额、销售量、 客户数量等,以预测未来的销售趋势。这种预测可以帮助企业制定生产和销售计 划,提高经营效率。
实例三:医学数据分析
总结词
医学数据分析是线性回归在医疗领域的应用,通过对疾病发 病率、死亡率等数据进行分析,可以预测未来的健康趋势。
详细描述
在医学数据分析中,线性回归模型可以用于分析疾病发病率 、死亡率、治愈率等数据,以预测未来的健康趋势。这种预 测可以帮助医疗机构制定预防和治疗方案,提高医疗服务的 质量和效率。
THANKS
同方差性检验
同方差性检验
用于检验回归模型的残差是否具有相同的方差,即方差齐 性。同方差性是线性回归模型的基本假设之一。
自变量之间没有高度相关,即 它们是独立的。
误差项的独立性
误差项(实际观测值与回归线 预测值之间的差异)是独立的 ,且服从同一分布。
线性关系
因变量和自变量之间存在线性 关系,即它们之间的关系可以 用一条直线来描述。
无异常值或离群点
数据集中没有极端或不寻常的 值,这些值可能会对回归线的 拟合产生不利影响。
04
CHAPTER
线性回归的预测与决策
预测
01
02
03
预测未来趋势
线性回归模型可以用来预 测因变量的未来趋势,基 于自变量和因变量之间的 线性关系。
预测响应变量
通过输入已知的自变量值 ,可以预测出对应的因变 量值。
预测误差
预测结果会受到模型误差 和观测误差的影响,因此 在实际应用中需要考虑这 些误差的影响。
实例二:销售预测
总结词
销售预测是线性回归在商业领域的重要应用,通过对历史销售数据进行分析,可 以预测未来的销售趋势。
详细描述
在销售预测中,线性回归模型可以用于分析历史销售数据,如销售额、销售量、 客户数量等,以预测未来的销售趋势。这种预测可以帮助企业制定生产和销售计 划,提高经营效率。
实例三:医学数据分析
总结词
医学数据分析是线性回归在医疗领域的应用,通过对疾病发 病率、死亡率等数据进行分析,可以预测未来的健康趋势。
详细描述
在医学数据分析中,线性回归模型可以用于分析疾病发病率 、死亡率、治愈率等数据,以预测未来的健康趋势。这种预 测可以帮助医疗机构制定预防和治疗方案,提高医疗服务的 质量和效率。
THANKS
同方差性检验
同方差性检验
用于检验回归模型的残差是否具有相同的方差,即方差齐 性。同方差性是线性回归模型的基本假设之一。
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总离差平方和:
S S S T R E
R
回归均方差(组间方差): M
2 ( Y y ) j jME
(Y
j 1
m
j
yj )
2
m n 1
计算F值,
M F M
R E
由F值查表,得到P。讨论显著度水平: <=α 自变量作用显著 P >α 自变量作用不显著
将未进入方程的某自变量Xi与Y做方差分析,各水平均值差异显著,满足: F > 3.84 或P<= 0.05 则该Xi可以进入回归方程。而已进入回归方程的Xi与回归后的Y如果出现: F < 2.71 , P> 0.1 则该Xi 必须从回归方程中剔除。 3. 回归系数的显著性检验 对已进入方程的变量的回归系数做 T检验,该检验的原假设是 Bi=0,即第 i 个偏回归系数与0无差异。它意味着,当偏回归系数Bi为0时,无论xi取值如何变 化都不会引起y 的线性百脑汇,xi无法解释y 的线性变化,它们之间不存在线性 关系。 T值的计算为: B
四、线性回归分析的具体操作步骤 ⒈回归分析命令菜单
执行:[Analyze] [Regression] [Linear] 选择因变量到:“Dependent”因变量框内 选择若干个自变量移动到:“Independent(s)” 自变量 框内。
⒉回归方法
“Method”下拉菜单提供了五种筛选策略供选择: 强行介入法Enter(默认,通常在一元线性回归中) 向前筛选Forward 向后筛选Backward 逐步筛选Stepwise 强行剔除Remove
T
i
SE
通过查表可以得到P(即:Sig T)。 若P> 0.1的Xi须可以考虑首先从回归方程中剔除。 其中: Bi为偏回归系数 SEBi为偏回归系数的标准误
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26
logistic回归模型参数的意义
优势比(odds ratio, OR):暴露人群发病优势与非暴露 人群发病优势之比。
P(1) / [1-p(1)] OR= ——————— P(0) / [1-p(0)]
Ln(oR)=logit[p(1)]-logit[p(0)]=(B0+B×1) -(B0+B×0)=B 可见 B 是暴露剂量增加一个单位所引起的对数优势的增 量,或单位暴露剂量与零剂量死亡优势比的对数。eB就 是两剂量死亡优势比。常数项B0是所有变量 X等于零时 事件发生优势的对数。
30
回归模型中自变量的筛选
和多元线性回归分析一样,在Logistic回 归分析中也须对自变量进行筛选。方法 和多元线性回归中采用的方法一样,有 向后剔除法、向前引入法及逐步筛选法 三种。筛选自变量的方法有wald检验、 Score test、likelihood ratio test(wald chisquare test)三种。
ppt课件
1
多元线性回归
• 多元线性回归是简单线性回归的直接推广,其包含一 个因变量和二个或二个以上的自变量。
• 简单线性回归是研究一个因变量(Y)和一个自变量 (X)之间数量上相互依存的线性关系。而多元线性回 归是研究一个因变量(Y)和多个自变量(Xi)之间数 量上相互依存的线性关系。 • 简单线性回归的大部分内容可用于多元回归,因其基 本概念是一样的。
H0:K个自变 量为好 H1:K+1个自变量为好
ppt课件 15
• 向前引入法(forward selection) 自变量由少到多一个一个引入回归方程。 将 corr(y , xj)最大而又能拒绝H0者,最 先引入方程,余此类推。至不能再拒绝 H0为止。
心理与教育统计学第12章线性回归剖析
第十二章 线性回归
第一节 线性回归模型的建立方法
第二节 回归模型的检验与评估
第三节 回归方程的应用
第一节 线性回归模型的建立方法
类别:
1.自变量数目:
一元回归(一个自变量) 多元回归(多个自变量)
2.变量间关系: 线性回归(直线关系)
非线性回归
注意:回归分析中只能有一个因变量
一、回归分析与相关分析的关系
误差项独立
4.误差等分散性假设
误差项总和等于0
1、线性关系假设
2、正态性假设
3、独立性假设
4、误差等分散性假设
第二节 回归模型的检验与估计
一、回归模型的有效性检验
1、回归模型的有效性检验,就是对求得的回归方程进行显 著性检验,看是否真实地反映了变量间的线性关系。 2、方法 线性回归模型的有效性检验通常使用方差分析的思想和方
二、回归分析的内容
1、建立回归方程
2、检验方程的有效性
3、利用方程进行预测
三、回归模型与回归系数
1.用来表达变量之间规律的数学模型称为回归模型。
2.回归模型的分类 (1)线性回归模型、非线性回归模型 (2)简单回归模型、多重回归模型 (3)一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归 (linear regression),对具有线性关系的两个变 量,回归的目的首先是找出因变量(一般记为Y)关 于自变量(一般记为X)的定量关系。
若 b 与 0 之间无显著差异,其差异主要是抽 样误差,说明 b 是来自 0 总体,因此,X 与Y之间不存在线性关系。
反之,则X与Y之间存在线性关系。
回归系数的检验采用t检验法,其公式为:
b b0 t SE b SEb
SEbYX
第一节 线性回归模型的建立方法
第二节 回归模型的检验与评估
第三节 回归方程的应用
第一节 线性回归模型的建立方法
类别:
1.自变量数目:
一元回归(一个自变量) 多元回归(多个自变量)
2.变量间关系: 线性回归(直线关系)
非线性回归
注意:回归分析中只能有一个因变量
一、回归分析与相关分析的关系
误差项独立
4.误差等分散性假设
误差项总和等于0
1、线性关系假设
2、正态性假设
3、独立性假设
4、误差等分散性假设
第二节 回归模型的检验与估计
一、回归模型的有效性检验
1、回归模型的有效性检验,就是对求得的回归方程进行显 著性检验,看是否真实地反映了变量间的线性关系。 2、方法 线性回归模型的有效性检验通常使用方差分析的思想和方
二、回归分析的内容
1、建立回归方程
2、检验方程的有效性
3、利用方程进行预测
三、回归模型与回归系数
1.用来表达变量之间规律的数学模型称为回归模型。
2.回归模型的分类 (1)线性回归模型、非线性回归模型 (2)简单回归模型、多重回归模型 (3)一元线性回归是指只有一个自变量的线性回归 (linear regression),对具有线性关系的两个变 量,回归的目的首先是找出因变量(一般记为Y)关 于自变量(一般记为X)的定量关系。
若 b 与 0 之间无显著差异,其差异主要是抽 样误差,说明 b 是来自 0 总体,因此,X 与Y之间不存在线性关系。
反之,则X与Y之间存在线性关系。
回归系数的检验采用t检验法,其公式为:
b b0 t SE b SEb
SEbYX