统计学非参数检验

c2拟合优度检验
➢ 对定类变量用c2统计量进行统计显著性检验
K-S拟合优度检验
检验分布
中位数的符号检验
单样本K-S检验
➢ 检验总体分布是否为理论分布（正态、Possion、 均匀、指数）
➢ 是以两位苏联数学家Kolmogorov 和 Smirnov 命 名的，全称为Kolmogorov- Smirnov检验。
软件操作：结果分析（2）
卡方 df 渐近显著性 精确显著性 点概率
材料
11.250 2
.004 .003 .000
结果分析（3）
结论：计算出的c2统计量的值为11.250，自由 度为2，相应的p值（渐近显著性）为0.004， 小于a=0.05。所以检验的结论是拒绝总体中消 费者对3种材料的偏好程度无差异的零假设。
根据检验统计量的精确分布或渐进分布，可以 计算出假设检验的p值，从而得出检验的结论。
SPSS K-S检验中检验统计量Z的计算
SPSS K-S检验中p值的计算
有100名儿童每周看电视时间的数据（数据文件：电 视时间.sav）。检验能否认为总体中儿童每周看电视 的时间服从正态分布（显著性水平a=0.05）。
软件操作：数据录入
软件操作：方法设定
选择“分析”“非参数检验”“卡方”，在弹出的对话框中 将“材料”设定为检验变量；单击对话框中的“精确…”，选中 弹出对话框中的“精确”，单击“继续”、“确定”
软件操作：结果分析（1）
观察数 期望数 残差 1.00 55 40.0 15.0 2.00 25 40.0 -15.0 3.00 40 40.0 .0 总数 120
1912年4月15日，豪华巨轮泰坦尼克号与冰山 相撞沉没。当时船上共有2208人，其中男性 1738人，女性470人。
海难发生后，幸存者共718人，其中男性374人，
女性344人，以显著性水平为0.1检验存活状况
与性别是否有关？c
2 0.1
(1)

2.706
提出零假设和备择假设
➢ H0：观察频数与期望频数一致
特别说明
大样本、每个单元中的期望频数大于等于5时 可以使用c2分布。
小样本时应该按照精确方法计算得到的p值得 出结论。
c2检验也可以按照同样的思想对正态分布或者 任何想象的其他分布进行检验，但主要用于对 定性变量的检验。另外，c2检验也可以用于对 两个总体分布的比较。
单样本的非参数检验
缺点：方法比较粗糙，对于符合参数检验条件者，采用 非参数检验会损失部分信息，其检验效能较低；样本含 量较大时，两者结论常相同
非参数检验的特点
➢ 非参数检验不需要严格假设条件，因而比参数 检验有更广泛的适用面。
➢ 非参数检验几乎可以处理包括定类数据和定序 数据在内的所有类型的数据，而参数检验通常 只能用于定量数据的分析。
各组观测到的人数与理论人数（期望值）之间的差异 应该都是由于抽样的随机性造成的，因此不应该太大。
如果二者之间的差异特别大，则说明我们所作的假设 （消费者对3种材料的偏好程度是无差异的）很可能 不成立。
检验统计量
c 2 k (Oi Ei )2
i1
Ei
➢ k是样本分类的个数，表示实际观察到的频数， 表示理论频数。观察频数与期望频数越接近， 则c2值越小。根据皮尔逊定理，当n充分大时， c2统计量渐近服从于k-1个自由度的c2分布。
单因素多组比较：方差分析
➢ 完全随机设计下的多组均数比较
局限性
t检验
➢ 独立t检验要求：正态、方差相等（或不相等）、 个体独立
➢ 匹配t检验要求：差值正态、个体独立
方差分析
➢ 单因素多水平比较方差分析要求：正态、方差 相等、个体独立
未解决问题
两组性别结构是否相同？ 疗效用痊愈、显效、有效、无效四级分类法进行评价时，两组
一种饮料的容器材料可以选择玻璃、塑料或者 金属。
为了比较消费者对包装材料的偏好，抽样调查 了120名消费者发现，最喜欢玻璃、塑料和金 属容器的分别有55、25和40人。
根据调查结果，能否认为消费者对3种材料的 偏好程度是无差异的（显著性水平a=0.05）？
分析
如果消费者对3种材料的偏好程度是无差异的，也就 是说消费者对材料的偏好服从均匀分布，则理论上来 说，调查120名消费者，偏好每种材料的人数应该是 相等的，也就是40人。
参数检验
（parametric test）
已知总体分布类型，对 未知参数进行统计推断
非参数检验
（nonparametric test）
对总体的分布类型 不作严格要求
依赖于特定分布类 型，比较的是参数
不受分布类型的影响，比 较的是总体分布位置
优点：方法简便、易学易用，易于推广使用、 应用范围广；可用于参数检验难以处理的资料 (如等级资料，或含数值“>50mg”等 )
➢ 注意这里并不能得出总体服从正态分布的严格 结论。总体服从正态分布的结论可能犯第二类 错误（取伪错误），这个概率是未知的，在有 些情况下可能会很大。
特别声明
➢ 在K-S检验中如果使用的是小样本，则根据渐进 分布计算p值的误差会增大。这时应该通过相应 的设定要求软件输出精确检验的p值，根据精确 检验的p值得出检验结论。
非参数检验的优点
对总体假定较少，有广泛的适用性， 结果稳定性较好。
➢ 假定较少 ➢ 不需要对总体参数的假定 ➢ 与参数结果接近
针对几乎所有类型的数据形态。 容易计算
➢ 在计算机盛行之前就已经发展起来。
非参数检验的弱点
可能会浪费一些信息
➢ 特别当数据可以使用参数模型 的时候
大样本手算相当麻烦 一些表不易得到
8 9 8.5 2
A组： － 、、+、+、+、+、++、++、++、++、 +++、+++
- ± + + + + ++ ++ ++ ++ +++ +++ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 4.5 4.5 4.5 4.5 8.5 8.5 8.5 8.5 11.5 11.5
➢ 推断问题就转化为对分布族的若干个未知参数 的估计问题，用样本对这些参数做出估计或者 进行某种形式的假设检验，这类推断方法称为 参数方法。
非参数检验（nonparametric tests）
➢ 又称为任意分布检验（distribution- free test）， 它不考虑研究对象总体分布具体形式，也不对 总体参数进行统计推断
来自正态分布等，判断某样本是否为随机样本。
常用的非参数检验方法
用于单个样本的c2拟合优度检验、K-S拟合优 度检验、中位数的符号检验
用于两个匹配样本的Wilcoxon符号秩检验 用于两个独立样本的Wlicoxon秩和检验 用于多个独立样本的Kruskal-Wallis检验。
第六章 非参数检验
➢ 在参数检验和非参数检验都可以使用的情况下， 非参数检验的功效（power）要低于参数检验方 法。
以下情况下应当首选非参数方法
➢ 参数检验中的假设条件不满足，从而无法应用。例 如总体分布为偏态或分布形式未知，且样本为小样 本时。
➢ 检验中涉及的数据为定类或定序数据。 ➢ 所涉及的问题中并不包含参数，如判断某样本是否
其中f
表示观察值频数，
0
fe表示期望值频数
c2 0
➢ c2统计量的分布与自由度有关；
➢ c2统计量描述了观察值与期望值的接近程度
拟合优度检验（goodness of fit test）
➢ 用c2统计量进行统计显著性检验的重要内容之 一；
➢ 依据总体分布状况，计算出分类变量中各类别 的期望频数，与分布的观察频数进行对比，判 断期望频数与观察频数是否有显著差异，从而 达到对分类变量进行分析的目的。
或多组如何比较？ 如何检验样本数据来自的总体服从正态分布？ 总体不是正态分布，小样本情况下，如何检验总体的集中趋势？ 有6名歌手参加比赛，4名评委进行评判打分，推断评委的评判
标准是否一致
……
参数检验：
➢ 样本被视为从分布族的某个参数族抽取出来的 总体的代表，而未知的仅仅是总体分布具体的 参数值
平均秩次=（3+6)/2=4.5
利用秩的大小进行推断就避免了不知道背景分 布的困难。这也是非参数检验的优点。
多数非参数检验明显地或隐含地利用了秩的性 质；但也有一些非参数方法没有涉及秩的性质。
符号检验（sign test）
➢ 在非正态总体小样本的情况下，如果要对总体 分布的位置进行推断，由于t检验不适用，也可 使用符号检验的方法。
非参数检验概述
➢ 非参数检验、特点及应用
单样本的非参数检验
两个样本和多个样本的非参数检验
单样本的非参数检验
c2拟合优度检验 分类数据
K-S拟合优度检验
检验分布
中位数的符号检验 对中位数的推断
c2统计量
➢ 用来测定定类变量之间的相关程度
c 2
( f0 fe)2 fe
这里K-S检验的零假设和备择假设为：
➢ H0：总体中儿童每周看电视的时间服从正态分布。 ➢ H1：总体中儿童每周看电视的时间不服从正态分布。
在SPSS软件中打开数据文件，选择“分析” “非 参数检验”“1样本K-S”，在弹出的对话框中将 “时间”设定为检验变量；检验分布为默认的“常规” （正态分布）。单击 “确定”
➢ 仅仅依赖于数据观测值的相对大小(秩)等，而是 通过检验样本所代表的总体分布形式是否一致 来得出统计结论。
非参数统计的名字中的“非参数 (nonparametric)”意味着其方法不涉及描述总 体分布的有关参数；
它被称为“和分布无关”(distribution—free)， 是因为其推断方法和总体分布无关；不应理解 为与所有分布(例如有关秩的分布)无关．
第六章 非参数检验
方法的回顾
单个因素（两水平）的作用评价：两组比较
➢ 完全随机设计下的单因素两组比较 ➢ 匹配设计的两组比较
单个因素（多水平）的作用评价：多组比较
➢ 完全随机设计下的单因素多水平比较
两个因素的分析问题
➢ 无交互作用、有交互作用
单因素两组比较：t检验
➢ 完全随机两组均数比较的t检验（独立t检验） ➢ 匹配设计下两组均数比较的别 绝对值
正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧)
时间 100
27.191 8.3728
.096 .096 -.039 .960 .315
检验结论
➢ 相应的p值（渐近显著性）为0.315。由于0.315 大于0.05，所以在5%的显著性水平下不能拒绝 原假设，也就是说根据样本数据不能认为总体 分布是非正态的。
➢ 是指全部观察值按某种顺序排列的位序； ➢ 通常是将数据按照升幂排列之后，每个观测值的位置，
秩次在一定程度上反映了等级的高低。
➢ 下面一行Ri就是上面一行数据Xi的秩。
数据中有相同的数值，称为结。结中数字的秩 为它们所占位置的平均值
Xi 15 9 17 3 17 8 5 13 7 19 Ri 7 5 8.5 1 8.5 4 2 6 3 10
➢ 通过对两个分布差异的分析确定能否认为样本 的观察值来自所设定的理论分布总体。
定义 D Fn(xi ) F (xi ) ，显然若对每一个x值来 说，如果经验分布函数与特定分布函数的拟合 程度很高，则有理由认为样本数据来自具有该 理论分布的总体。
检验统计量：Dmax max Fn(xi ) F(xi )
➢ H1：观察频数与期望频数不一致
计算期望频数 fe
➢ 男性的期望频数718 1738 565，女性为153人
2208
计量c2统计量
c2
( f0 fe )2 303 fe

查表
c
2 0.1
(1)

2.706
（自由度为类别数-1）
做出判断：决绝原假设，认为存活状况与性别显著相 关
➢ K-S检验也可以用于对两个总体分布是否一致的 检验。
单样本的非参数检验
c2拟合优度检验
➢ 对定类变量用c2统计量进行统计显著性检验
K-S拟合优度检验
➢ 检验总体分布形态
中位数的符号检验 对中位数的推断
单样本中位数的检验
➢秩 ➢ 符号检验 ➢ Wilcoxon符号秩检验
秩（rank）